విషయము

• దశలు
• పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: మ్యాట్రిక్స్‌ను ట్రాన్స్‌పోజ్ చేయండి
• పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: ట్రాన్స్‌పోజిషన్ ప్రాపర్టీస్
• పార్ట్ 3 ఆఫ్ 3: సంక్లిష్ట అంశాలతో హెర్మిటియన్ కంజుగేట్ మాతృక
• చిట్కాలు

మీరు మాత్రికలను ఎలా ట్రాన్స్‌పోజ్ చేయాలో నేర్చుకుంటే, వాటి నిర్మాణంపై మీకు మంచి అవగాహన ఉంటుంది. స్క్వేర్ మాత్రికలు మరియు వాటి సమరూపత గురించి మీకు ఇప్పటికే తెలిసి ఉండవచ్చు. ఇతర విషయాలతోపాటు, ట్రాన్స్‌పోజిషన్ వెక్టర్‌లను మాతృక రూపంలోకి మార్చడానికి మరియు వెక్టర్ ఉత్పత్తులను కనుగొనడంలో సహాయపడుతుంది. సంక్లిష్ట మాత్రికలతో పనిచేసేటప్పుడు, హెర్మిటియన్-కంజుగేట్ (కంజుగేట్-ట్రాన్స్‌పోస్) మాత్రికలు మీకు అనేక రకాల సమస్యలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడతాయి.

దశలు

పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: మ్యాట్రిక్స్‌ను ట్రాన్స్‌పోజ్ చేయండి

1. 1 ఏదైనా మాతృక తీసుకోండి. వరుసలు మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్యతో సంబంధం లేకుండా ఏదైనా మాతృకను మార్చవచ్చు. చాలా సార్లు ఒకే వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉండే చతురస్ర మాత్రికలను మార్చడం అవసరం, కాబట్టి సరళత కోసం, కింది మాతృకను ఉదాహరణగా పరిగణించండి:
   • మాతృక ఎ =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 డైరెక్ట్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క మొదటి వరుసను ట్రాన్స్‌పోజ్డ్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క మొదటి కాలమ్‌గా ఊహించండి. మొదటి పంక్తిని కాలమ్‌గా వ్రాయండి:
   • మార్చబడిన మాతృక = A
   • మాతృక A యొక్క మొదటి కాలమ్:
     1
     2
     3
3. 3 మిగిలిన పంక్తుల కోసం అదే చేయండి. అసలు మాతృక యొక్క రెండవ వరుస ట్రాన్స్‌పోజ్ చేయబడిన మాతృక యొక్క రెండవ నిలువు వరుస అవుతుంది. అన్ని అడ్డు వరుసలను నిలువు వరుసలకు అనువదించండి:
   • ఎ =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 చతురస్రం కాని మాతృకను మార్చడానికి ప్రయత్నించండి. ఏదైనా దీర్ఘచతురస్రాకార మాతృకను అదే విధంగా మార్చవచ్చు. మొదటి పంక్తిని మొదటి కాలమ్‌గా, రెండవ పంక్తిని రెండవ కాలమ్‌గా వ్రాయండి. దిగువ ఉదాహరణలో, ఒరిజినల్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ప్రతి అడ్డు వరుస దాని స్వంత రంగుతో గుర్తించబడింది, ఇది మార్పిడి చేసినప్పుడు ఎలా రూపాంతరం చెందుతుందో స్పష్టంగా తెలియజేయడానికి:
   • మాతృక Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • మాతృక Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 గణిత సంజ్ఞామానం రూపంలో ట్రాన్స్‌పోజిషన్‌ను వ్యక్తీకరిద్దాం. ట్రాన్స్‌పోజిషన్ ఆలోచన చాలా సరళంగా ఉన్నప్పటికీ, దానిని కఠినమైన ఫార్ములాగా వ్రాయడం ఉత్తమం. మాతృక సంజ్ఞామానం ఏ ప్రత్యేక నిబంధనలు అవసరం లేదు:
   • కలిగి ఉన్న మ్యాట్రిక్స్ B ఇచ్చినట్లు అనుకుందాం m x ఎన్ మూలకాలు (m వరుసలు మరియు n నిలువు వరుసలు), అప్పుడు ట్రాన్స్‌పోజ్ చేయబడిన మాతృక B అనేది సమితి ఎన్ x m మూలకాలు (n వరుసలు మరియు m నిలువు వరుసలు).
   • ప్రతి మూలకం కోసం బి_xy (లైన్ x మరియు కాలమ్ y) మాతృక B లో మాతృక B యొక్క సమాన మూలకం b ఉంది_yx (లైన్ y మరియు కాలమ్ x).

పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: ట్రాన్స్‌పోజిషన్ ప్రాపర్టీస్

1. 1 (ఎం = ఎం. డబుల్ ట్రాన్స్‌పోజిషన్ తర్వాత, అసలైన మాతృక పొందబడుతుంది. ఇది చాలా స్పష్టంగా ఉంది, ఎందుకంటే మీరు మళ్లీ ట్రాన్స్‌పోజ్ చేసినప్పుడు, మీరు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను మళ్లీ మారుస్తారు, ఫలితంగా అసలు మాతృక వస్తుంది.
2. 2 ప్రధాన వికర్ణం చుట్టూ మాతృకను ప్రతిబింబిస్తుంది. ప్రధాన వికర్ణానికి సంబంధించి చతురస్ర మాత్రికలను "తిప్పవచ్చు". అంతేకాకుండా, ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాలు (a నుండి₁₁ మాతృక యొక్క దిగువ-కుడి మూలలో) స్థానంలో ఉండి, మిగిలిన మూలకాలు ఈ వికర్ణానికి మరొక వైపుకు కదులుతాయి మరియు దాని నుండి అదే దూరంలో ఉంటాయి.
   • ఈ పద్ధతిని ఊహించడం మీకు కష్టంగా అనిపిస్తే, ఒక కాగితాన్ని తీసుకొని 4x4 మాతృకను గీయండి. అప్పుడు ప్రధాన వికర్ణానికి సంబంధించి దాని సైడ్ ఎలిమెంట్‌లను క్రమాన్ని మార్చండి. అదే సమయంలో, మూలకాలను గుర్తించండి a₁₄ మరియు ఎ₄₁... మార్పిడి చేసినప్పుడు, అవి తప్పనిసరిగా ఇతర జతల సైడ్ ఎలిమెంట్‌ల వలె మార్చుకోవాలి.
3. 3 సుష్ట మాతృకను బదిలీ చేయండి. అటువంటి మాతృక యొక్క మూలకాలు ప్రధాన వికర్ణానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటాయి. మీరు పై ఆపరేషన్ చేసి, సిమెట్రిక్ మాతృకను "ఫ్లిప్" చేస్తే, అది మారదు. అన్ని మూలకాలు ఒకేలా మారుతాయి. వాస్తవానికి, ఇచ్చిన మాతృక సమరూపంగా ఉందో లేదో తెలుసుకోవడానికి ఇది ప్రామాణిక మార్గం. A = A సమానత్వం కలిగి ఉంటే, మాతృక A అనేది సుష్టంగా ఉంటుంది.

పార్ట్ 3 ఆఫ్ 3: సంక్లిష్ట అంశాలతో హెర్మిటియన్ కంజుగేట్ మాతృక

1. 1 సంక్లిష్టమైన మాతృకను పరిగణించండి. సంక్లిష్ట మాతృక యొక్క అంశాలు వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలతో కూడి ఉంటాయి. అటువంటి మాతృకను కూడా ట్రాన్స్‌పోజ్ చేయవచ్చు, అయినప్పటికీ చాలా ఆచరణాత్మక అనువర్తనాల్లో కంజుగేట్-ట్రాన్స్‌పోజ్డ్ లేదా హెర్మిటియన్-కంజుగేట్ మాత్రికలు ఉపయోగించబడతాయి.
   • అక్కడ మాతృక C = ఇవ్వబడుతుంది
     2+i     3-2i
     0+i     5+0i
2. 2 సంక్లిష్ట సంయోగ సంఖ్యలతో మూలకాలను భర్తీ చేయండి. సంక్లిష్ట సంయోగం యొక్క ఆపరేషన్‌లో, వాస్తవ భాగం అలాగే ఉంటుంది, మరియు ఊహాత్మక భాగం దాని సంకేతాన్ని వ్యతిరేకానికి మారుస్తుంది. మాతృకలోని నాలుగు అంశాలతో దీన్ని చేద్దాం.
   • సంక్లిష్ట సంయోగ మాతృకను కనుగొనండి C * =
     2-i     3+2i
     0-i     5-0i
3. 3 ఫలిత మాతృకను మేము బదిలీ చేస్తాము. కనుగొనబడిన సంక్లిష్ట సంయోగ మాతృకను తీసుకోండి మరియు దానిని మార్చండి. ఫలితంగా, మేము ఒక కంజుగేట్-ట్రాన్స్‌పోజ్డ్ (హెర్మిటియన్-కంజుగేట్) మాతృకను పొందుతాము.
   • కంజుగేట్-ట్రాన్స్‌పోజ్డ్ మాతృక C =
     2-i        0-i
     3+2i     5-0i

చిట్కాలు

• ఈ వ్యాసంలో, మాతృక A కి సంబంధించి ట్రాన్స్‌పోజ్ చేయబడిన మాతృక A. A గా సూచించబడుతుంది, A 'లేదా the అనే సంజ్ఞామానం కూడా ఉంది.
• ఈ వ్యాసంలో, మాతృక A కి సంబంధించి హెర్మిటియన్-కంజుగేట్ మాతృక A గా సూచించబడుతుంది, ఇది సరళ బీజగణితంలో సాధారణ సంజ్ఞామానం. క్వాంటం మెకానిక్స్‌లో, A అనే ​​సంజ్ఞామానం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.కొన్నిసార్లు హెర్మిటియన్ కంజుగేట్ మ్యాట్రిక్స్ A *రూపంలో వ్రాయబడుతుంది, అయితే ఇది సంక్లిష్ట సంయోగ మాతృకను వ్రాయడానికి కూడా ఉపయోగించబడుతుంది కాబట్టి, ఈ సంజ్ఞామానం నివారించడం మంచిది.