విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• 2 యొక్క పద్ధతి 1: కుడి త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవు
• 2 యొక్క విధానం 2: విమానంలోని రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించండి
• చిట్కాలు

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం కుడి త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవును చాలా సొగసైన మరియు ఆచరణాత్మకంగా వివరిస్తుంది, అది ఇప్పటికీ విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతోంది. ఏదైనా కుడి త్రిభుజం కోసం, సరళ భుజాల చతురస్రాల మొత్తం హైపోటెన్యూస్ యొక్క చతురస్రానికి సమానం అని ఇది పేర్కొంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, కుడి త్రిభుజం కోసం (ఒకదానికొకటి లంబంగా వైపులా ఉన్న త్రిభుజం), పొడవు a మరియు b వైపులా మరియు పొడవు యొక్క హైపోటెన్యూస్ c: a + b = సి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం జ్యామితి యొక్క స్తంభాలలో ఒకటి మరియు అనేక ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలను కలిగి ఉంది - ఈ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, ఉదాహరణకు, ఒక ఫ్లాట్ ప్లేన్‌లో రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడం చాలా సులభం.

అడుగు పెట్టడానికి

2 యొక్క పద్ధతి 1: కుడి త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవు

1. మీరు సరైన త్రిభుజంతో వ్యవహరిస్తున్నారో లేదో తనిఖీ చేయండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం కుడి త్రిభుజాలతో మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది, కాబట్టి కొనసాగడానికి ముందు మీ త్రిభుజం కుడి త్రిభుజం యొక్క నిర్వచనానికి అనుగుణంగా ఉందని ధృవీకరించడం చాలా ముఖ్యం. అదృష్టవశాత్తూ, ఈ విషయంలో నిర్ణయాత్మకమైన ఒకే ఒక అంశం ఉంది - త్రిభుజం యొక్క కోణాలలో ఒకటి 90 డిగ్రీల కోణం ఉండాలి.
   • ఒక క్లూగా, ఇది 90 డిగ్రీల కోణం అని సూచించడానికి లంబ కోణాలను తరచుగా చిన్న చదరపు బ్రాకెట్‌తో గుర్తించారు. మీ త్రిభుజం యొక్క మూలల్లో ఒకదానిలో అటువంటి కుండలీకరణాలు ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయండి.
2. మీ త్రిభుజం వైపులా a, b మరియు c వేరియబుల్స్ కేటాయించండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంలో, a మరియు b వేరియబుల్స్ మీ త్రిభుజం యొక్క కుడి వైపులను సూచిస్తాయి మరియు వేరియబుల్ సి హైపోటెన్యూస్‌కు సూచిస్తుంది - లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న పొడవైన వైపు. కాబట్టి ప్రారంభించడానికి, మీరు వేరియబుల్స్ a మరియు b (ఆర్డర్ పర్వాలేదు) ను సరళ వైపులా కేటాయిస్తారు మరియు సి మీరు హైపోటెన్యూస్‌కు కేటాయించండి.
3. మీరు తెలుసుకోవాలనుకునే త్రిభుజం యొక్క ఏ వైపు నిర్ణయించండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఒక త్రిభుజం యొక్క ప్రతి వైపు పొడవును కనుగొనటానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, రెండు వైపులా తెలిస్తే. ఏ వైపులలో తెలియని పొడవు ఉందో నిర్ణయించండి - a, బి, మరియు / లేదా సి. ఒకటి మాత్రమే తెలియకపోతే, మీరు కొనసాగవచ్చు.
   • హైపోటెన్యూస్ యొక్క పొడవు 5 మరియు ఇతర వైపులా 3 యొక్క పొడవు ఉందని మనకు తెలుసు అనుకుందాం. మిగిలిన వైపు పొడవు తెలియదు. రెండు వైపులా తెలిసినందున, మనకు తెలియని వైపు పొడవును లెక్కించడానికి ముందుకు సాగవచ్చు! మేము ఈ ఉదాహరణను తరువాత మళ్ళీ ఉపయోగిస్తాము.
   • యొక్క పొడవు ఉంటే రెండు వైపులా తెలియదు, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడానికి మీరు కనీసం ఒక వైపు పొడవును నిర్ణయించాలి. ప్రాథమిక త్రికోణమితి విధులు మీకు సహాయపడతాయి, త్రిభుజం యొక్క మరొకటి, కుడి-కాని కోణాలలో ఒకటి మీకు తెలిస్తే.
4. సమీకరణం మరియు మీకు తెలిసిన వ్యక్తులను ఉపయోగించి లెక్కించండి. మీ త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవు కోసం విలువలను a + b = c సమీకరణంలో నమోదు చేయండి. A మరియు b సరళ భుజాలు మరియు సి అనేది హైపోటెన్యూస్ అని గుర్తుంచుకోండి.
   • మా ఉదాహరణలో, మనకు ఒక వైపు పొడవు మరియు హైపోటెన్యూస్ (3 & 5) యొక్క పొడవు తెలుసు, కాబట్టి మన సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాస్తాము: 3² + b² = 5²
5. చతురస్రాలను లెక్కించండి. మీ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, తెలిసిన ప్రతి వైపులా స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా ప్రారంభించండి. మీరు దీన్ని తేలికగా కనుగొంటే, మీరు శక్తిని వదిలివేయవచ్చు మరియు తరువాత మాత్రమే చతురస్రం చేయవచ్చు.
   • మా ఉదాహరణలో, రెస్ పొందడానికి మేము 3 మరియు 5 చదరపు. 9 మరియు 25 పొందడానికి. మేము ఇప్పుడు సమీకరణాన్ని 9 + b² = 25 గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.
6. తెలియని వేరియబుల్‌ను సమాన గుర్తు యొక్క ఒక వైపు వేరుచేయండి. అవసరమైతే, సమానమైన గుర్తు మరియు చతురస్రాల యొక్క మరొక వైపుకు తెలియని వాటిని పొందడానికి ప్రామాణిక బీజగణిత ఆపరేషన్లను ఉపయోగించండి. మీరు హైపోటెన్యూస్‌ను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తుంటే, సిద్ధాంతంలో సి ఇప్పటికే ఒక వైపు ఉంది, కాబట్టి మీరు ఆ దశను దాటవేయవచ్చు.
   • మా ఉదాహరణలో, సమీకరణం ఇప్పుడు 9 + b² = 25. b & sup2 ను వేరుచేయడానికి, మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి 9 ను తీసివేస్తాము. ఇది మమ్మల్ని b² = 16 తో వదిలివేస్తుంది.
7. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి. మీరు ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు ఒక చదరపు (వేరియబుల్) మరియు మరొక వైపు సంఖ్యను కలిగి ఉండాలి. ఇప్పుడు తెలియని పొడవును కనుగొనడానికి రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని లాగండి.
   • మా ఉదాహరణలో, b² = 16, చదరపు వేళ్ళు పెరిగే తర్వాత సమీకరణం b = 4. కాబట్టి మన త్రిభుజం యొక్క తెలియని వైపు పొడవు సమానంగా ఉంటుందని చెప్పగలను 4.
8. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఆచరణలో ఉపయోగించండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం అంతగా ఉపయోగించటానికి కారణం, ఇది చాలా ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వర్తిస్తుంది. మీ చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచంలో కుడి త్రిభుజాలను గుర్తించడం నేర్చుకోండి - మీరు ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వస్తువులపై సరైన త్రిభుజాన్ని గుర్తించగలిగిన చోట, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం రెండు వైపులా లేదా కోణాలు ఉన్నట్లయితే, ఒక వైపు యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి వర్తిస్తుంది. ప్రసిద్ధి చెందండి.
   • వాస్తవ ప్రపంచం నుండి ఒక ఉదాహరణ తీసుకుందాం. ఒక నిచ్చెన గోడపైకి వాలుతుంది. నిచ్చెన యొక్క అడుగు గోడ నుండి 5 మీటర్ల దూరంలో ఉంది. నిచ్చెన గోడ దిగువ నుండి 20 మీటర్లకు చేరుకుంటుంది. నిచ్చెన ఎంత కాలం?
     • "5 మీటర్లు గోడకు దూరం" మరియు "నిచ్చెన 20 మీటర్ల ఎత్తు". ఇది త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవును సూచిస్తుంది. గోడ మరియు భూమి లంబ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయని మరియు నిచ్చెన ఒక కోణంలో గోడకు వికర్ణంగా ఉందని మేము అనుకోవచ్చు కాబట్టి, మేము ఈ అమరికను కుడి త్రిభుజంగా పరిగణించవచ్చు, దీని వైపులా పొడవు = 5 మరియు బి = 20 ఉంటుంది. నిచ్చెన యొక్క పొడవు హైపోటెన్యూస్, తెలియని వేరియబుల్ సి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేద్దాం:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = సి²
       • sqrt (425) = సి
       • c = 20.6. నిచ్చెన యొక్క పొడవు (సుమారుగా) 20.6 మీటర్లు.

2 యొక్క విధానం 2: విమానంలోని రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించండి

1. విమానంలో రెండు పాయింట్లను నిర్వచించండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని విమానంలోని రెండు పాయింట్ల మధ్య సరళరేఖ దూరాన్ని కనుగొనడానికి చాలా సులభంగా ఉపయోగించవచ్చు. మీకు కావలసిందల్లా ఏదైనా రెండు పాయింట్ల x మరియు y కోఆర్డినేట్లు. సాధారణంగా ఈ అక్షాంశాలు (x, y) గా వ్రాయబడతాయి.
   • ఈ రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి, మేము ప్రతి బిందువులను లంబ త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలలో ఒకటిగా పరిగణిస్తాము, ఇది లంబ కోణానికి చెందినది కాదు. ఇది a మరియు b యొక్క పొడవును కనుగొనడం చాలా సులభం చేస్తుంది, ఆ తరువాత c (హైపోటెన్యూస్ మరియు రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం) లెక్కించవచ్చు.
2. గ్రాఫ్‌లో రెండు పాయింట్లను గీయండి. ఒక X-Y విమానంలో, ప్రతి బిందువుకు (x, y), x అనేది క్షితిజ సమాంతర x- అక్షంపై ఒక బిందువు మరియు y నిలువు y- అక్షంపై ఒక బిందువు. మీరు రెండింటి మధ్య దూరాన్ని గ్రాఫింగ్ చేయకుండా కనుగొనవచ్చు, కానీ అలా చేయడం వల్ల మీ సమాధానం అర్ధమేనా అని తనిఖీ చేయడానికి మీరు ఉపయోగించగల దృశ్య సూచనను ఇస్తుంది.
3. మీ త్రిభుజం యొక్క సరళ భుజాల పొడవును నిర్ణయించండి. మీ రెండు పాయింట్లను హైపోటెన్యూస్ ప్రక్కనే ఉన్న త్రిభుజం కోణాలుగా పరిగణించడం ద్వారా, మీరు a మరియు b వైపుల పొడవును కనుగొనవచ్చు. మీరు గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించడం ద్వారా లేదా | x సూత్రాలను ఉపయోగించడం ద్వారా దీన్ని చేయవచ్చు₁ - x₂| క్షితిజ సమాంతర వైపు మరియు | y₁ - వై₂| నిలువు వైపు, ఇక్కడ (x₁, వై₁) మొదటి పాయింట్ మరియు (x₂, వై₂) రెండవ పాయింట్.
   • మనకు పాయింట్లు (6,1) మరియు (3,5) ఉన్నాయని అనుకుందాం. మా త్రిభుజం యొక్క క్షితిజ సమాంతర వైపు పొడవు:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • నిలువు వైపు పొడవు:
     • | వై₁ - వై₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • కాబట్టి మన కుడి త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవు a = 3 మరియు b = 4 కు సమానమని చెప్పగలను.
4. హైపోటెన్యూస్‌ను కనుగొనడానికి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించండి. రెండు బిందువుల మధ్య దూరం త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ యొక్క పొడవు. త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ను కనుగొనడానికి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించండి, a, b మరియు c వైపులా.
   • మా ఉదాహరణలో, పాయింట్లు (3,5) మరియు (6,1) మాకు తెలుసు, మరియు భుజాల పొడవు a = 3 మరియు b = 4, కాబట్టి మేము హైపోటెన్యూస్‌ను ఈ క్రింది విధంగా నిర్ణయిస్తాము:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = sqrt (9 + 16)

       c = sqrt (25)

       c = 5. (3,5) మరియు (6,1) మధ్య దూరం 5.

చిట్కాలు

• త్రిభుజం సరైన త్రిభుజం కాకపోతే, మీరు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించలేరు.
• హైపోటెన్యూస్ ఎల్లప్పుడూ:
  • లంబ కోణానికి వ్యతిరేక రేఖ
  • కుడి త్రిభుజం యొక్క పొడవైన వైపు
  • వేరియబుల్ సి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంలో
• sqrt (x) అంటే "x యొక్క వర్గమూలం".
• మీ సమాధానాలను ఎల్లప్పుడూ తనిఖీ చేయడం మర్చిపోవద్దు. సమాధానం తప్పు అనిపిస్తే, మీ లెక్కలను తనిఖీ చేయండి లేదా ప్రారంభించండి.
• మీకు త్రిభుజం యొక్క ఒక వైపు మాత్రమే తెలుసు, కానీ ఇతర కోణాలలో ఒకటి (అప్పుడు లంబ కోణం), మొదట త్రికోణమితి (పాపం, కాస్, టాన్) లేదా 30-60- 90 / నిష్పత్తి గురించి మీకు తెలిసిన వాటితో మరొక వైపు లెక్కించండి. 45-45-90.
• మరొక చెక్ - పొడవైన వైపు గొప్ప కోణానికి ఎదురుగా ఉంటుంది మరియు చిన్నది చిన్న కోణానికి ఎదురుగా ఉంటుంది.