విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి

త్రికోణమితి సమీకరణం వేరియబుల్ త్రికోణమితి వక్రరేఖ x యొక్క ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ త్రికోణమితి ఫంక్షన్లతో కూడిన సమీకరణం. X కోసం పరిష్కరించడం అంటే త్రికోణమితి వక్రాల విలువలను కనుగొనడం, దీని త్రికోణమితి విధులు త్రికోణమితి సమీకరణం నిజమని కారణమవుతాయి.

• పరిష్కారం వక్రత యొక్క సమాధానాలు లేదా విలువలు డిగ్రీలు లేదా రేడియన్లలో వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఉదాహరణలు:

x = పై / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 డిగ్రీలు; x = 37.12 డిగ్రీలు; x = 178.37 డిగ్రీలు

• గమనిక: యూనిట్ సర్కిల్‌లో, ఏదైనా వక్రరేఖ యొక్క త్రికోణమితి విధులు సంబంధిత కోణం యొక్క త్రికోణమితి విధులకు సమానం. యూనిట్ సర్కిల్ వేరియబుల్ కర్వ్ x యొక్క అన్ని త్రికోణమితి విధులను నిర్వచిస్తుంది. ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో ఇది రుజువుగా కూడా ఉపయోగించబడుతుంది.
• త్రికోణమితి సమీకరణాల ఉదాహరణలు:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2 సిన్ 2x + కాస్ x = 1.

1. యూనిట్ సర్కిల్.
   • ఇది వ్యాసార్థం = 1 తో ఉన్న వృత్తం, ఇక్కడ O మూలం. యూనిట్ సర్కిల్ వేరియబుల్ కర్వ్ x యొక్క 4 ప్రధాన త్రికోణమితి విధులను నిర్వచిస్తుంది, ఇది అపసవ్య దిశలో ప్రదక్షిణ చేస్తుంది.
   • విలువ x తో ఉన్న వక్రరేఖ యూనిట్ సర్కిల్‌లో మారినప్పుడు, ఆపై:
   • క్షితిజ సమాంతర అక్షం OAx త్రికోణమితి ఫంక్షన్ f (x) = cos x ను నిర్వచిస్తుంది.
   • నిలువు అక్షం OBy త్రికోణమితి ఫంక్షన్ f (x) = sin x ను నిర్వచిస్తుంది.
   • నిలువు అక్షం AT త్రికోణమితి ఫంక్షన్ f (x) = tan x ను నిర్వచిస్తుంది.
   • క్షితిజ సమాంతర అక్షం BU త్రికోణమితి ఫంక్షన్ f (x) = cot x ను నిర్వచిస్తుంది.

• సర్కిల్‌లోని వక్రరేఖ x యొక్క వివిధ స్థానాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు ప్రామాణిక త్రికోణమితి అసమానతలను పరిష్కరించడానికి కూడా యూనిట్ సర్కిల్ ఉపయోగించబడుతుంది.

అడుగు పెట్టడానికి

1. పరిష్కార పద్ధతిని అర్థం చేసుకోండి.
   • త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మీరు దానిని ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలుగా మారుస్తారు. త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం చివరికి 4 ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తుంది.
2. ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోండి.
   • 4 ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలు ఉన్నాయి:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; cot x = a
   • త్రికోణమితి వృత్తంలో వక్రరేఖ x యొక్క వివిధ స్థానాలను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా మరియు త్రికోణమితి మార్పిడి పట్టికను (లేదా కాలిక్యులేటర్) ఉపయోగించడం ద్వారా మీరు ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. ఈ మరియు ఇలాంటి ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో పూర్తిగా అర్థం చేసుకోవడానికి, ఈ క్రింది పుస్తకాన్ని చదవండి: "త్రికోణమితి: త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం" (అమెజాన్ ఇ-బుక్ 2010).
   • ఉదాహరణ 1. పాపం x = 0.866 కోసం పరిష్కరించండి. మార్పిడి పట్టిక (లేదా కాలిక్యులేటర్) సమాధానం ఇస్తుంది: x = పై / 3. త్రికోణమితి వృత్తం సైన్ (0.866) కు ఒకే విలువతో మరొక వక్రతను (2Pi / 3) ఇస్తుంది. త్రికోణమితి వృత్తం పొడిగించిన సమాధానాలు అని పిలువబడే అనంతమైన సమాధానాలను కూడా అందిస్తుంది.
   • x1 = పై / 3 + 2 కె.పి, మరియు x2 = 2 పిఐ / 3. (వ్యవధిలో ప్రత్యుత్తరాలు (0, 2Pi))
   • x1 = పై / 3 + 2 కె పై, మరియు x2 = 2Pi / 3 + 2k పై. (వివరణాత్మక సమాధానాలు).
   • ఉదాహరణ 2. పరిష్కరించండి: cos x = -1/2. కాలిక్యులేటర్లు x = 2 పై / 3 ఇస్తాయి. త్రికోణమితి వృత్తం x = -2Pi / 3 ను కూడా ఇస్తుంది.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, మరియు x2 = - 2Pi / 3. (కాలానికి సమాధానాలు (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, మరియు x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (విస్తరించిన సమాధానాలు)
   • ఉదాహరణ 3. పరిష్కరించండి: తాన్ (x - పై / 4) = 0.
   • x = పై / 4; (సమాధానం)
   • x = పై / 4 + కె పై; (విస్తరించిన సమాధానం)
   • ఉదాహరణ 4. పరిష్కరించండి: మంచం 2x = 1.732. కాలిక్యులేటర్లు మరియు త్రికోణమితి వృత్తం ఇస్తాయి:
   • x = పై / 12; (సమాధానం)
   • x = పై / 12 + కె పై; (విస్తరించిన సమాధానాలు)
3. త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించే పరివర్తనాలను తెలుసుకోండి.
   • ఇచ్చిన త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక త్రికోణమితి సమీకరణాలకు మార్చడానికి, ప్రామాణిక బీజగణిత మార్పిడులు (కారకం, సాధారణ కారకం, బహుపదాలు ...), త్రికోణమితి విధులు మరియు త్రికోణమితి గుర్తింపుల యొక్క నిర్వచనాలు మరియు లక్షణాలు ఉపయోగించండి. వీటిలో సుమారు 31, 14 త్రికోణమితి గుర్తింపులు, 19 నుండి 31 వరకు, పరివర్తన గుర్తింపులు అని కూడా పిలుస్తారు, ఎందుకంటే అవి త్రికోణమితి సమీకరణాల మార్పిడిలో ఉపయోగించబడతాయి. పై పుస్తకం చూడండి.
   • ఉదాహరణ 5: త్రికోణమితి సమీకరణం: పాపం x + పాపం 2x + పాపం 3x = 0 ను త్రికోణమితి గుర్తింపులను ఉపయోగించి ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాల ఉత్పత్తిగా మార్చవచ్చు: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలు: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; మరియు cos (x / 2) = 0.
4. త్రికోణమితి విధులు తెలిసిన వక్రతలను కనుగొనండి.
   • త్రికోణమితి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోవడానికి ముందు, త్రికోణమితి విధులు తెలిసిన వక్రతలను ఎలా త్వరగా కనుగొనాలో మీరు తెలుసుకోవాలి. వక్రరేఖల మార్పిడి విలువలు (లేదా కోణాలు) త్రికోణమితి పట్టికలు లేదా కాలిక్యులేటర్‌తో నిర్ణయించబడతాయి.
   • ఉదాహరణ: cos x = 0.732 కోసం పరిష్కరించండి. కాలిక్యులేటర్ x = 42.95 డిగ్రీల పరిష్కారాన్ని ఇస్తుంది. యూనిట్ సర్కిల్ కొసైన్‌కు ఒకే విలువతో ఇతర వక్రతలను ఇస్తుంది.
5. యూనిట్ సర్కిల్‌లో సమాధానం యొక్క ఆర్క్ గీయండి.
   • యూనిట్ సర్కిల్‌లో పరిష్కారాన్ని వివరించడానికి మీరు గ్రాఫ్‌ను సృష్టించవచ్చు. ఈ వక్రాల ముగింపు బిందువులు త్రికోణమితి వృత్తంలో సాధారణ బహుభుజాలు. కొన్ని ఉదాహరణలు:
   • వక్రరేఖ యొక్క ముగింపు బిందువులు x = Pi / 3 + k. పై / 2 అనేది యూనిట్ సర్కిల్‌లోని చదరపు.
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 యొక్క వక్రతలు యూనిట్ సర్కిల్‌లోని షడ్భుజి యొక్క అక్షాంశాలచే సూచించబడతాయి.
6. త్రికోణమితి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోండి.
   • ఇచ్చిన త్రికోణమితి సమీకరణంలో ఒకే త్రికోణమితి ఫంక్షన్ ఉంటే, దానిని ప్రామాణిక త్రికోణమితి సమీకరణంగా పరిష్కరించండి. ఇచ్చిన సమీకరణంలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ త్రికోణమితి విధులు ఉంటే, సమీకరణాన్ని మార్చడానికి ఎంపికలను బట్టి 2 పరిష్కార పద్ధతులు ఉన్నాయి.
     • ఎ. విధానం 1.
   • త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని రూపం యొక్క ఉత్పత్తిగా మార్చండి: f (x) .g (x) = 0 లేదా f (x) .g (x) .h (x) = 0, ఇక్కడ f (x), g (x) మరియు h (x) ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలు.
   • ఉదాహరణ 6. పరిష్కరించండి: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • పరిష్కారం. గుర్తింపును ఉపయోగించి సమీకరణంలో పాపం 2x ని మార్చండి: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. అప్పుడు 2 ప్రామాణిక త్రికోణమితి విధులను పరిష్కరించండి: cos x = 0, మరియు (sin x + 1) = 0.
   • ఉదాహరణ 7. పరిష్కరించండి: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • పరిష్కారం: త్రికోణమితి ఐడెంటిటీలను ఉపయోగించి దీనిని ఉత్పత్తిగా మార్చండి: cos 2x (2cos x + 1) = 0. ఇప్పుడు 2 ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించండి: cos 2x = 0, మరియు (2cos x + 1) = 0.
   • ఉదాహరణ 8. పరిష్కరించండి: పాపం x - పాపం 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • పరిష్కారం: త్రికోణమితి ఐడెంటిటీలను ఉపయోగించి దీనిని ఉత్పత్తిగా మార్చండి: -కోస్ 2x * (2 సిన్ x + 1) = 0. ఇప్పుడు 2 ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించండి: cos 2x = 0, మరియు (2sin x + 1) = 0.
     • బి. అప్రోచ్ 2.
   • ట్రిగ్ సమీకరణాన్ని వేరియబుల్‌గా ఒకే ప్రత్యేకమైన ట్రిగ్ ఫంక్షన్‌తో ట్రిగ్ సమీకరణంగా మారుస్తుంది. తగిన వేరియబుల్‌ను ఎలా ఎంచుకోవాలో కొన్ని చిట్కాలు ఉన్నాయి. సాధారణ వేరియబుల్స్: పాపం x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t మరియు tan (x / 2) = t.
   • ఉదాహరణ 9. పరిష్కరించండి: 3 సిన్ ^ 2 x - 2 కోస్ ^ 2 x = 4 సిన్ x + 7 (0 x 2 పిఐ).
   • పరిష్కారం. సమీకరణంలో, (cos ^ 2x) ను (1 - sin ^ 2x) తో భర్తీ చేయండి మరియు సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయండి:
   • 3 సిన్ ^ 2 ఎక్స్ - 2 + 2 సిన్ ^ 2 ఎక్స్ - 4 సిన్ ఎక్స్ - 7 = 0. ఇప్పుడు పాపం x = టి ఉపయోగించండి. సమీకరణం అవుతుంది: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. ఇది 2 మూలాలతో కూడిన చతురస్రాకార సమీకరణం: t1 = -1 మరియు t2 = 9/5. మేము రెండవ t2 ను తిరస్కరించవచ్చు, ఎందుకంటే> 1. ఇప్పుడు దీని కోసం పరిష్కరించండి: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • ఉదాహరణ 10. పరిష్కరించండి: టాన్ x + 2 టాన్ ^ 2 x = మంచం x + 2.
   • పరిష్కారం. తాన్ x = t ఉపయోగించండి. ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని t తో వేరియబుల్‌గా మార్చండి: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. ఈ ఉత్పత్తి నుండి t కోసం పరిష్కరించండి, ఆపై x కోసం ప్రామాణిక త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి x = t.
7. ప్రత్యేక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించండి.
   • కొన్ని నిర్దిష్ట మార్పిడులు అవసరమయ్యే కొన్ని ప్రత్యేక త్రికోణమితి సమీకరణాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణలు:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క ఆవర్తన లక్షణాలను తెలుసుకోండి.
   • అన్ని త్రికోణమితి విధులు ఆవర్తనమైనవి, అంటే అవి ఒక వ్యవధిలో భ్రమణం తర్వాత అదే విలువకు తిరిగి వస్తాయి. ఉదాహరణలు:
     • F (x) = sin x ఫంక్షన్ 2Pi ని కాలంగా కలిగి ఉంటుంది.
     • F (x) = tan x అనే ఫంక్షన్ పైగా ఒక కాలంగా ఉంటుంది.
     • F (x) = sin 2x ఫంక్షన్ పైగా ఒక కాలంగా ఉంటుంది.
     • F (x) = cos (x / 2) ఫంక్షన్ 4Pi ని కాలంగా కలిగి ఉంటుంది.
   • వ్యాయామం / పరీక్షలో వ్యవధి పేర్కొనబడితే, మీరు ఈ వ్యవధిలో వక్రరేఖ (ల) ను కనుగొనాలి.
   • గమనిక: త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గమ్మత్తైనది మరియు తరచుగా లోపాలు మరియు తప్పులకు దారితీస్తుంది. అందువల్ల, సమాధానాలను జాగ్రత్తగా తనిఖీ చేయాలి. పరిష్కరించిన తరువాత, ఇచ్చిన త్రికోణమితి సమీకరణం యొక్క ప్రత్యక్ష ప్రాతినిధ్యం కోసం మీరు గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి సమాధానాలను తనిఖీ చేయవచ్చు R (x) = 0. సమాధానాలు (వర్గమూలంగా) దశాంశ స్థానాల్లో ఇవ్వబడ్డాయి. ఉదాహరణగా, పై విలువ 3.14