విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• 2 యొక్క పద్ధతి 1: విధానం ఒకటి: క్రాస్ గుణకారం
• 2 యొక్క విధానం 2: విధానం రెండు: హారంలలో అతి సాధారణమైన బహుళ (LCM) ను కనుగొనడం
• చిట్కాలు

హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ న్యూమరేటర్ లేదా హారం లో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ కలిగిన భిన్నం. హేతుబద్ధమైన సమీకరణం కనీసం ఒక హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉన్న ఏదైనా సమీకరణం. సాధారణ బీజగణిత సమీకరణాల మాదిరిగానే, సమాన సంకేతం యొక్క ఒక వైపుకు వేరియబుల్ వేరుచేయబడే వరకు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే ఆపరేషన్‌ను ఉపయోగించడం ద్వారా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు పరిష్కరించబడతాయి. రెండు ప్రత్యేక పద్ధతులు, క్రాస్ గుణకారం మరియు హారంలలో తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం, ముఖ్యంగా వేరియబుల్స్ వేరుచేయడానికి మరియు హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగపడతాయి.

అడుగు పెట్టడానికి

2 యొక్క పద్ధతి 1: విధానం ఒకటి: క్రాస్ గుణకారం

1. అవసరమైతే, సమాన చిహ్నం యొక్క రెండు వైపులా ఒక భిన్నం ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి సమీకరణాన్ని క్రమాన్ని మార్చండి. క్రాస్ గుణకారం అనేది హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించే వేగవంతమైన పద్ధతి. దురదృష్టవశాత్తు, ఈ పద్ధతి సమాన సంకేతం యొక్క రెండు వైపులా సరిగ్గా ఒక హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ లేదా భిన్నాన్ని కలిగి ఉన్న హేతుబద్ధమైన సమీకరణాల కోసం మాత్రమే పనిచేస్తుంది. మీ సమీకరణానికి ఇది కాకపోతే, నిబంధనలను సరైన స్థలంలో పొందడానికి మీకు కొన్ని బీజగణిత ఆపరేషన్లు అవసరం.
   • ఉదాహరణకు, సమీకరణం (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 ను సరైన క్రాస్ గుణకారం రూపంలోకి సులభంగా మార్చవచ్చు, x / (- 2) ను సమీకరణానికి ఇరువైపులా జోడించి, ఫలితాన్ని ఇస్తుంది ఇలా కనిపిస్తుంది: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • హారం 1 ఇవ్వడం ద్వారా దశాంశాలు మరియు పూర్ణాంకాలను భిన్నాలుగా మార్చవచ్చని గుర్తుంచుకోండి. (x + 3) / 4 - 2.5 = 5, ఉదాహరణకు, (x + 3) / 4 = 7.5 / 1 గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు, ఇది క్రాస్ గుణకారం వర్తించటానికి అనుమతిస్తుంది.
   • కొన్ని హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను సులభంగా సరైన రూపంలోకి మార్చలేము. ఆ సందర్భాలలో, మీరు హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని ఉపయోగించే పద్ధతులను ఉపయోగించండి.
2. క్రాస్ గుణకారం. క్రాస్ గుణకారం అంటే ఒక భిన్నం యొక్క లెక్కింపును మరొకటి యొక్క హారం ద్వారా గుణించడం మరియు దీనికి విరుద్ధంగా. భిన్నం యొక్క లెక్కింపును సమాన చిహ్నం యొక్క ఎడమ వైపున కుడి వైపున భిన్నం ద్వారా గుణించండి. కుడి వైపున ఉన్న న్యూమరేటర్ మరియు ఎడమ వైపున ఉన్న భిన్నం యొక్క హారం తో పునరావృతం చేయండి.
   • క్రాస్ గుణకారం సాధారణ బీజగణిత సూత్రాల ప్రకారం పనిచేస్తుంది. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు మరియు ఇతర భిన్నాలను హారంలను గుణించడం ద్వారా సాధారణ సంఖ్యలుగా మార్చవచ్చు. సాధారణంగా, క్రాస్ గుణకారం అనేది భిన్నాల యొక్క రెండు హారంల ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించే సులభ సంక్షిప్తలిపి మార్గం. మీరు నమ్మరు? ఒకసారి ప్రయత్నించండి - సరళీకృతం చేసిన తర్వాత మీరు అదే ఫలితాలను చూస్తారు.
3. రెండు ఉత్పత్తులను ఒకదానికొకటి సమానంగా చేసుకోండి. క్రాస్ గుణకారం తరువాత, మీకు రెండు ఉత్పత్తులు మిగిలి ఉన్నాయి. ఈ రెండు పదాలను సమానంగా చేయండి మరియు సమీకరణానికి ఇరువైపులా సరళమైన పదాలను పొందడానికి వాటిని సరళీకృతం చేయండి.
   • ఉదాహరణకు, (x + 3) / 4 = x / (- 2) మీ అసలు హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అయితే, క్రాస్ గుణకారం తరువాత అది -2 (x + 3) = 4x కు సమానం అవుతుంది. ఇది ఐచ్ఛికంగా -2x - 6 = 4x గా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది.
4. వేరియబుల్ కోసం పరిష్కరించండి. సమీకరణంలో వేరియబుల్ విలువను కనుగొనడానికి బీజగణిత కార్యకలాపాలను ఉపయోగించండి. గుర్తుంచుకోండి, x సమాన చిహ్నం యొక్క రెండు వైపులా కనిపిస్తే, ఒక x పదాన్ని జోడించడం లేదా తీసివేయడం ద్వారా, సమాన చిహ్నం యొక్క ఒక వైపు x పదాలు మాత్రమే ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోండి.
   • మా ఉదాహరణలో, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా -2 ద్వారా విభజించడం సాధ్యమవుతుంది, ఇది మనకు x + 3 = -2x ఇస్తుంది. సమాన చిహ్నం యొక్క రెండు వైపుల నుండి x ను తీసివేయడం మనకు 3 = -3x ఇస్తుంది. చివరకు, రెండు వైపులా -3 ద్వారా విభజించడం వల్ల మనకు -1 = x, లేదా x = -1 వస్తుంది. ఇప్పుడు మన హేతుబద్ధమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే x ను కనుగొన్నాము.

2 యొక్క విధానం 2: విధానం రెండు: హారంలలో అతి సాధారణమైన బహుళ (LCM) ను కనుగొనడం

1. హారం యొక్క అతి సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనేటప్పుడు అర్థం చేసుకోండి. హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను సరళీకృతం చేయడంలో హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) ను ఉపయోగించవచ్చు, దీని వలన వాటి వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను కనుగొనడం సాధ్యపడుతుంది. సమాన చిహ్నం యొక్క ప్రతి వైపు ఒక భిన్నం లేదా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ మాత్రమే ఉన్న హేతుబద్ధమైన సమీకరణాన్ని సులభంగా తిరిగి వ్రాయలేకపోతే LCM ను కనుగొనడం మంచిది. హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను మూడు పదాలు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పరిష్కరించడానికి, LCM లు ఉపయోగకరమైన సాధనం. కానీ హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను కేవలం రెండు పదాలతో పరిష్కరించడానికి, క్రాస్ గుణకారం తరచుగా వేగంగా ఉంటుంది.
2. ప్రతి భిన్నం యొక్క హారం పరిశీలించండి. ఏదైనా హారం ద్వారా పూర్తిగా విభజించబడే అతిచిన్న సంఖ్యను కనుగొనండి. ఇది మీ సమీకరణం యొక్క LCM.
   • కొన్నిసార్లు అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ - ప్రతి హారం ద్వారా పూర్తిగా విభజించబడే అతిచిన్న సంఖ్య - వెంటనే స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీ వ్యక్తీకరణ x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6 లాగా కనిపిస్తే, LCM 3, 2, మరియు 6 ద్వారా విభజించబడాలి మరియు 6 కి సమానంగా ఉండాలి.
   • కానీ చాలా తరచుగా హేతుబద్ధమైన పోలిక యొక్క LCM అస్సలు స్పష్టంగా లేదు. ఆ సందర్భాలలో, ఇతర, చిన్న హారం యొక్క గుణకాలను కలిగి ఉన్న సంఖ్యను మీరు కనుగొనే వరకు అతిపెద్ద హారం యొక్క గుణకాలను ప్రయత్నించండి. తరచుగా LCM రెండు హారంల ఉత్పత్తి. ఉదాహరణకు, x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9 అనే సమీకరణాన్ని తీసుకోండి, ఇక్కడ LCM 8 * 9 = 72 కు సమానం.
   • ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ హారం వేరియబుల్ కలిగి ఉంటే, ఈ ప్రక్రియ కొంత కష్టం అవుతుంది, కానీ అది అసాధ్యం కాదు. ఆ సందర్భాలలో, LCM అనేది ఒక వ్యక్తీకరణ (వేరియబుల్స్‌తో), ఇది ఒకే సంఖ్యకు మాత్రమే కాకుండా అన్ని హారంలకు పూర్తిగా సరిపోతుంది. ఉదాహరణగా, 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x) అనే సమీకరణం, ఇక్కడ LCM 3x (x-1) కు సమానం, ఎందుకంటే ఇది ఏదైనా హారం ద్వారా పూర్తిగా విభజించబడుతుంది - (x- 1) ద్వారా విభజన ) 3x దిగుబడి, 3x దిగుబడి (x-1), మరియు x ద్వారా విభజన 3 (x-1).
3. హేతుబద్ధ సమీకరణంలోని ప్రతి భిన్నాన్ని 1 గుణించాలి. ప్రతి పదాన్ని 1 ద్వారా గుణించడం పనికిరానిదిగా అనిపించవచ్చు, కానీ ఇక్కడ ఒక ఉపాయం ఉంది. అవి 1 ను భిన్నంగా వ్రాయవచ్చు - ఉదా. 2/2 మరియు 3/3. మీ హేతుబద్ధమైన సమీకరణంలోని ప్రతి భిన్నాన్ని 1 ద్వారా గుణించండి, ప్రతిసారీ 1 ను సంఖ్యగా లేదా పదంగా వ్రాసి ప్రతి హారం ద్వారా గుణించి LCM ను భిన్నంగా ఇవ్వండి.
   • మా ఉదాహరణలో, 2x / 6 పొందడానికి x / 3 ను 2/2 ద్వారా గుణించవచ్చు మరియు 3/6 పొందడానికి 1/2 ను 3/3 ద్వారా గుణించవచ్చు. 3x +1/6 ఇప్పటికే 6 (lcm) ను దాని హారం వలె కలిగి ఉంది, కాబట్టి మనం దానిని 1/1 గుణించాలి లేదా వదిలివేయవచ్చు.
   • హారంలలో వేరియబుల్స్‌తో మా ఉదాహరణలో, మొత్తం ప్రక్రియ కొంచెం క్లిష్టంగా ఉంటుంది. LCM 3x (x-1) కు సమానం కాబట్టి, మేము ప్రతి హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను 3x (x-1) ను హారం వలె ఇచ్చే భిన్నం ద్వారా గుణిస్తాము. మేము 5 / (x-1) ను (3x) / (3x) గుణించాలి మరియు ఇది 5 (3x) / (3x) (x-1) ను ఇస్తుంది, మేము 1 / x ను 3 (x-1) / 3 (x -1) మరియు ఇది 3 (x-1) / 3x (x-1) ను ఇస్తుంది మరియు మేము 2 / (3x) ను (x-1) / (x-1) ద్వారా గుణిస్తాము మరియు ఇది చివరకు 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. X కోసం సరళీకృతం చేయండి మరియు పరిష్కరించండి. ఇప్పుడు మీ హేతుబద్ధమైన సమీకరణంలోని ప్రతి పదానికి ఒకే హారం ఉంది, ఈక్వేషన్ నుండి హారంలను తొలగించి, సంఖ్యలను పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది. హారం నుండి బయటపడటానికి LCM ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి, తద్వారా మీరు కేవలం సంఖ్యలతో మాత్రమే మిగిలిపోతారు. ఇప్పుడు ఇది ఒక సాధారణ సమీకరణంగా మారింది, మీరు వేరియబుల్ కోసం సమాన చిహ్నం యొక్క ఒక వైపున వేరుచేయడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు.
   • మా ఉదాహరణలో, గుణించిన తరువాత, 1 ను భిన్నంగా ఉపయోగించడం ద్వారా, మనకు 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6 లభిస్తుంది. ఒకే భిన్నం ఉంటే రెండు భిన్నాలను జోడించవచ్చు, కాబట్టి మనం ఈ సమీకరణాన్ని దాని విలువను మార్చకుండా (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 గా వ్రాయవచ్చు. హారంలను రద్దు చేయడానికి రెండు వైపులా 6 గుణించి, 2x + 3 = 3x + 1 ను వదిలివేయండి. ఇక్కడ, 2x + 2 = 3x ను వదిలి రెండు వైపుల నుండి 1 ను తీసివేసి, 2 = x ను వదిలివేయడానికి రెండు వైపుల నుండి 2x ను తీసివేయండి, తరువాత దీనిని x = 2 అని కూడా వ్రాయవచ్చు.
   • హారంలలో వేరియబుల్స్‌తో మా ఉదాహరణలో, ప్రతి పదాన్ని "1" తో గుణించిన తరువాత సమీకరణం 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). ప్రతి పదాన్ని LCM ద్వారా గుణించడం వల్ల హారంలను రద్దు చేయడం సాధ్యపడుతుంది, ఇది ఇప్పుడు మనకు 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1) ఇస్తుంది. మరింత వివరంగా, ఇది 15x = 3x - 3 + 2x -2 గా మారుతుంది, దీనిని మళ్ళీ 15x = x - 5 గా సరళీకృతం చేయవచ్చు. రెండు వైపుల నుండి x ను తీసివేస్తే 14x = -5 దిగుబడి వస్తుంది, తద్వారా తుది సమాధానం x = - 5/14.

చిట్కాలు

• మీరు వేరియబుల్ యొక్క విలువను కనుగొన్న తర్వాత, అసలు ఈక్వేషన్‌లో ఈ విలువను నమోదు చేయడం ద్వారా మీ జవాబును తనిఖీ చేయండి. మీరు వేరియబుల్ యొక్క విలువను పొందినట్లయితే, మీరు 1 = 1 వంటి సరళమైన, సరైన సిద్ధాంతానికి సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయగలగాలి.
• ప్రతి సమీకరణాన్ని హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణగా వ్రాయవచ్చు; దానిని హారం 1 పైన ఒక న్యూమరేటర్‌గా ఉంచండి. కాబట్టి x + 3 సమీకరణాన్ని (x + 3) / 1 అని వ్రాయవచ్చు, రెండూ ఒకే విలువను కలిగి ఉంటాయి.