విషయము

• దశలు
• సలహా

డేటా సమితి యొక్క వ్యాప్తిని వైవిధ్యం కొలుస్తుంది. గణాంక నమూనాలను నిర్మించడంలో ఇది చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: తక్కువ వ్యత్యాసం మీరు డేటాలోని అంతర్లీన సంబంధానికి బదులుగా యాదృచ్ఛిక లోపం లేదా శబ్దాన్ని వివరిస్తున్నట్లు సూచిస్తుంది. ఈ వ్యాసంతో, వికీ హౌ ఎలా వైవిధ్యాన్ని లెక్కించాలో నేర్పుతుంది.

దశలు

2 యొక్క పద్ధతి 1: నమూనా యొక్క వైవిధ్యాన్ని లెక్కించండి

1. 

   మీ నమూనా డేటా సమితిని వ్రాయండి. చాలా సందర్భాలలో, గణాంకవేత్తలకు వారు అధ్యయనం చేస్తున్న జనాభా యొక్క ఉపసమితి లేదా ఉపసమితిపై మాత్రమే సమాచారం ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, "జర్మనీలోని ప్రతి కారు ధర" ను విశ్లేషించడానికి బదులుగా, ఒక గణాంకవేత్త కొన్ని వేల కార్ల యాదృచ్ఛిక నమూనా ధరను కనుగొనవచ్చు. జర్మనీలో కార్ల ధరల గురించి మంచి అంచనా వేయడానికి గణాంకవేత్త ఈ నమూనాను ఉపయోగించవచ్చు. అయితే, ఇది వాస్తవ సంఖ్యలతో సరిగ్గా సరిపోలడం లేదు.
   • ఉదాహరణకి: కాఫీ షాప్‌లో రోజుకు విక్రయించే మఫిన్‌ల సంఖ్యను విశ్లేషించేటప్పుడు, మీరు యాదృచ్ఛిక ఆరు రోజుల నమూనాను తీసుకొని ఈ క్రింది ఫలితాలను పొందారు: 38, 37, 36, 28, 18, 14, 12, 11, 10.7, 9.9. ఇది ఒక నమూనా, జనాభా కాదు, ఎందుకంటే స్టోర్ తెరిచిన ప్రతి రోజు మీకు డేటా లేదు.
   • ఉంటే ప్రతి మాస్టర్‌లోని డేటా పాయింట్లు, దయచేసి క్రింది పద్ధతికి వెళ్లండి.

2. 

   
   
   నమూనా వ్యత్యాస సూత్రాన్ని వ్రాయండి. డేటా సమితి యొక్క వైవిధ్యం డేటా పాయింట్ల చెదరగొట్టే స్థాయిని సూచిస్తుంది. వ్యత్యాసం సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటుంది, డేటా పాయింట్లు దగ్గరగా ఉంటాయి. నమూనా డేటా సెట్‌లతో పనిచేసేటప్పుడు, వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
   • = /_{(n - 1)}
   • వైవిధ్యం. వైవిధ్యం ఎల్లప్పుడూ స్క్వేర్డ్ యూనిట్లలో లెక్కించబడుతుంది.
   • మీ డేటా సమితిలో విలువను సూచిస్తుంది.
   • Sum, "మొత్తం" అని అర్ధం, ప్రతి విలువకు కింది పారామితులను లెక్కించమని, ఆపై వాటిని కలిసి జోడించమని చెబుతుంది.
   • x̅ అనేది నమూనా యొక్క సగటు.
   • n అనేది డేటా పాయింట్ల సంఖ్య.

3. 

   
   
   నమూనా యొక్క సగటును లెక్కించండి. నమూనా యొక్క సగటును సూచించడానికి x̅ లేదా "x- క్షితిజ సమాంతర" చిహ్నం ఉపయోగించబడుతుంది. మీరు సగటున లెక్కించండి: అన్ని డేటా పాయింట్లను జోడించి పాయింట్ల సంఖ్యతో విభజించండి.
   • ఉదాహరణకి: మొదట, మీ డేటా పాయింట్లను జోడించండి: 17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     తరువాత, ఫలితాన్ని డేటా పాయింట్ల సంఖ్యతో విభజించండి, ఈ సందర్భంలో ఆరు: 84 ÷ 6 = 14.
     నమూనా సగటు = x̅ = 14.
   • మీరు డేటా యొక్క "సెంటర్ పాయింట్" గా సగటును ఆలోచించవచ్చు. డేటా సగటు చుట్టూ కేంద్రీకృతమైతే, వ్యత్యాసం తక్కువగా ఉంటుంది. అవి సగటుకు దూరంగా చెదరగొడితే, వ్యత్యాసం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

4. 

   
   
   ప్రతి డేటా పాయింట్ నుండి సగటును తీసివేయండి. ఇప్పుడు లెక్కించవలసిన సమయం - x̅, ఇక్కడ మీ డేటా సెట్‌లోని ప్రతి పాయింట్ ఉంటుంది. ప్రతి ఫలితం ప్రతి సంబంధిత బిందువు యొక్క సగటు నుండి విచలనాన్ని సూచిస్తుంది, లేదా సరళంగా చెప్పాలంటే, దాని నుండి సగటుకు దూరం.
   • ఉదాహరణకి:
     - x̅ = 17 - 14 = 3
     - x̅ = 15 - 14 = 1
     - x̅ = 23 - 14 = 9
     - x̅ = 7 - 14 = -7
     - x̅ = 9 - 14 = -5
     - x̅ = 13 - 14 = -1
   • మీ లెక్కలను తనిఖీ చేయడం చాలా సులభం, ఎందుకంటే ఫలితాలు సున్నాకి సమానం. దీనికి కారణం సగటు ద్వారా, ప్రతికూల ఫలితాలు (సగటు నుండి చిన్న సంఖ్యలకు దూరం). సానుకూల ఫలితాలు (సగటు నుండి పెద్ద సంఖ్యలకు దూరం) పూర్తిగా తొలగించబడతాయి.

5. 

   అన్ని ఫలితాలను స్క్వేర్ చేయండి. పైన పేర్కొన్నట్లుగా, ప్రస్తుత విచలనం జాబితా (- x̅) సున్నా మొత్తాన్ని కలిగి ఉంది. అంటే "సగటు విచలనం" కూడా ఎల్లప్పుడూ సున్నా అవుతుంది మరియు డేటా యొక్క చెదరగొట్టడం గురించి ఏమీ చెప్పలేము. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, ప్రతి విచలనం యొక్క చతురస్రాన్ని మేము కనుగొంటాము. దానికి ధన్యవాదాలు, అన్నీ సానుకూల సంఖ్యలు, ప్రతికూల విలువలు మరియు సానుకూల విలువలు ఇకపై ఒకదానికొకటి రద్దు చేయవు మరియు మొత్తాన్ని సున్నాగా ఇస్తాయి.
   • ఉదాహరణకి:
     (- x̅)
     - x̅)
     9 = 81
     (-7) = 49
     (-5) = 25
     (-1) = 1
   • మీరు ఇప్పుడు నమూనాలోని ప్రతి డేటా పాయింట్ కోసం (- x̅) కలిగి ఉన్నారు.

6. 

   స్క్వేర్డ్ విలువల మొత్తాన్ని కనుగొనండి. సూత్రం యొక్క మొత్తం లెక్కింపును లెక్కించడానికి ఇప్పుడు సమయం:. పెద్ద సైక్లో, ∑, ప్రతి విలువకు మీరు ఈ క్రింది మూలకం విలువను జోడించాలి. మీరు నమూనాలోని ప్రతి విలువకు (- x̅) లెక్కించారు, కాబట్టి మీరు చేయాల్సిందల్లా ఫలితాలను కలిపి జోడించడం.
   • ఉదాహరణకి: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166.

7. 

   N - 1 ద్వారా విభజించండి, ఇక్కడ n అనేది డేటా పాయింట్ల సంఖ్య. చాలా కాలం క్రితం, నమూనా వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, గణాంకవేత్తలు n ద్వారా మాత్రమే విభజించబడ్డారు. ఆ విభజన మీకు స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క సగటును ఇస్తుంది, ఇది ఆ నమూనా యొక్క వైవిధ్యానికి సరిగ్గా సరిపోతుంది. అయితే, నమూనా పెద్ద జనాభా యొక్క అంచనా మాత్రమే అని గుర్తుంచుకోండి. మీరు మరొక యాదృచ్ఛిక నమూనాను తీసుకొని అదే గణన చేస్తే, మీకు వేరే ఫలితం లభిస్తుంది. ఇది ముగిసినప్పుడు, n కి బదులుగా n-1 ద్వారా విభజించడం మీకు పెద్ద జనాభా యొక్క వ్యత్యాసం గురించి మంచి అంచనాను ఇస్తుంది - మీరు నిజంగా శ్రద్ధ వహిస్తారు. ఈ దిద్దుబాటు చాలా సాధారణం, ఇది ఇప్పుడు నమూనా వైవిధ్యం యొక్క అంగీకరించబడిన నిర్వచనం.
   • ఉదాహరణకి: నమూనాలో ఆరు డేటా పాయింట్లు ఉన్నాయి, కాబట్టి n = 6.
     నమూనా వ్యత్యాసం = 33,2

8. 

   వైవిధ్యం మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని అర్థం చేసుకోండి. సూత్రంలో శక్తులు ఉన్నందున, అసలైన డేటా యొక్క యూనిట్ల చతురస్రంలో వ్యత్యాసం కొలుస్తారు. ఇది దృశ్యమానంగా గందరగోళంగా ఉంది. బదులుగా, తరచుగా ప్రామాణిక విచలనం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ప్రామాణిక విచలనం వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలం ద్వారా నిర్ణయించబడినందున, ఏ ప్రయత్నాన్ని వృధా చేయడంలో అర్థం లేదు. అందుకే నమూనా వ్యత్యాసం ఇలా వ్రాయబడింది మరియు నమూనా యొక్క ప్రామాణిక విచలనం.
   • ఉదాహరణకు, పై నమూనా యొక్క ప్రామాణిక విచలనం = s = √33.2 = 5.76.
   ప్రకటన

2 యొక్క పద్ధతి 2: జనాభా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి

1. 

   మాస్టర్ డేటా సెట్‌తో ప్రారంభమవుతుంది. "జనాభా" అనే పదాన్ని అన్ని సంబంధిత పరిశీలనలను సూచించడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఉదాహరణకు, మీరు హనోయి నివాసితుల వయస్సుపై పరిశోధన చేస్తుంటే, మీ మొత్తం జనాభాలో హనోయిలో నివసించే అన్ని వ్యక్తుల వయస్సు ఉంటుంది. సాధారణంగా మీరు ఇలాంటి పెద్ద డేటా సెట్ కోసం స్ప్రెడ్‌షీట్‌ను సృష్టిస్తారు, కానీ ఇక్కడ ఒక చిన్న ఉదాహరణ డేటా సెట్ ఉంది:
   • ఉదాహరణకి: అక్వేరియం గదిలో, సరిగ్గా ఆరు అక్వేరియంలు ఉన్నాయి. ఈ ఆరు ట్యాంకులలో ఈ క్రింది చేపలు ఉన్నాయి:
     
     
     
     
     
     

2. 

   మొత్తం వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాన్ని వ్రాయండి. జనాభా మనకు అవసరమైన మొత్తం డేటాను కలిగి ఉన్నందున, ఈ సూత్రం జనాభా యొక్క ఖచ్చితమైన వ్యత్యాసాన్ని ఇస్తుంది. నమూనా వ్యత్యాసం నుండి వేరు చేయడానికి (ఇది ఒక అంచనా మాత్రమే), గణాంకవేత్తలు ఇతర వేరియబుల్స్ ఉపయోగిస్తారు:
   • σ = /_n
   • = నమూనా వైవిధ్యం. ఇది సాధారణంగా స్క్వేర్డ్ సాసేజ్. స్క్వేర్డ్ యూనిట్లలో వైవిధ్యం కొలుస్తారు.
   • మీ డేటా సెట్‌లోని ఒక మూలకాన్ని సూచిస్తుంది.
   • Value లోని మూలకం ప్రతి విలువకు లెక్కించబడుతుంది, ఆపై జోడించబడుతుంది.
   • μ మొత్తం సగటు.
   • n అనేది జనాభాలో డేటా పాయింట్ల సంఖ్య.

3. 

   జనాభా యొక్క సగటును కనుగొనండి. జనాభాను విశ్లేషించేటప్పుడు, μ ("ము") చిహ్నం అంకగణిత సగటును సూచిస్తుంది. సగటును కనుగొనడానికి, అన్ని డేటా పాయింట్లను జోడించండి, ఆపై పాయింట్ల సంఖ్యతో విభజించండి.
   • మీరు సగటును "సగటు" గా అనుకోవచ్చు, కాని జాగ్రత్తగా ఉండండి, ఎందుకంటే ఈ పదానికి చాలా గణిత నిర్వచనాలు ఉన్నాయి.
   • ఉదాహరణకి: సగటు విలువ = μ = = 10,5

4. 

   ప్రతి డేటా పాయింట్ నుండి సగటును తీసివేయండి. సగటుకు దగ్గరగా ఉన్న డేటా పాయింట్లు సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటాయి. అన్ని డేటా పాయింట్ల కోసం వ్యవకలనం సమస్యను పునరావృతం చేయండి మరియు మీరు బహుశా డేటా యొక్క చెదరగొట్టడాన్ని అనుభవించడం ప్రారంభిస్తారు.
   • ఉదాహరణకి:
     - μ = 5 – 10,5 = -5,5
     - μ = 5 – 10,5 = -5,5
     - μ = 8 – 10,5 = -2,5
     - μ = 12 - 10., = 1,5
     - μ = 15 – 10,5 = 4,5
     - μ = 18 – 10,5 = 7,5

5. 

   ప్రతి గుర్తును స్క్వేర్ చేయండి. ఈ సమయంలో, మునుపటి దశ నుండి పొందిన కొన్ని ఫలితాలు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి మరియు కొన్ని సానుకూలంగా ఉంటాయి.మీరు ఐసోమార్ఫిక్ లైన్‌లో డేటాను దృశ్యమానం చేస్తే, ఈ రెండు అంశాలు సగటు యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న సంఖ్యలను సూచిస్తాయి. వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడంలో ఇది ఉపయోగపడదు, ఎందుకంటే ఈ రెండు సమూహాలు ఒకదానికొకటి రద్దు చేస్తాయి. బదులుగా, అవన్నీ చతురస్రంగా ఉంటాయి కాబట్టి అవి అన్నీ సానుకూలంగా ఉంటాయి.
   • ఉదాహరణకి:
     (- μ) యొక్క ప్రతి విలువకు i 1 నుండి 6 వరకు నడుస్తుంది:
     (-5,5) = 30,25
     (-5,5) = 30,25
     (-2,5) = 6,25
     (1,5) = 2,25
     (4,5) = 20,25
     (7,5) = 56,25

6. 

   మీ ఫలితాల సగటును కనుగొనండి. ప్రతి డేటా పాయింట్‌కు మీరు ఇప్పుడు ఒక విలువను కలిగి ఉన్నారు, ఆ డేటా పాయింట్ సగటు నుండి ఎంత దూరంలో ఉందో (నేరుగా కాదు) సంబంధించినది. వాటిని కలిపి, మీ వద్ద ఉన్న విలువల సంఖ్యతో విభజించడం ద్వారా సగటు.
   • ఉదాహరణకి:
     మొత్తం వ్యత్యాసం = 24,25

7. 

   సంప్రదింపు రెసిపీ. పద్ధతి ప్రారంభంలో చెప్పిన సూత్రానికి ఇది ఎలా సరిపోతుందో మీకు తెలియకపోతే, మొత్తం సమస్యను చేతితో వ్రాసి, సంక్షిప్తీకరించవద్దు:
   • సగటు మరియు స్క్వేర్ నుండి వ్యత్యాసాన్ని కనుగొన్న తరువాత, మీరు (- μ), (- μ), మరియు (- μ) వరకు పొందుతారు, ఇక్కడ చివరి డేటా పాయింట్ ఉంది. డేటా సెట్‌లో.
   • ఈ విలువల సగటును కనుగొనడానికి, వాటిని కలిపి n ద్వారా విభజించండి: ((- μ) + (- μ) + ... + (- μ)) / n
   • సిగ్మోయిడ్ సంజ్ఞామానం తో లెక్కింపును తిరిగి వ్రాసిన తరువాత, మీకు /_n, ఫార్ములా వైవిధ్యం.
   ప్రకటన

సలహా

• వ్యత్యాసాన్ని అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కనుక, ఈ విలువ తరచుగా ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుగొనటానికి ప్రారంభ బిందువుగా లెక్కించబడుతుంది.
• హారం లో "n" కు బదులుగా "n-1" ను ఉపయోగించడం బెస్సెల్ దిద్దుబాటు అని పిలువబడే ఒక టెక్నిక్. నమూనా పూర్తి జనాభా యొక్క అంచనా మాత్రమే, మరియు నమూనా యొక్క సగటు ఆ అంచనాతో సరిపోలడానికి ఒక నిర్దిష్ట పక్షపాతాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ దిద్దుబాటు పై పక్షపాతాన్ని తొలగిస్తుంది. ఇది ఒకసారి n - 1 డేటా పాయింట్లను లెక్కించిన తరువాత, చివరి పాయింట్ n స్థిరాంకం, ఎందుకంటే వ్యత్యాస సూత్రంలో నమూనా (x̅) యొక్క సగటును లెక్కించడానికి కొన్ని విలువలు మాత్రమే ఉపయోగించబడ్డాయి.