విషయము

• దశలు
• పద్ధతి 1 లో 3: ఒక లైన్ సమీకరణం యొక్క వాలును లెక్కిస్తోంది
• పద్ధతి 2 లో 3: రెండు పాయింట్లను ఉపయోగించి వాలును లెక్కించండి
• 3 యొక్క పద్ధతి 3: వాలును లెక్కించడానికి డిఫరెన్షియల్ కాలిక్యులస్‌ని ఉపయోగించడం

వాలు అబ్సిస్సా అక్షానికి సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణాన్ని వర్ణిస్తుంది (వాలు సంఖ్యాపరంగా ఈ కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కి సమానం). వాలు సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణంలో ఉంటుంది మరియు వక్రతల గణిత విశ్లేషణలో ఉపయోగించబడుతుంది, ఇక్కడ ఇది ఎల్లప్పుడూ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానంగా ఉంటుంది. వాలును అర్థం చేసుకోవడాన్ని సులభతరం చేయడానికి, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటును ప్రభావితం చేస్తుందని ఊహించండి, అనగా, వాలు యొక్క పెద్ద విలువ, ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువ (స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క అదే విలువ కోసం).

దశలు

పద్ధతి 1 లో 3: ఒక లైన్ సమీకరణం యొక్క వాలును లెక్కిస్తోంది

1. 1 అబ్సిస్సాకు రేఖ యొక్క కోణం మరియు ఆ రేఖ యొక్క దిశను కనుగొనడానికి వాలును ఉపయోగించండి. మీకు సరళ రేఖ సమీకరణం ఇస్తే వాలును లెక్కించడం చాలా సులభం. ఏదైనా సరళ రేఖ సమీకరణంలో గుర్తుంచుకోండి:
   • ఘాతాంకాలు లేవు
   • కేవలం రెండు వేరియబుల్స్ మాత్రమే ఉన్నాయి, వీటిలో ఏదీ భిన్నం కాదు (ఉదాహరణకు, అలాంటిది ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$)
   • సరళ రేఖ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది ${ displaystyle y = kx + b}$, ఇక్కడ k మరియు b సంఖ్యా గుణకాలు (ఉదాహరణకు, 3, 10, -12, ${ displaystyle { frac {4} {3}}}$).
2. 2 వాలును కనుగొనడానికి, మీరు k విలువను కనుగొనాలి ("x" వద్ద గుణకం). మీకు ఇచ్చిన సమీకరణానికి రూపం ఉంటే ${ displaystyle y = kx + b}$, అప్పుడు వాలును కనుగొనడానికి మీరు "x" ముందు ఉన్న సంఖ్యను చూడాలి. K (వాలు) ఎల్లప్పుడూ స్వతంత్ర వేరియబుల్ వద్ద ఉంటుందని గమనించండి (ఈ సందర్భంలో, "x"). మీరు గందరగోళంగా ఉంటే, కింది ఉదాహరణలను చూడండి:
   • ${ displaystyle y = 2x + 6}$
     • వాలు = 2
   • ${ displaystyle y = 2-x}$
     • వాలు = -1
   • ${ displaystyle y = { frac {3} {8}} x-10}$
     • వాలు = ${ displaystyle { frac {3} {8}}}$
3. 3 ఒకవేళ మీకు ఇచ్చిన సమీకరణానికి వేరే రూపం ఉంటే y=kx+బి{ displaystyle y = kx + b}, డిపెండెంట్ వేరియబుల్‌ను వేరుచేయండి. చాలా సందర్భాలలో, డిపెండెంట్ వేరియబుల్ "y" గా సూచించబడుతుంది, మరియు దానిని వేరుచేయడానికి, మీరు అదనంగా, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు ఇతరుల కార్యకలాపాలు చేయవచ్చు. ఏదైనా గణిత ఆపరేషన్ తప్పనిసరిగా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా నిర్వహించబడాలని గుర్తుంచుకోండి (తద్వారా దాని అసలు విలువను మార్చకూడదు). మీకు ఇచ్చిన ఏదైనా సమీకరణాన్ని మీరు ఫారమ్‌కు తీసుకురావాలి ${ displaystyle y = kx + b}$... ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం:
   • సమీకరణం యొక్క వాలును కనుగొనండి ${ displaystyle 2y-3 = 8x + 7}$
   • ఈ సమీకరణాన్ని రూపానికి తీసుకురావడం అవసరం ${ displaystyle y = kx + b}$:
     • ${ displaystyle 2y-3 (+3) = 8x+7 (+3)}$
     • ${ displaystyle 2y = 8x + 10}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}$
     • ${ displaystyle y = 4x + 5}$
   • వాలును కనుగొనడం:
     • వాలు = k = 4

పద్ధతి 2 లో 3: రెండు పాయింట్లను ఉపయోగించి వాలును లెక్కించండి

1. 1 వాలును లెక్కించడానికి గ్రాఫ్ మరియు రెండు చుక్కలను ఉపయోగించండి. మీకు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఇస్తే (సమీకరణం లేదు), మీరు ఇప్పటికీ వాలును కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, ఈ గ్రాఫ్‌లో మీకు ఏవైనా రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు అవసరం; అక్షాంశాలు ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటాయి: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... వాలును లెక్కించేటప్పుడు తప్పులను నివారించడానికి, ఈ క్రింది వాటిని గుర్తుంచుకోండి:
   • గ్రాఫ్ పెరుగుతుంటే, వాలు సానుకూలంగా ఉంటుంది.
   • గ్రాఫ్ తగ్గుతుంటే, వాలు ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
   • అధిక వాలు విలువ, నిటారుగా గ్రాఫ్ (మరియు దీనికి విరుద్ధంగా).
   • అబ్సిస్సా అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖ వాలు 0.
   • ఆర్డినెట్‌కు సమాంతరంగా సరళ రేఖ యొక్క వాలు ఉనికిలో లేదు (ఇది అనంతం).
2. 2 రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. గ్రాఫ్‌లో, ఏదైనా రెండు పాయింట్లను గుర్తించండి మరియు వాటి అక్షాంశాలను (x, y) కనుగొనండి. ఉదాహరణకు, A (2.4) మరియు B (6.6) పాయింట్లు గ్రాఫ్‌లో ఉన్నాయి.
   • ఒక జత అక్షాంశాలలో, మొదటి సంఖ్య "x" కి మరియు రెండవది "y" కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
   • ప్రతి విలువ "x" ఒక నిర్దిష్ట విలువ "y" కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
3. 3 సమాన x₁, వై₁, x₂, వై₂ సంబంధిత విలువలకు. A (2,4) మరియు B (6,6) పాయింట్లతో మా ఉదాహరణలో:
   • x₁: 2
   • y₁: 4
   • x₂: 6
   • y₂: 6
4. 4 దొరికిన విలువలను వాలు ఫార్ములాలో ప్లగ్ చేయండి. వాలును కనుగొనడానికి, రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు ఉపయోగించబడతాయి మరియు కింది ఫార్ములా ఉపయోగించబడుతుంది: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను ప్లగ్ చేయండి.
   • రెండు పాయింట్లు: A (2.4) మరియు B (6.6).
   • పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
     • ${ displaystyle { frac {6-4} {6-2}}}$
   • ఖచ్చితమైన సమాధానం కోసం సరళీకృతం చేయండి:
     • ${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = వాలు
5. 5 ఫార్ములా సారాంశం యొక్క వివరణ. వాలు "y" కోఆర్డినేట్ (రెండు పాయింట్లు) "x" కోఆర్డినేట్ (రెండు పాయింట్లు) లో మార్పుకు సమానమైన నిష్పత్తికి సమానం. సమన్వయ మార్పు అనేది మొదటి మరియు రెండవ పాయింట్ల సంబంధిత కోఆర్డినేట్ విలువల మధ్య వ్యత్యాసం.
6. 6 వాలును లెక్కించడానికి మరొక రకమైన ఫార్ములా. వాలును లెక్కించడానికి ప్రామాణిక ఫార్ములా: k = ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... కానీ ఇది క్రింది రూపంలో ఉంటుంది: k = Δy / Δx, ఇక్కడ mat అనేది గ్రీకు అక్షరం "డెల్టా" గణితంలో వ్యత్యాసాన్ని సూచిస్తుంది. అంటే, Δx = x_2 - x_1, మరియు =y = y_2 - y_1.

3 యొక్క పద్ధతి 3: వాలును లెక్కించడానికి డిఫరెన్షియల్ కాలిక్యులస్‌ని ఉపయోగించడం

1. 1 ఫంక్షన్ల నుండి ఉత్పన్నాలను తీసుకోవడం నేర్చుకోండి. ఉత్పన్నం ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో ఉన్న ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటును వర్ణిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, గ్రాఫ్ నేరుగా లేదా వక్ర రేఖ కావచ్చు. అంటే, ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటును ఉత్పన్నం వర్ణిస్తుంది. డెరివేటివ్‌లు తీసుకున్న సాధారణ నియమాలను గుర్తుంచుకోండి, ఆపై మాత్రమే తదుపరి దశకు వెళ్లండి.
   • ఉత్పన్నం ఎలా తీసుకోవాలో కథనాన్ని చదవండి.
   • సరళమైన ఉత్పన్నాలను ఎలా తీసుకోవాలో, ఉదాహరణకు, ఘాతాంక సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం, ఈ వ్యాసంలో వివరించబడింది. కింది దశల్లో సమర్పించిన లెక్కలు దానిలో వివరించిన పద్ధతులపై ఆధారపడి ఉంటాయి.
2. 2 ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం పరంగా వాలును లెక్కించాల్సిన సమస్యల మధ్య తేడాను గుర్తించండి. సమస్యలలో ఎల్లప్పుడూ ఒక ఫంక్షన్ యొక్క వాలు లేదా ఉత్పన్నం కనుగొనడానికి ప్రతిపాదించబడదు. ఉదాహరణకు, A (x, y) పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటును కనుగొనమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు. పాయింట్ A (x, y) వద్ద టాంజెంట్ యొక్క వాలును కనుగొనమని కూడా మిమ్మల్ని అడగవచ్చు. రెండు సందర్భాలలో, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం తీసుకోవడం అవసరం.
   • ఉదాహరణకు, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క వాలును కనుగొనండి ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ పాయింట్ A (4.2) వద్ద.
   • ఉత్పన్నం తరచుగా ఇలా సూచించబడుతుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ f ’(x), y’,}$ లేదా ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$
3. 3 మీకు ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం తీసుకోండి. మీరు ఇక్కడ గ్రాఫ్ ప్లాట్ చేయవలసిన అవసరం లేదు - మీకు ఫంక్షన్ యొక్క సమీకరణం మాత్రమే అవసరం. మా ఉదాహరణలో, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం తీసుకోండి ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$... పైన పేర్కొన్న వ్యాసంలో వివరించిన పద్ధతుల ప్రకారం ఉత్పన్నం తీసుకోండి:
   • ఉత్పన్నం: ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
4. 4 వాలును లెక్కించడానికి ఇచ్చిన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఉత్పన్నమైన ఉత్పన్నంలోకి మార్చండి. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద వాలుకు సమానంగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, f '(x) అనేది ఏ సమయంలోనైనా ఫంక్షన్ యొక్క వాలు (x, f (x)). మా ఉదాహరణలో:
   • ఫంక్షన్ యొక్క వాలును కనుగొనండి ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ పాయింట్ A (4.2) వద్ద.
   • ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
   • ఈ పాయింట్ యొక్క x- కోఆర్డినేట్ కోసం విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ f ’(x) = 4 (4) +6}$
   • వాలును కనుగొనండి:
   • ఫంక్షన్ యొక్క వాలు ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ పాయింట్ A (4.2) వద్ద 22.
5. 5 వీలైతే, గ్రాఫ్‌లో మీ సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయండి. ప్రతి పాయింట్ వద్ద వాలు లెక్కించబడదని గుర్తుంచుకోండి. డిఫరెన్షియల్ కాలిక్యులస్ సంక్లిష్ట ఫంక్షన్లు మరియు క్లిష్టమైన గ్రాఫ్‌లను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది, ఇక్కడ వాలు ప్రతి పాయింట్ వద్ద లెక్కించబడదు మరియు కొన్ని సందర్భాల్లో పాయింట్లు గ్రాఫ్‌లపై అస్సలు ఉండవు. వీలైతే, మీకు ఇచ్చిన ఫంక్షన్ కోసం వాలు సరిగ్గా లెక్కించబడుతుందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించండి.లేకపోతే, ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద గ్రాఫ్‌కి టాంజెంట్‌ని గీయండి మరియు మీరు కనుగొన్న వాలు విలువ గ్రాఫ్‌లో మీరు చూస్తున్న దానితో సరిపోలుతుందో లేదో పరిశీలించండి.
   • టాంజెంట్ ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ వలె అదే వాలును కలిగి ఉంటుంది. ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ గీయడానికి, X- అక్షం వెంట కుడివైపు / ఎడమవైపుకు (మా ఉదాహరణలో, 22 విలువలు కుడివైపు), ఆపై Y- అక్షం వెంట ఒక యూనిట్ పైకి వెళ్లండి. పాయింట్‌ని గుర్తించండి , ఆపై దాన్ని మీకు ఇచ్చిన పాయింట్‌కి కనెక్ట్ చేయండి. మా ఉదాహరణలో, కోఆర్డినేట్‌ల వద్ద పాయింట్లను కనెక్ట్ చేయండి (4,2) మరియు (26,3).