విషయము

• దశలు
• పద్ధతి 1 లో 3: రెండు లైన్ల వాలులను పోల్చడం
• పద్ధతి 2 లో 3: లీనియర్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం
• 3 యొక్క పద్ధతి 3: సమాంతర రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడం

సమాంతర సరళ రేఖలు సరళ రేఖలు, అవి ఒకే విమానంలో ఉంటాయి మరియు ఎప్పుడూ (అనంతం అంతటా) కలుస్తాయి. సమాంతర రేఖలు ఒకే వాలును కలిగి ఉంటాయి.వాలు అబ్సిస్సా అక్షానికి సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌తో సమానంగా ఉంటుంది, అవి "y" కోఆర్డినేట్‌లోని మార్పు యొక్క నిష్పత్తి "x" కోఆర్డినేట్‌లోని మార్పుకు సమానం. సమాంతర సరళ రేఖలు తరచుగా "ll" చిహ్నం ద్వారా సూచించబడతాయి. ఉదాహరణకు, ABllCD అంటే లైన్ AB లైన్ CD కి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

దశలు

పద్ధతి 1 లో 3: రెండు లైన్ల వాలులను పోల్చడం

1. 1 వాలును లెక్కించడానికి సూత్రాన్ని వ్రాయండి. ఫార్ములా: k = (y₂ - వై₁) ((x₂ - x₁), ఇక్కడ "x" మరియు "y" అనేవి రెండు పాయింట్ల (ఏదైనా) సరళ రేఖపై ఉండే అక్షాంశాలు. మూలానికి దగ్గరగా ఉండే మొదటి బిందువు యొక్క అక్షాంశాలు (x₁, వై₁); మూలం నుండి మరింత దూరంలో ఉన్న రెండవ బిందువు యొక్క అక్షాంశాలు (x₂, వై₂).
   • పై సూత్రాన్ని ఈ క్రింది విధంగా సూత్రీకరించవచ్చు: నిలువు దూరం (రెండు పాయింట్ల మధ్య) సమాంతర దూరం (రెండు పాయింట్ల మధ్య) నిష్పత్తి.
   • లైన్ పెరుగుతూ ఉంటే (పైకి చూపుతూ), దాని వాలు సానుకూలంగా ఉంటుంది.
   • లైన్ తగ్గుతూ ఉంటే (క్రిందికి చూపుతూ), దాని వాలు ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
2. 2 ప్రతి లైన్‌లో ఉండే రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి. పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు (x, y) రూపంలో వ్రాయబడ్డాయి, ఇక్కడ “x” అనేది X- అక్షం (అబ్సిస్సా) వెంట సమన్వయం, “y” అనేది “y” అక్షం (ఆర్డినేట్) వెంట సమన్వయం. వాలును లెక్కించడానికి, ప్రతి లైన్‌లో రెండు పాయింట్లను గుర్తించండి.
   • కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో సరళ రేఖలు గీస్తే పాయింట్లు గుర్తించడం సులభం.
   • ఒక బిందువు యొక్క అక్షాంశాలను గుర్తించడానికి, దాని నుండి ప్రతి అక్షానికి లంబంగా (చుక్కల రేఖలు) గీయండి. X- అక్షంతో చుక్కల రేఖ యొక్క ఖండన స్థానం x- కోఆర్డినేట్, మరియు y- అక్షంతో ఖండన స్థానం y- కోఆర్డినేట్.
   • ఉదాహరణకు: l లైన్‌లో కోఆర్డినేట్‌లు (1, 5) మరియు (-2, 4), మరియు r -పాయింట్‌లతో పాయింట్‌లు ఉన్నాయి (3, 3) మరియు (1, -4).
3. 3 పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను ఫార్ములాలో ప్లగ్ చేయండి. అప్పుడు సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను తీసివేసి, పొందిన ఫలితాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి. ఫార్ములాలో కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, వాటి ఆర్డర్‌ని కంగారు పెట్టవద్దు.
   • సరళ రేఖ వాలును లెక్కిస్తోంది l: k = (5 - (-4)) / (1 - (-2))
   • తీసివేత: k = 9/3
   • విభజన: k = 3
   • సరళ రేఖ వాలును లెక్కిస్తోంది r: k = (3 - (-4)) / (3 - 1) = 7/2
4. 4 వాలులను సరిపోల్చండి. సమాంతర రేఖలు సమాన వాలులను కలిగి ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోండి. చిత్రంలో, పంక్తులు సమాంతరంగా కనిపించవచ్చు, కానీ వాలులు సమానంగా లేకపోతే, పంక్తులు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉండవు.
   • మా ఉదాహరణలో, 3 7/2 కి సమానం కాదు, కాబట్టి డేటా లైన్లు సమాంతరంగా ఉండవు.

పద్ధతి 2 లో 3: లీనియర్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం

1. 1 సరళ సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. సరళ సమీకరణం రూపం y = kx + b, ఇక్కడ k అనేది వాలు, b అనేది Y అక్షంతో సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క "y" కోఆర్డినేట్, "x" మరియు "y" లు వేరియబుల్స్ ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి సరళ రేఖపై ఉండే పాయింట్ల అక్షాంశాలు. ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మీరు వాలు k ని సులభంగా లెక్కించవచ్చు.
   • ఉదాహరణకి. 4y - 12x = 20 మరియు y = 3x -1 సమీకరణాలను సరళ సమీకరణంగా ప్రదర్శించండి. సమీకరణం 4y - 12x = 20 అవసరమైన రూపంలో సమర్పించాలి, అయితే y = 3x -1 సమీకరణం ఇప్పటికే సరళ సమీకరణంగా వ్రాయబడింది.
2. 2 సమీకరణాన్ని సరళ సమీకరణంగా తిరిగి వ్రాయండి. కొన్నిసార్లు ఒక సమీకరణం ఇవ్వబడుతుంది, అది సరళ సమీకరణం రూపంలో సూచించబడదు. అటువంటి సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయడానికి, మీరు అనేక సాధారణ గణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించాలి.
   • ఉదాహరణకు: 4y - 12x = 20 సమీకరణాన్ని సరళ సమీకరణంగా తిరిగి వ్రాయండి.
   • సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12x జోడించండి: 4y - 12x + 12x = 20 + 12x
   • Y: 4y / 4 = 12x / 4 + 20/4 ను వేరు చేయడానికి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4 ద్వారా విభజించండి
   • ఒక లీనియర్ రూపంలో సమీకరణం: y = 3x + 5.
3. 3 వాలులను సరిపోల్చండి. సమాంతర రేఖలు సమాన వాలులను కలిగి ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోండి. Y = kx + b సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, k అనేది వాలు అయితే, మీరు రెండు పంక్తుల వాలులను కనుగొనవచ్చు మరియు సరిపోల్చవచ్చు.
   • మా ఉదాహరణలో, మొదటి పంక్తి y = 3x + 5 సమీకరణం ద్వారా వర్ణించబడింది, కాబట్టి వాలు 3. సమీకరణం y = 3x - 1 ద్వారా రెండవ పంక్తి వర్ణించబడింది, కాబట్టి వాలు కూడా 3. వాలు సమానంగా ఉన్నందున , ఈ పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.
   • ఒకే వాలు ఉన్న పంక్తులు ఒకే గుణకం b కలిగి ఉంటే (Y- అక్షంతో లైన్ యొక్క ఖండన యొక్క y- కోఆర్డినేట్) కూడా ఒకే విధంగా ఉంటుంది, అలాంటి పంక్తులు సమానంగా ఉంటాయి మరియు సమాంతరంగా ఉండవు.

3 యొక్క పద్ధతి 3: సమాంతర రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడం

1. 1 సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. కోరిన సమాంతర (రెండవ) సరళ రేఖపై ఉన్న ఒక బిందువు యొక్క మొదటి సరళ రేఖ మరియు కోఆర్డినేట్‌లు ఇవ్వబడితే, కింది సమీకరణం సమాంతర (రెండవ) సరళ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది: y - y₁= k (x - x₁), ఇక్కడ k అనేది వాలు, x₁ మరియు వై₁ - కావలసిన సరళ రేఖ, "x" మరియు "y" మీద ఉండే ఒక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు - మొదటి సరళ రేఖపై ఉండే పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా నిర్ణయించబడే వేరియబుల్స్.
   • ఉదాహరణకు: y = -4x + 3 రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే లైన్ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి మరియు అది కోఆర్డినేట్‌లతో (1, -2) బిందువు గుండా వెళుతుంది.
2. 2 ఈ (మొదటి) సరళ రేఖ యొక్క వాలును నిర్ణయించండి. సమాంతర (రెండవ) సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మొదట దాని వాలును గుర్తించాలి. సమీకరణం సరళ సమీకరణ రూపంలో ఉందని నిర్ధారించుకోండి, ఆపై వాలు విలువ (k) ను కనుగొనండి.
   • రెండవ పంక్తి ఈ రేఖకు సమాంతరంగా ఉండాలి, ఇది y = -4x + 3. సమీకరణం ద్వారా వర్ణించబడింది, ఈ సమీకరణంలో, k = -4, కాబట్టి రెండవ పంక్తికి అదే వాలు ఉంటుంది.
3. 3 సమర్పించిన సమీకరణంలో రెండవ సరళ రేఖపై ఉన్న పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. రెండవ సరళ రేఖపై ఉన్న ఒక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు ఇచ్చినట్లయితే మాత్రమే ఈ పద్ధతి వర్తిస్తుంది, దీని సమీకరణం కనుగొనబడుతుంది. అటువంటి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఈ (మొదటి) సరళ రేఖపై ఉండే పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లతో కంగారు పెట్టవద్దు. ఒకే వాలుతో ఉన్న పంక్తులు ఒకే గుణకం b కలిగి ఉంటే (Y- అక్షంతో లైన్ యొక్క ఖండన యొక్క y- కోఆర్డినేట్) కూడా అదే అని గుర్తుంచుకోండి, ఈ పంక్తులు సమానంగా ఉంటాయి మరియు సమాంతరంగా ఉండవు.
   • మా ఉదాహరణలో, రెండవ లైన్‌లోని పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది (1, -2).
4. 4 రెండవ లైన్ కోసం సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. దీన్ని చేయడానికి, తెలిసిన విలువలను y - y సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయండి₁= k (x - x₁). కనుగొన్న వాలు మరియు రెండవ సరళ రేఖపై పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్లగ్ చేయండి.
   • మా ఉదాహరణలో, k = -4, మరియు పాయింట్ (1, -2) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు: y -(-2) = -4 (x -1)
5. 5 సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయండి. సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయండి మరియు దానిని సరళ సమీకరణంగా వ్రాయండి. మీరు సమన్వయ విమానంలో రెండవ గీతను గీస్తే, అది ఈ (మొదటి) రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణకు: y - (-2) = -4 (x - 1)
   • రెండు "మైనస్‌లు" ఒక "ప్లస్" ఇస్తాయి: y + 2 = -4 (x -1)
   • బ్రాకెట్లను విస్తరించండి: y + 2 = -4x + 4.
   • సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి -2 తీసివేయండి: y + 2 - 2 = -4x + 4 - 2
   • సరళీకృత సమీకరణం: y = -4x + 2