విషయము

• దశలు
• 2 వ పద్ధతి 1: బీజగణిత పద్ధతి
• పద్ధతి 2 లో 2: గ్రాఫికల్ పద్ధతి
• చిట్కాలు
• హెచ్చరిక

విధులు సరి, బేసి లేదా సాధారణమైనవి (అంటే సరి, బేసి కూడా కాదు). ఫంక్షన్ రకం సమరూపత ఉనికి లేదా లేకపోవడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఫంక్షన్ రకాన్ని నిర్ణయించడానికి ఉత్తమ మార్గం బీజగణిత గణనల శ్రేణిని నిర్వహించడం. కానీ ఫంక్షన్ రకం దాని షెడ్యూల్ ద్వారా కూడా కనుగొనబడుతుంది. విధుల రకాన్ని ఎలా నిర్వచించాలో నేర్చుకోవడం ద్వారా, మీరు కొన్ని ఫంక్షన్ల కలయికల ప్రవర్తనను అంచనా వేయవచ్చు.

దశలు

2 వ పద్ధతి 1: బీజగణిత పద్ధతి

1. 1 వేరియబుల్స్ యొక్క వ్యతిరేక విలువలు ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి. బీజగణితంలో, వేరియబుల్ యొక్క వ్యతిరేక విలువ “-” (మైనస్) గుర్తుతో వ్రాయబడుతుంది. అంతేకాకుండా, స్వతంత్ర వేరియబుల్ (అక్షరం ద్వారా) యొక్క ఏదైనా హోదాకు ఇది వర్తిస్తుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ లేదా ఏదైనా ఇతర లేఖ). అసలు ఫంక్షన్‌లో వేరియబుల్ ముందు ఇప్పటికే ప్రతికూల సంకేతం ఉన్నట్లయితే, దాని వ్యతిరేక విలువ పాజిటివ్ వేరియబుల్ అవుతుంది. కొన్ని చరరాశుల ఉదాహరణలు మరియు వాటి వ్యతిరేక అర్థాలు క్రింద ఉన్నాయి:
   • కోసం వ్యతిరేక అర్థం ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ ఒక ${ displaystyle -x}$.
   • కోసం వ్యతిరేక అర్థం ${ displaystyle q}$ ఒక ${ displaystyle -q}$.
   • కోసం వ్యతిరేక అర్థం ${ displaystyle -w}$ ఒక ${ డిస్ప్లే స్టైల్ w}$.
2. 2 వివరణాత్మక వేరియబుల్‌ను దాని వ్యతిరేక విలువతో భర్తీ చేయండి. అంటే, స్వతంత్ర చరరాశి గుర్తును రివర్స్ చేయండి. ఉదాహరణకి:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ లోకి మారుతుంది ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ లోకి మారుతుంది ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ లోకి మారుతుంది ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 కొత్త ఫంక్షన్‌ను సరళీకృతం చేయండి. ఈ సమయంలో, మీరు స్వతంత్ర వేరియబుల్ కోసం నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయవలసిన అవసరం లేదు. అసలు ఫంక్షన్ f (x) తో సరిపోల్చడానికి మీరు కొత్త ఫంక్షన్ f (-x) ను సరళీకృతం చేయాలి. ఘాతాంకం యొక్క ప్రాథమిక నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: నెగటివ్ వేరియబుల్‌ను సరి శక్తికి పెంచడం వల్ల పాజిటివ్ వేరియబుల్ వస్తుంది, మరియు నెగటివ్ వేరియబుల్‌ను బేసి పవర్‌కు పెంచడం వల్ల నెగటివ్ వేరియబుల్ వస్తుంది.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 రెండు విధులను సరిపోల్చండి. సరళీకృత కొత్త ఫంక్షన్ f (-x) ని అసలైన ఫంక్షన్ f (x) తో సరిపోల్చండి. రెండు ఫంక్షన్ల సంబంధిత నిబంధనలను ఒకదాని క్రింద ఒకటి వ్రాసి వాటి సంకేతాలను సరిపోల్చండి.
   • రెండు ఫంక్షన్ల సంబంధిత నిబంధనల సంకేతాలు సమానంగా ఉంటే, అంటే f (x) = f (-x), అసలైన ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణ:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ మరియు ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • ఇక్కడ పదాల సంకేతాలు సమానంగా ఉంటాయి, కాబట్టి అసలు ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది.
   • రెండు ఫంక్షన్ల సంబంధిత నిబంధనల సంకేతాలు ఒకదానికొకటి వ్యతిరేకం అయితే, అంటే f (x) = -f (-x), అసలైన ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణ:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, కానీ ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • మీరు మొదటి ఫంక్షన్‌లోని ప్రతి పదాన్ని -1 ద్వారా గుణిస్తే, మీరు రెండవ ఫంక్షన్‌ను పొందుతారని గమనించండి. అందువలన, అసలు ఫంక్షన్ g (x) బేసి.
   • క్రొత్త ఫంక్షన్ పైన పేర్కొన్న ఏవైనా ఉదాహరణలతో సరిపోలకపోతే, అది సాధారణ ఫంక్షన్ (అంటే సరి లేదా బేసి కాదు). ఉదాహరణకి:
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, కానీ ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... రెండు ఫంక్షన్ల యొక్క మొదటి నిబంధనల సంకేతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు రెండవ పదాల సంకేతాలు సరసన ఉంటాయి. అందువల్ల, ఈ ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు.

పద్ధతి 2 లో 2: గ్రాఫికల్ పద్ధతి

1. 1 ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ ప్లాట్ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, గ్రాఫ్ పేపర్ లేదా గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించండి. సంఖ్యా వివరణాత్మక వేరియబుల్ విలువలలో ఏదైనా గుణకాన్ని ఎంచుకోండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ మరియు డిపెండెంట్ వేరియబుల్ విలువలను లెక్కించడానికి వాటిని ఫంక్షన్‌లో ప్లగ్ చేయండి ${ ప్రదర్శన శైలి y}$... కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పాయింట్ల దొరికిన కోఆర్డినేట్‌లను గీయండి, ఆపై ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి ఈ పాయింట్‌లను కనెక్ట్ చేయండి.
   • ఫంక్షన్‌లో సానుకూల సంఖ్యా విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ మరియు సంబంధిత ప్రతికూల సంఖ్యా విలువలు. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... కింది విలువలను ప్లగ్ చేయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్ వచ్చింది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్ వచ్చింది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్ వచ్చింది ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్ వచ్చింది ${ displaystyle (-2.9)}$.
2. 2 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y- అక్షం గురించి సమరూపంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి. సమరూపత అనేది ఆర్డినేట్ అక్షం గురించి చార్ట్ యొక్క ప్రతిబింబాన్ని సూచిస్తుంది. వై-యాక్సిస్ (పాజిటివ్ వివరణాత్మక వేరియబుల్) యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క భాగం వై-యాక్సిస్ (వివరణాత్మక వేరియబుల్ యొక్క ప్రతికూల విలువలు) యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క భాగంతో సమానంగా ఉంటే, గ్రాఫ్ సుష్టంగా ఉంటుంది y- అక్షం
   • మీరు వ్యక్తిగత పాయింట్ల ద్వారా గ్రాఫ్ యొక్క సమరూపతను తనిఖీ చేయవచ్చు. విలువ ఉంటే ${ ప్రదర్శన శైలి y}$ఇది విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$, విలువకు సరిపోతుంది ${ ప్రదర్శన శైలి y}$ఇది విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది ${ displaystyle -x}$, ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది.ఫంక్షన్‌తో మా ఉదాహరణలో ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ మేము పాయింట్ల కింది కోఆర్డినేట్‌లను పొందాము:
     • (1.3) మరియు (-1.3)
     • (2.9) మరియు (-2.9)
   • గమనించండి x = 1 మరియు x = -1, డిపెండెంట్ వేరియబుల్ y = 3, మరియు x = 2 మరియు x = -2 ఉన్నప్పుడు, డిపెండెంట్ వేరియబుల్ y = 9. కాబట్టి ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది. వాస్తవానికి, ఫంక్షన్ యొక్క ఖచ్చితమైన రూపాన్ని తెలుసుకోవడానికి, మీరు రెండు పాయింట్లకు పైగా పరిగణించాలి, కానీ వివరించిన పద్ధతి మంచి ఉజ్జాయింపు.
3. 3 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి. మూలం కోఆర్డినేట్‌లతో ఉన్న పాయింట్ (0,0). మూలం గురించి సమరూపత అంటే సానుకూల విలువ ${ ప్రదర్శన శైలి y}$ (సానుకూల విలువతో ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$) ప్రతికూల విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది ${ ప్రదర్శన శైలి y}$ (ప్రతికూల విలువతో ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$), మరియు దీనికి విరుద్ధంగా. బేసి విధులు మూలం గురించి సమరూపంగా ఉంటాయి.
   • మేము ఫంక్షన్‌లో అనేక సానుకూల మరియు సంబంధిత ప్రతికూల విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$, విలువలు ${ ప్రదర్శన శైలి y}$ గుర్తులో తేడా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... బహుళ విలువలను దానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్ వచ్చింది (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... మేము కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్ పొందాము (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్ వచ్చింది (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... కోఆర్డినేట్‌లతో (-2, -10) మాకు పాయింట్ వచ్చింది.
   • అందువలన, f (x) = -f (-x), అంటే, ఫంక్షన్ బేసి.
4. 4 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో ఏదైనా సమరూపత ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి. చివరి రకం ఫంక్షన్ దీని గ్రాఫ్‌లో సమరూపత లేదు, అంటే, ఆర్డినెట్ అక్షం మరియు మూలం గురించి రెండింటినీ ప్రతిబింబించదు. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • ఫంక్షన్‌లో అనేక సానుకూల మరియు సంబంధిత ప్రతికూల విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్ వచ్చింది (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... మేము కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్ పొందాము (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్ వచ్చింది (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... మేము కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్ పొందాము (2, -2).
   • పొందిన ఫలితాల ప్రకారం, సమరూపత లేదు. విలువలు ${ ప్రదర్శన శైలి y}$ వ్యతిరేక విలువల కోసం ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ ఏకీభవించవద్దు మరియు వ్యతిరేకం కాదు. అందువలన, ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు.
   • ఫంక్షన్ గమనించండి ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ ఇలా వ్రాయవచ్చు: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... ఈ ఫారమ్‌లో వ్రాసినప్పుడు, ఫంక్షన్ కూడా ఒక ఘాతాంకం ఉన్నందున కనిపిస్తుంది. అయితే ఈ ఉదాహరణ స్వతంత్ర వేరియబుల్ కుండలీకరణాలలో జతచేయబడి ఉంటే విధుల పనితీరును త్వరగా గుర్తించలేమని రుజువు చేస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, అందుకున్న ఘాతాంకాలను విశ్లేషించాలి.

చిట్కాలు

• స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క ఘాతాంకం సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది; ఘాతాంకం బేసి అయితే, ఫంక్షన్ బేసి.

హెచ్చరిక

• ఈ ఆర్టికల్ రెండు వేరియబుల్స్ ఉన్న ఫంక్షన్‌లకు మాత్రమే వర్తింపజేయబడుతుంది, దీని విలువలు సమన్వయ విమానంలో ప్లాట్ చేయబడతాయి.