విషయము

• దశలు
• 4 వ భాగం 1: సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి
• 4 వ భాగం 2: యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ఎలా వ్రాయాలి
• 4 వ భాగం 3: యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని ఎలా కనుగొనాలి
• 4 వ భాగం 4: అనంతమైన ఇతర పరిష్కారాలను కనుగొనండి

సరళ డయోఫాంటైన్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు పూర్ణాంకాలు అయిన "x" మరియు "y" వేరియబుల్స్ విలువలను కనుగొనాలి. ఒక పూర్ణాంక పరిష్కారం సాధారణం కంటే చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది మరియు నిర్దిష్ట చర్యల సమితి అవసరం. ముందుగా, మీరు కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క గొప్ప సాధారణ డివైజర్ (GCD) ను లెక్కించాలి, ఆపై పరిష్కారం కనుగొనండి. మీరు సరళ సమీకరణానికి ఒక పూర్ణాంక పరిష్కారాన్ని కనుగొన్న తర్వాత, అనంతమైన ఇతర పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి మీరు ఒక సాధారణ నమూనాను ఉపయోగించవచ్చు.

దశలు

4 వ భాగం 1: సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి

1. 1 సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయండి. సరళ సమీకరణం అనేది ఒక సమీకరణం, దీనిలో వేరియబుల్స్ యొక్క ఘాతాంకాలు మించవు 1. అటువంటి సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మొదట దానిని ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి. సరళ సమీకరణం యొక్క ప్రామాణిక రూపం ఇలా కనిపిస్తుంది: ${ displaystyle Ax + By = C}$, ఎక్కడ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ A, B}$ మరియు ${ displaystyle C}$ - మొత్తం సంఖ్యలు.
   • సమీకరణం వేరే రూపంలో ఇవ్వబడితే, ప్రాథమిక బీజగణిత కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి దానిని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకురండి. ఉదాహరణకు, సమీకరణం ఇవ్వబడింది ${ displaystyle 23x + 4y -7x = -3y + 15}$... ఇలాంటి నిబంధనలను ఇవ్వండి మరియు సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయండి: ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయండి (వీలైతే). మీరు సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాసినప్పుడు, గుణకాలను చూడండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ A, B}$ మరియు ${ displaystyle C}$... ఈ అసమానతలకు GCD ఉంటే, దాని ద్వారా మూడు అసమానతలను విభజించండి. అటువంటి సరళీకృత సమీకరణానికి పరిష్కారం అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారం కూడా అవుతుంది.
   • ఉదాహరణకు, మూడు కోఎఫీషియంట్‌లు సమానంగా ఉంటే, వాటిని కనీసం 2 ద్వారా విభజించండి. ఉదాహరణకు:
     • ${ displaystyle 42x + 36y = 48}$ (సభ్యులందరూ 2 ద్వారా భాగిస్తారు)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (ఇప్పుడు సభ్యులందరూ 3 ద్వారా భాగిస్తారు)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (ఈ సమీకరణం ఇకపై సరళీకరించబడదు)
3. 3 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయండి. కొన్ని సందర్భాల్లో, సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవని మీరు వెంటనే పేర్కొనవచ్చు. "A" మరియు "B" గుణకాల యొక్క GCD ద్వారా గుణకం "C" ను విభజించకపోతే, సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు.
   • ఉదాహరణకు, రెండు గుణకాలు ఉంటే ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ A}$ మరియు ${ డిస్ప్లే స్టైల్ B}$ కూడా, అప్పుడు గుణకం ${ displaystyle C}$ తప్పక సమానంగా ఉండాలి. కాని ఒకవేళ ${ displaystyle C}$ బేసి, అప్పుడు పరిష్కారం లేదు.
     • సమీకరణం ${ displaystyle 2x + 4y = 21}$ పూర్ణాంక పరిష్కారాలు లేవు.
     • సమీకరణం ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు 5 ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు కుడి వైపు కాదు కాబట్టి పూర్ణాంక పరిష్కారాలు లేవు.

4 వ భాగం 2: యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ఎలా వ్రాయాలి

1. 1 యూక్లిడ్ అల్గోరిథం అర్థం చేసుకోండి. ఇది పునరావృత విభాగాల శ్రేణి, దీనిలో మునుపటి శేషం తదుపరి విభజనగా ఉపయోగించబడుతుంది. సంఖ్యలను సమగ్రంగా విభజించే చివరి డివైజర్ రెండు సంఖ్యలలో గొప్ప సాధారణ విభజన (GCD).
   • ఉదాహరణకు, యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి 272 మరియు 36 సంఖ్యల GCD ని కనుగొందాం:
     • ${ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - పెద్ద సంఖ్య (272) ను చిన్నది (36) విభజించి, మిగిలిన వాటికి (20) శ్రద్ధ వహించండి;
     • ${ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - మునుపటి భాగాన్ని (36) మునుపటి శేషం (20) తో భాగించండి. కొత్త అవశేషాలను గమనించండి (16);
     • ${ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - మునుపటి భాగాన్ని (20) మునుపటి శేషం (16) తో భాగించండి. కొత్త అవశేషాలను గమనించండి (4);
     • ${ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - మునుపటి భాగాన్ని (16) మునుపటి శేషం (4) తో భాగించండి. మిగిలినది 0 కాబట్టి, 4 అసలు రెండు సంఖ్యలు 272 మరియు 36 యొక్క GCD అని మనం చెప్పగలం.
2. 2 యూక్లిడ్ అల్గోరిథం "A" మరియు "B" గుణకాలకు వర్తించండి. మీరు లీనియర్ సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాసినప్పుడు, "A" మరియు "B" కోఎఫీషియంట్‌లను నిర్ణయించి, ఆపై GCD ని కనుగొనడానికి యూక్లిడ్ అల్గోరిథంను వాటికి వర్తింపజేయండి. ఉదాహరణకు, సరళ సమీకరణం ఇవ్వబడింది ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • గుణకాలు A = 87 మరియు B = 64 కోసం యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ఇక్కడ ఉంది:
     • ${ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 గొప్ప సాధారణ కారకాన్ని కనుగొనండి (GCD). చివరి డివైజర్ 1 అయినందున, GCD 87 మరియు 64 1. కాబట్టి, 87 మరియు 64 ఒకదానికొకటి ప్రధాన సంఖ్యలు.
4. 4 ఫలితాన్ని విశ్లేషించండి. మీరు gcd గుణకాలను కనుగొన్నప్పుడు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ A}$ మరియు ${ డిస్ప్లే స్టైల్ B}$, గుణకంతో పోల్చండి ${ displaystyle C}$ అసలు సమీకరణం. ఒకవేళ ${ displaystyle C}$ gcd ద్వారా భాగించవచ్చు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ A}$ మరియు ${ డిస్ప్లే స్టైల్ B}$, సమీకరణం ఒక పూర్ణాంక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది; లేకపోతే సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు.
   • ఉదాహరణకు, సమీకరణం ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ పరిష్కరించవచ్చు ఎందుకంటే 3 ను 1 ద్వారా భాగించవచ్చు (gcd = 1).
   • ఉదాహరణకు, GCD = 5 అనుకుందాం. 3 ని 5 ద్వారా సమానంగా విభజించలేము, కాబట్టి ఈ సమీకరణానికి పూర్ణాంక పరిష్కారాలు లేవు.
   • క్రింద చూపిన విధంగా, ఒక సమీకరణానికి ఒక పూర్ణాంక పరిష్కారం ఉంటే, అది అనంతమైన ఇతర పూర్ణాంక పరిష్కారాలను కూడా కలిగి ఉంటుంది.

4 వ భాగం 3: యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

1. 1 GCD లెక్కించడానికి దశలను సంఖ్య చేయండి. సరళ సమీకరణానికి పరిష్కారం కనుగొనడానికి, మీరు ప్రత్యామ్నాయం మరియు సరళీకరణ ప్రక్రియకు ఆధారంగా యూక్లిడియన్ అల్గోరిథంను ఉపయోగించాలి.
   • GCD లెక్కించడానికి దశలను సంఖ్య చేయడం ద్వారా ప్రారంభించండి. గణన ప్రక్రియ ఇలా కనిపిస్తుంది:
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ { టెక్స్ట్ {స్టెప్ 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ { టెక్స్ట్ {స్టెప్ 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ { టెక్స్ట్ {స్టెప్ 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ { టెక్స్ట్ {స్టెప్ 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {Step 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {6 వ దశ}}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {7 వ దశ}}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 శేషం ఉన్న చివరి దశపై శ్రద్ధ వహించండి. మిగిలిన వాటిని వేరు చేయడానికి ఈ దశ కోసం సమీకరణాన్ని మళ్లీ వ్రాయండి.
   • మా ఉదాహరణలో, మిగిలి ఉన్న చివరి దశ దశ 6. మిగిలినది 1. సమీకరణాన్ని దశ 6 లో ఈ విధంగా తిరిగి వ్రాయండి:
     • ${ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 మునుపటి దశలో మిగిలిన వాటిని వేరు చేయండి. ఈ ప్రక్రియ దశలవారీగా "పైకి వెళ్లండి". ప్రతిసారీ మీరు మునుపటి దశలో సమీకరణంలో మిగిలిన వాటిని వేరు చేస్తారు.
   • దశ 5 లో మిగిలిన సమీకరణాన్ని వేరు చేయండి:
     • ${ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ లేదా ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 2 = 5-3}$
4. 4 ప్రత్యామ్నాయం మరియు సరళీకృతం చేయండి. దశ 6 లోని సమీకరణం సంఖ్య 2 ను కలిగి ఉందని గమనించండి మరియు దశ 5 లోని సమీకరణంలో, సంఖ్య 2 వేరుచేయబడింది. కాబట్టి 6 వ దశలో సమీకరణంలో "2" కి బదులుగా, దశ 5 లో వ్యక్తీకరణను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 1 = 3-2}$ (దశ 6 యొక్క సమీకరణం)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (2 కి బదులుగా, వ్యక్తీకరణ ప్రత్యామ్నాయం చేయబడింది)
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 1 = 3-5 + 3}$ (తెరిచిన బ్రాకెట్లు)
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 1 = 2 (3) -5}$ (సరళీకృత)
5. 5 ప్రత్యామ్నాయం మరియు సరళీకరణ ప్రక్రియను పునరావృతం చేయండి. రివర్స్ క్రమంలో యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ద్వారా కదిలే ప్రక్రియను పునరావృతం చేయండి. ప్రతిసారీ మీరు మునుపటి దశ నుండి సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాస్తారు మరియు మీరు పొందే చివరి సమీకరణంలో దాన్ని ప్లగ్ చేస్తారు.
   • మేము చూసే చివరి దశ దశ 5. కాబట్టి దశ 4 కి వెళ్లి, ఆ దశ కోసం సమీకరణంలో మిగిలిన వాటిని వేరు చేయండి:
     • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 3 = 18- (3 * 5)}$
   • చివరి సమీకరణంలో "3" కోసం ఈ వ్యక్తీకరణను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 ప్రత్యామ్నాయం మరియు సరళీకరణ ప్రక్రియను కొనసాగించండి. మీరు యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ప్రారంభ దశకు చేరుకునే వరకు ఈ ప్రక్రియ పునరావృతమవుతుంది. పరిష్కరించాల్సిన అసలు సమీకరణంలోని 87 మరియు 64 గుణకాలతో సమీకరణాన్ని వ్రాయడం ప్రక్రియ యొక్క లక్ష్యం. మా ఉదాహరణలో:
   • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (దశ 3 నుండి వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం)
     • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (దశ 2 నుండి వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం)
     • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (దశ 1 నుండి వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం)
     • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ డిస్‌ప్లే శైలి 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 అసలు గుణకాలకు అనుగుణంగా ఫలిత సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయండి. మీరు యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం యొక్క మొదటి దశకు తిరిగి వచ్చినప్పుడు, ఫలిత సమీకరణం అసలు సమీకరణం యొక్క రెండు గుణకాలను కలిగి ఉన్నట్లు మీరు చూస్తారు. సమీకరణాన్ని మళ్లీ వ్రాయండి, తద్వారా దాని నిబంధనల క్రమం అసలు సమీకరణం యొక్క గుణకాలతో సరిపోతుంది.
   • మా ఉదాహరణలో, అసలు సమీకరణం ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... అందువల్ల, ఫలిత సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయండి, తద్వారా గుణకాలు లైన్‌లోకి తీసుకురాబడతాయి.గుణకం "64" పై ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహించండి. అసలు సమీకరణంలో, ఈ గుణకం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది మరియు యూక్లిడియన్ అల్గోరిథంలో ఇది సానుకూలంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, కారకం 34 తప్పనిసరిగా ప్రతికూలంగా ఉండాలి. తుది సమీకరణం ఇలా వ్రాయబడుతుంది:
     • ${ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 పరిష్కారం కనుగొనడానికి తగిన గుణకాన్ని వర్తించండి. మా ఉదాహరణలో గమనించండి, GCD = 1, కాబట్టి తుది సమీకరణం 1. అయితే అసలు సమీకరణం (87x-64y) 3. కాబట్టి, పరిష్కారం పొందడానికి తుది సమీకరణంలోని అన్ని నిబంధనలను 3 తో ​​గుణించాలి:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 సమీకరణానికి పూర్ణాంక పరిష్కారాన్ని వ్రాయండి. అసలు సమీకరణం యొక్క గుణకాల ద్వారా గుణించబడిన సంఖ్యలు ఆ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు.
   • మా ఉదాహరణలో, పరిష్కారాన్ని ఒక జత కోఆర్డినేట్‌లుగా వ్రాయండి: ${ displaystyle (x, y) = ( - - 75, -102)}$.

4 వ భాగం 4: అనంతమైన ఇతర పరిష్కారాలను కనుగొనండి

1. 1 అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయని అర్థం చేసుకోండి. ఒక సరళ సమీకరణానికి ఒక పూర్ణాంక పరిష్కారం ఉంటే, అది తప్పనిసరిగా అనంతమైన అనేక పూర్ణాంక పరిష్కారాలను కలిగి ఉండాలి. ఇక్కడ శీఘ్ర రుజువు (బీజగణిత రూపంలో):
   • ${ displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (మీరు "B" ని "x" కి జోడించి, "y" నుండి "A" ని తీసివేస్తే, అసలు సమీకరణం విలువ మారదు)
2. 2 అసలు x మరియు y విలువలను రికార్డ్ చేయండి. తదుపరి (అనంతమైన) పరిష్కారాలను లెక్కించడానికి టెంప్లేట్ మీరు ఇప్పటికే కనుగొన్న ఏకైక పరిష్కారంతో మొదలవుతుంది.
   • మా ఉదాహరణలో, పరిష్కారం ఒక జత కోఆర్డినేట్‌లు ${ displaystyle (x, y) = ( - - 75, -102)}$.
3. 3 "X" విలువకు "B" కారకాన్ని జోడించండి. కొత్త x విలువను కనుగొనడానికి దీన్ని చేయండి.
   • మా ఉదాహరణలో, x = -75, మరియు B = -64:
     • ${ displaystyle x = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • అందువలన, కొత్త విలువ "x": x = -139.
4. 4 "Y" విలువ నుండి "A" కారకాన్ని తీసివేయండి. కాబట్టి అసలు సమీకరణం విలువ మారదు, ఒక సంఖ్యను "x" కి జోడించినప్పుడు, మీరు "y" నుండి మరొక సంఖ్యను తీసివేయాలి.
   • మా ఉదాహరణలో, y = -102, మరియు A = 87:
     • ${ displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • అందువలన, "y" కోసం కొత్త విలువ: y = -189.
   • కొత్త జత అక్షాంశాలు ఇలా వ్రాయబడతాయి: ${ displaystyle (x, y) = ( - - 139, -189)}$.
5. 5 పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయండి. కొత్త సమన్వయ జత అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారం అని ధృవీకరించడానికి, విలువలను సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయండి.
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 3 = 3}$
   • సమానత్వం నెరవేరినందున, నిర్ణయం సరైనది.
6. 6 అనేక పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి వ్యక్తీకరణలను వ్రాయండి. "X" విలువలు అసలైన పరిష్కారంతో పాటు "B" కారకం యొక్క ఏదైనా గుణకంతో సమానంగా ఉంటాయి. దీనిని ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణగా వ్రాయవచ్చు:
   • x (k) = x + k (B), ఇక్కడ “x (k)” అనేది “x” విలువలు మరియు “x” అనేది మీరు కనుగొన్న “x” యొక్క అసలు (మొదటి) విలువ.
     • మా ఉదాహరణలో:
     • ${ displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), ఇక్కడ y (k) అనేది y విలువలు మరియు y అనేది మీరు కనుగొన్న అసలు (మొదటి) y విలువ.
     • మా ఉదాహరణలో:
     • ${ displaystyle y (k) = - 102-87k}$