విషయము

• దశలు
• 2 వ పద్ధతి 1: క్రాస్-గుణకారం
• 2 వ పద్ధతి 2: అతి తక్కువ సాధారణ హారం (LCN)
• చిట్కాలు

మీకు న్యూమరేటర్ లేదా హారం లో వేరియబుల్‌తో భిన్నాలతో కూడిన ఎక్స్‌ప్రెషన్ ఇవ్వబడితే, అలాంటి వ్యక్తీకరణను హేతుబద్ధ సమీకరణం అంటారు. హేతుబద్ధ సమీకరణం అనేది కనీసం ఒక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉన్న ఏదైనా సమీకరణం. హేతుబద్ధ సమీకరణాలు ఏవైనా సమీకరణాల మాదిరిగానే పరిష్కరించబడతాయి: సమీకరణం యొక్క ఒక వైపున వేరియబుల్ వేరుచేయబడే వరకు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే విధమైన కార్యకలాపాలు నిర్వహిస్తారు. అయితే, హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి రెండు పద్ధతులు ఉన్నాయి.

దశలు

2 వ పద్ధతి 1: క్రాస్-గుణకారం

1. 1 అవసరమైతే, మీకు ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయండి, తద్వారా ప్రతి వైపు ఒక భిన్నం ఉంటుంది (ఒక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణ); అప్పుడే మీరు క్రాస్-గుణకారం పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.
   • ఉదాహరణకు, ఇచ్చిన సమీకరణం (x + 3) / 4- x / (- 2) = 0. సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున x / (- 2) భిన్నాన్ని సరైన రూపంలో సమీకరణం రాయడానికి: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • హారం లో పెట్టడం ద్వారా దశాంశ మరియు మొత్తం సంఖ్యలు భిన్నాలుగా సూచించబడతాయని గుర్తుంచుకోండి 1. ఉదాహరణకు, (x + 3) / 4 - 2.5 = 5 (x + 3) / 4 = 7, 5 / అని తిరిగి వ్రాయవచ్చు 1; ఈ సమీకరణాన్ని క్రాస్-గుణకారం ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు.
   • మీరు సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయలేకపోతే, తదుపరి విభాగాన్ని చూడండి.
2. 2 అడ్డంగా గుణకారం. ఎడమ భిన్నం యొక్క అంకెను కుడి హారం ద్వారా గుణించండి. కుడి భిన్నం యొక్క అంకె మరియు ఎడమవైపు హారం తో దీన్ని పునరావృతం చేయండి.
   • క్రాస్ గుణకారం ప్రాథమిక బీజగణిత సూత్రాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలు మరియు ఇతర భిన్నాలలో, మీరు రెండు భిన్నాల యొక్క సంఖ్యలు మరియు హారంలను గుణించడం ద్వారా న్యూమరేటర్‌ని వదిలించుకోవచ్చు.
3. 3 ఫలిత వ్యక్తీకరణలను సమం చేయండి మరియు వాటిని సరళీకృతం చేయండి.
   • ఉదాహరణకు, హేతుబద్ధమైన సమీకరణం ఇవ్వబడింది: (x +3) / 4 = x / (- 2). అడ్డంగా గుణించిన తరువాత, ఇలా వ్రాయబడింది: -2 (x +3) = 4x లేదా -2x 2 6 = 4x
4. 4 ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి, అనగా "x" ని కనుగొనండి. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా "x" ఉన్నట్లయితే, దానిని సమీకరణం యొక్క ఒక వైపున వేరుచేయండి.
   • మా ఉదాహరణలో, మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా (-2) ద్వారా విభజించి పొందవచ్చు: x + 3 = -2x. "X" వేరియబుల్‌తో నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించి, పొందండి: 3 = -3x. ఫలితాన్ని పొందడానికి రెండు భాగాలను -3 ద్వారా విభజించండి: x = -1.

2 వ పద్ధతి 2: అతి తక్కువ సాధారణ హారం (LCN)

1. 1 ఈ సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి అతి తక్కువ సాధారణ హారం ఉపయోగించబడుతుంది. సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపు ఒక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణతో ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని వ్రాయడం అసాధ్యం అయినప్పుడు ఈ పద్ధతి వర్తిస్తుంది (మరియు క్రాస్-గుణకారం పద్ధతిని ఉపయోగించండి). మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్నాలతో హేతుబద్ధమైన సమీకరణం ఇచ్చినప్పుడు ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది (రెండు భిన్నాల విషయంలో, క్రాస్-గుణకారం ఉపయోగించడం మంచిది).
2. 2 భిన్నాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ హారాన్ని కనుగొనండి (లేదా కనీసం సాధారణ గుణకం). NOZ అనేది ప్రతి హారం ద్వారా సమానంగా విభజించబడే అతి చిన్న సంఖ్య.
   • కొన్నిసార్లు NOZ అనేది స్పష్టమైన సంఖ్య. ఉదాహరణకు, సమీకరణం ఇచ్చినట్లయితే: x / 3 + 1/2 = (3x +1) / 6, అప్పుడు 3, 2 మరియు 6 సంఖ్యలకు అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 6 అని స్పష్టమవుతుంది.
   • NOZ స్పష్టంగా లేనట్లయితే, అతిపెద్ద హారం యొక్క గుణకాలను వ్రాసి, ఇతర హారం యొక్క బహుళంగా ఉండేదాన్ని కనుగొనండి. తరచుగా, NOZ ను రెండు హారంలను గుణించడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, సమీకరణం x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9 అయితే, NOZ = 8 * 9 = 72.
   • ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ హారం వేరియబుల్ కలిగి ఉంటే, ఆ ప్రక్రియ కొంత క్లిష్టంగా మారుతుంది (కానీ అసాధ్యం కాదు). ఈ సందర్భంలో, NOZ అనేది ప్రతి హారం ద్వారా విభజించబడిన వ్యక్తీకరణ (వేరియబుల్ కలిగి ఉంటుంది). ఉదాహరణకు, సమీకరణంలో 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x) NOZ = 3x (x-1), ఎందుకంటే ఈ వ్యక్తీకరణ ప్రతి హారం ద్వారా విభజించబడింది: 3x (x-1) / (x -1) = 3x; 3x (x-1) / 3x = (x-1); 3x (x-1) / x = 3 (x-1).
3. 3 ప్రతి భిన్నం యొక్క న్యూమినేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ NOZ ని ప్రతి భిన్నం యొక్క సంబంధిత హారం ద్వారా విభజించిన ఫలితానికి సమానమైన సంఖ్యతో గుణించండి. మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం వలన, మీరు వాస్తవానికి భాగాన్ని 1 ద్వారా గుణిస్తారు (ఉదాహరణకు, 2/2 = 1 లేదా 3/3 = 1).
   • కాబట్టి మా ఉదాహరణలో, 2x/6 పొందడానికి x/3 ని 2/2 తో గుణించండి, మరియు 3/6 పొందడానికి 1/2 3/3 ద్వారా గుణిస్తారు (హారం కనుక మీరు 3x +1/6 గుణించాల్సిన అవసరం లేదు 6).
   • వేరియబుల్ హారం లో ఉన్నప్పుడు అదే విధంగా కొనసాగండి.మా రెండవ ఉదాహరణలో, NOZ = 3x (x-1), కాబట్టి 5 / (x-1) (3x) / (3x) తో గుణిస్తే 5 (3x) / (3x) (x-1) పొందండి; 1 / x 3 (x-1) / 3 (x-1) తో గుణించి 3 (x-1) / 3x (x-1) పొందండి; 2 ((3x) 2 (x-1) / 3x (x-1) పొందడానికి (x-1) / (x-1) గుణించాలి.
4. 4 "X" ను కనుగొనండి. ఇప్పుడు మీరు భిన్నాలను సాధారణ హారం వద్దకు తీసుకువచ్చారు, మీరు హారాన్ని వదిలించుకోవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపును ఒక సాధారణ హారం ద్వారా గుణించండి. అప్పుడు ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి, అనగా "x" ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణం యొక్క ఒక వైపున వేరియబుల్‌ను వేరు చేయండి.
   • మా ఉదాహరణలో: 2x / 6 + 3/6 = (3x +1) / 6. మీరు ఒకే హారం తో రెండు భిన్నాలను జోడించవచ్చు, కాబట్టి సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయండి: (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6 ద్వారా గుణించండి మరియు హారం తొలగించండి: 2x + 3 = 3x +1. పరిష్కరించి x = 2 పొందండి.
   • మా రెండవ ఉదాహరణలో (హారం లో వేరియబుల్‌తో), సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది (సాధారణ హారం తగ్గించిన తర్వాత): 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x -1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). NOZ ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించడం ద్వారా, మీరు హారాన్ని వదిలించుకుని, పొందండి: 5 (3x) = 3 (x -1) + 2 (x -1), లేదా 15x = 3x -3 + 2x -2, లేదా 15x = x - 5 పరిష్కరించండి మరియు పొందండి: x = -5/14.

చిట్కాలు

• మీరు x ని కనుగొన్న తర్వాత, x విలువను అసలైన సమీకరణంలో ప్లగ్ చేయడం ద్వారా మీ సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయండి. సమాధానం సరైనది అయితే, మీరు అసలు సమీకరణాన్ని 1 = 1 వంటి సాధారణ వ్యక్తీకరణకు సరళీకృతం చేయవచ్చు.
• మీరు ఏదైనా బహుపదిని హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణగా కేవలం 1 ద్వారా భాగించడం ద్వారా వ్రాయవచ్చని గమనించండి. కాబట్టి x +3 మరియు (x +3) / 1 ఒకే అర్థాన్ని కలిగి ఉంటాయి, కానీ చివరి వ్యక్తీకరణ హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణగా పరిగణించబడుతుంది ఎందుకంటే ఇది వ్రాయబడింది భిన్నం