విషయము

• దశలు
• పద్ధతి 1 లో 3: భిన్నాలను తగ్గించడం
• 3 వ పద్ధతి 2: బీజగణిత భిన్నాలను తగ్గించడం
• 3 లో 3 వ పద్ధతి: ప్రత్యేక పద్ధతులు
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

మొదటి చూపులో, బీజగణిత భిన్నాలు చాలా క్లిష్టంగా అనిపిస్తాయి మరియు శిక్షణ లేని విద్యార్థి వాటితో ఏమీ చేయలేడని అనుకోవచ్చు. వేరియబుల్స్, సంఖ్యలు మరియు డిగ్రీల గందరగోళం భయాన్ని ప్రేరేపిస్తుంది. ఏదేమైనా, అదే నియమాలను సాధారణ (ఉదా 15/25) మరియు బీజగణిత భిన్నాలను తగ్గించడానికి ఉపయోగిస్తారు.

దశలు

పద్ధతి 1 లో 3: భిన్నాలను తగ్గించడం

1. 1 బీజగణిత భిన్నాలను వివరించడానికి ఉపయోగించే పదాలను తెలుసుకోండి. బీజగణిత భిన్నాలను పరిగణనలోకి తీసుకునేటప్పుడు క్రింది నిబంధనలు సాధారణం, మరియు ఉదాహరణలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు అవి మరింత ఉపయోగించబడతాయి:
   • సంఖ్యాకర్త... భిన్నం యొక్క ఎగువ భాగం (ఉదాహరణకు, (x + 5)/ (2x + 3)).
   • హారం... భిన్నం యొక్క దిగువ భాగం (ఉదాహరణకు, (x + 5) /(2x + 3)).
   • సాధారణ విభజన... భిన్నం యొక్క ఎగువ మరియు దిగువ భాగాలు విభజించబడిన సంఖ్య యొక్క పేరు ఇది. ఉదాహరణకు, 3/9 కి 3 యొక్క సాధారణ కారకం ఉంది, ఎందుకంటే రెండూ 3 ద్వారా భాగించబడతాయి.
   • కారకం... ఇవి గుణించినప్పుడు, ఇచ్చిన సంఖ్యను ఉత్పత్తి చేసే సంఖ్యలు. ఉదాహరణకు, 15 ని 1, 3, 5 మరియు 15 కారకాలుగా విస్తరించవచ్చు. 4 యొక్క కారకాలు 1, 2, మరియు 4.
   • సరళీకృత రూపం... బీజగణిత భిన్నం యొక్క సరళీకృత రూపాన్ని పొందడానికి, అన్ని సాధారణ కారకాలను రద్దు చేయండి మరియు ఒకే వేరియబుల్‌లను సమూహం చేయండి (ఉదాహరణకు, 5x + x = 6x). మరేమీ రద్దు చేయకపోతే, భిన్నం సరళీకృత రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
2. 2 సాధారణ భిన్నాల కోసం దశలను తనిఖీ చేయండి. సాధారణ మరియు బీజగణిత భిన్నాలతో కార్యకలాపాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, 15/35 భిన్నం తీసుకుందాం. ఈ భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి, ఒకరు తప్పక చేయాలి సాధారణ భాగాన్ని కనుగొనండి... రెండు సంఖ్యలు ఐదు ద్వారా భాగింపబడతాయి, కాబట్టి మనం 5 మరియు న్యూమినేటర్ రెండింటిలోనూ హైలైట్ చేయవచ్చు: 15 → 5 * 335 → 5 * 7 ఇప్పుడు మీరు చేయవచ్చు సాధారణ కారకాలను తగ్గించండి, అంటే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో 5 ని దాటండి. ఫలితంగా, మేము సరళీకృత భిన్నాన్ని పొందుతాము 3/7.
3. 3 బీజగణిత వ్యక్తీకరణలలో, సాధారణ కారకాలు వలె సాధారణ కారకాలు వేరు చేయబడతాయి. మునుపటి ఉదాహరణలో, మేము 15 లో 5 ని సులభంగా గుర్తించగలిగాము - అదే సూత్రం 15x - 5. వంటి మరింత క్లిష్టమైన వ్యక్తీకరణలకు వర్తిస్తుంది. సాధారణ కారకాన్ని కనుగొనండి. ఈ సందర్భంలో, అది 5 అవుతుంది, ఎందుకంటే రెండు పదాలు (15x మరియు -5) 5 ద్వారా భాగింపబడతాయి. మునుపటిలాగా, సాధారణ కారకాన్ని ఎంచుకుని దాన్ని తీసుకువెళ్లండి ఎడమ వైపునకు.15x - 5 = 5 * (3x - 1) ప్రతిదీ సరిగ్గా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి, బ్రాకెట్లలో వ్యక్తీకరణను 5 ద్వారా గుణిస్తే సరిపోతుంది - ఫలితం ప్రారంభంలో ఉన్న సంఖ్యలుగా ఉంటుంది.
4. 4 సాధారణ సభ్యుల మాదిరిగానే కాంప్లెక్స్ సభ్యులను కూడా ఎంచుకోవచ్చు. బీజగణిత భిన్నాల కోసం, సాధారణ సూత్రాల కోసం అదే సూత్రాలు వర్తిస్తాయి. భిన్నాన్ని తగ్గించడానికి ఇది సులభమైన మార్గం. కింది భాగాన్ని పరిగణించండి: (x + 2) (x-3)సంఖ్య 15/35: (x + 2)(x-3) → (x-3)(x + 2)(x + 10) → (x + 10) ఫలితంగా, మేము సరళీకృత వ్యక్తీకరణను పొందుతాము: (x-3) / (x + 10)

3 వ పద్ధతి 2: బీజగణిత భిన్నాలను తగ్గించడం

1. 1 న్యూమరేటర్‌లోని సాధారణ కారకాన్ని కనుగొనండి, అనగా భిన్నం ఎగువన. బీజగణిత భాగాన్ని రద్దు చేసినప్పుడు, మొదటి దశ దాని రెండు భాగాలను సరళీకృతం చేయడం. న్యూమరేటర్‌తో ప్రారంభించండి మరియు వీలైనన్ని ఎక్కువ కారకాలుగా విస్తరించడానికి ప్రయత్నించండి. ఈ విభాగంలో కింది భాగాన్ని పరిగణించండి: 9x-315x + 6 న్యూమరేటర్‌తో ప్రారంభిద్దాం: 9x -3. 9x మరియు -3 కొరకు, సాధారణ కారకం 3. సాధారణ సంఖ్యలతో చేసినట్లుగా కుండలీకరణాల నుండి 3 ని తరలించండి: 3 * (3x -1). ఈ పరివర్తన ఫలితంగా, కింది భిన్నం పొందబడుతుంది: 3 (3x-1)15x + 6
2. 2 న్యూమరేటర్‌లో సాధారణ కారకాన్ని కనుగొనండి. పై ఉదాహరణతో కొనసాగుదాం మరియు హారం వ్రాయండి: 15x + 6. మునుపటిలాగే, రెండు భాగాలుగా విభజించబడే సంఖ్యను కనుగొనండి. మరియు ఈ సందర్భంలో, సాధారణ కారకం 3, కాబట్టి మీరు వ్రాయవచ్చు: 3 * (5x +2). భిన్నాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాద్దాం: 3 (3x-1)3 (5x + 2)
3. 3 ఒకేలాంటి సభ్యులను తగ్గించండి. ఈ దశలో, మీరు భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయవచ్చు. న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో ఒకేలాంటి పదాలను రద్దు చేయండి. మా ఉదాహరణలో, ఈ సంఖ్య 3.
   3(3x-1) → (3x-1)
   3(5x + 2) → (5x + 2)
4. 4 భిన్నం సరళమైన రూపంలో ఉందని నిర్ణయించండి. న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో సాధారణ కారకాలు లేనప్పుడు భిన్నం పూర్తిగా సరళీకరించబడుతుంది. కుండలీకరణాల లోపల ఉన్న నిబంధనలను మీరు రద్దు చేయలేరని గమనించండి - పై ఉదాహరణలో, x ని 3x మరియు 5x నుండి వేరు చేయడానికి మార్గం లేదు, ఎందుకంటే పూర్తి నిబంధనలు (3x -1) మరియు (5x + 2). అందువలన, భిన్నం మరింత సరళీకరణను ధిక్కరిస్తుంది మరియు తుది సమాధానం ఇలా కనిపిస్తుంది:
   (3x-1)
   (5x + 2)
5. 5 భిన్నాలను మీరే కత్తిరించడం ప్రాక్టీస్ చేయండి. పద్ధతిని నేర్చుకోవడానికి ఉత్తమ మార్గం మీ స్వంతంగా సమస్యలను పరిష్కరించడం. సరైన సమాధానాలు ఉదాహరణల క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి. 4 (x + 2) (x-13)(4x + 8) సమాధానం: (x = 13) 2x-x5x సమాధానం:(2x-1) / 5

3 లో 3 వ పద్ధతి: ప్రత్యేక పద్ధతులు

1. 1 ప్రతికూల సంకేతాన్ని భిన్నం వెలుపల తరలించండి. కింది భిన్నం ఇవ్వబడింది అనుకుందాం: 3 (x-4)5 (4-x) గమనించండి (x-4) మరియు (4-x) “దాదాపు” ఒకేలా ఉంటాయి, కానీ అవి “తలక్రిందులుగా” ఉన్నందున వాటిని వెంటనే కుదించలేరు. అయితే, (x - 4) -1 * (4 - x) అని వ్రాయవచ్చు, (4 + 2x) 2 * (2 + x) అని వ్రాయవచ్చు. దీనిని "సైన్ ఆఫ్ రివర్సల్" అంటారు. -1 * 3 (4-x)5 (4-x) ఇప్పుడు మీరు అదే నిబంధనలను (4-x) రద్దు చేయవచ్చు: -1 * 3(4-x)5(4-x) కాబట్టి, మేము తుది సమాధానం పొందుతాము: -3/5.
2. 2 చతురస్రాల్లో తేడాను గుర్తించడం నేర్చుకోండి. వ్యక్తీకరణ (a - b) లో ఉన్నట్లుగా, ఒక సంఖ్య యొక్క చతురస్రాన్ని మరొక సంఖ్య యొక్క చతురస్రం నుండి తీసివేయడం అనేది చతురస్రాల వ్యత్యాసం. పూర్తి చతురస్రాల వ్యత్యాసం ఎల్లప్పుడూ రెండు భాగాలుగా కుళ్ళిపోతుంది - మొత్తం చతురస్ర మూలాల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం. అప్పుడు వ్యక్తీకరణ కింది రూపాన్ని పొందుతుంది: a - b = (a + b) (a -b) బీజగణిత భిన్నాలలో సాధారణ పదాల కోసం చూస్తున్నప్పుడు ఈ టెక్నిక్ చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణ: x - 25 = (x + 5) (x -5)
3. 3 బహుపది వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయండి. బహుపదార్థాలు x + 4x + 3. వంటి రెండు పదాల కంటే ఎక్కువ సంక్లిష్ట బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు, అదృష్టవశాత్తూ, అనేక బహుపదాలను కారకం చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, పై వ్యక్తీకరణను (x + 3) (x + 1) అని వ్రాయవచ్చు.
4. 4 వేరియబుల్స్ కూడా కారకం కావచ్చునని గుర్తుంచుకోండి. ఎక్స్ + ఎక్స్ వంటి ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ల విషయంలో ఇది ప్రత్యేకంగా ఉపయోగపడుతుంది. ఇక్కడ మీరు వేరియబుల్‌ను బ్రాకెట్‌ల వెలుపల కొంత మేరకు ఉంచవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, మనకు: x + x = x (x + 1).

చిట్కాలు

• మీరు ఈ లేదా ఆ వ్యక్తీకరణను సరిగ్గా గుర్తించారా అని తనిఖీ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, కారకాలను గుణించండి - ఫలితం ఒకే వ్యక్తీకరణగా ఉండాలి.
• భిన్నాన్ని పూర్తిగా సరళీకృతం చేయడానికి, ఎల్లప్పుడూ అతిపెద్ద కారకాలను ఎంచుకోండి.

హెచ్చరికలు

• ఘాతాంకాల లక్షణాల గురించి ఎప్పటికీ మర్చిపోవద్దు! ఈ లక్షణాలను గట్టిగా గుర్తుంచుకోవడానికి ప్రయత్నించండి.