విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• 2 యొక్క పద్ధతి 1: సమానమైన భిన్నాలను సృష్టించండి
• 2 యొక్క విధానం 2: వేరియబుల్స్‌తో సమానమైన భిన్నాలను పరిష్కరించడం
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

రెండు భిన్నాలు ఒకే విలువను కలిగి ఉంటే "సమానమైనవి". ఉదాహరణకు, 1/2 మరియు 2/4 భిన్నాలు సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే 1 ను 2 చే భాగించినప్పుడు 2 తో సమానమైన విలువ 4 తో విభజించబడింది (దశాంశ రూపంలో 0.5). ఒక భిన్నాన్ని మరొకదానికి ఎలా మార్చాలో తెలుసుకోవడం, కానీ సమానమైన భిన్నం, ప్రాథమిక బీజగణితం నుండి రాకెట్ సైన్స్ వరకు మీకు అవసరమైన గణిత గౌరవం. ప్రారంభించడానికి దశ 1 చూడండి!

అడుగు పెట్టడానికి

2 యొక్క పద్ధతి 1: సమానమైన భిన్నాలను సృష్టించండి

1. సమాన భిన్నాన్ని పొందడానికి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను ఒకే సంఖ్యతో గుణించండి. భిన్నమైన, కానీ నిర్వచనం ప్రకారం సమానమైన రెండు భిన్నాలు, ఒకదానికొకటి గుణకాలుగా ఉండే సంఖ్యలు మరియు హారం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక భిన్నం యొక్క లెక్కింపు మరియు హారంను ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం సమానమైన భిన్నాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది. ఈ క్రొత్త భిన్నంలోని సంఖ్యలు భిన్నంగా ఉన్నప్పటికీ, దీనికి ఇప్పటికీ అదే విలువ ఉంది.
   • ఉదాహరణకు, మేము భిన్నం 4/8 తీసుకొని, లవము మరియు హారం రెండింటినీ 2 తో గుణిస్తే, మనకు (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. ఈ రెండు భిన్నాలు సమానం.
     • (4 × 2) / (8 × 2) తప్పనిసరిగా 4/8 × 2/2 వలె ఉంటుంది. గుర్తుంచుకోండి, రెండు భిన్నాలను గుణించడం ఇలా ఉంటుంది - న్యూమరేటర్ టైమ్స్ న్యూమరేటర్ మరియు హారం టైమ్స్ డినామినేటర్. 2/2 సమానం 1 అని గమనించండి. కాబట్టి 4/8 8/16 కు ఎందుకు సమానం అని చూడటం సులభం - రెండవ భిన్నం 2 ను గుణించిన మొదటి భిన్నం!
2. సమానమైన భిన్నం పొందడానికి న్యూమరేటర్ మరియు హారం లేదా భిన్నాన్ని ఒకే సంఖ్యతో విభజించండి. గుణకారం వలె, ఇచ్చిన భిన్నానికి సమానమైన క్రొత్త భిన్నాన్ని కనుగొనడానికి కూడా విభజన ఉపయోగపడుతుంది. సమాన భిన్నాన్ని పొందడానికి భిన్నం యొక్క లెక్కింపు మరియు హారంను ఒకే సంఖ్యతో విభజించండి. ఇక్కడ ఒక క్యాచ్ ఉంది - ఫలిత భిన్నం చెల్లుబాటు అయ్యేలా న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ పూర్ణాంకాలను కలిగి ఉండాలి.
   • ఉదాహరణకు, మళ్ళీ 4/8 తీసుకుందాం. ఒక గుణకారానికి బదులుగా, మేము లవము మరియు హారం రెండింటినీ 2 ద్వారా విభజిస్తే, మనకు (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 మరియు 4 రెండూ మొత్తం సంఖ్యలు, కాబట్టి ఈ సమాన భిన్నం చెల్లుతుంది.
3. గొప్ప కామన్ డివైజర్ (జిసిడి) ఉపయోగించి మీ భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి. ఏదైనా భిన్నం అనంతమైన సమాన భిన్నాలను కలిగి ఉంటుంది - మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా గుణించవచ్చు పెద్ద లేదా చిన్న ఏదైనా పూర్ణాంకం సమాన భిన్నం పొందడానికి. కానీ ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క సరళమైన రూపం సాధారణంగా చిన్న పదాలతో ఉంటుంది. అలాంటప్పుడు, న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ వీలైనంత చిన్నవి - ఈ పదాన్ని మరింత చిన్నదిగా చేయడానికి వాటిని ఇకపై ఏ పూర్ణాంకం ద్వారా విభజించలేము. భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి, మేము లెక్కింపు మరియు హారం రెండింటినీ విభజిస్తాము గొప్ప సాధారణ హారం.
   • న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన (జిజిడి) అతిపెద్ద పూర్ణాంకం, తద్వారా న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ విభజించబడతాయి. కాబట్టి మా 4/8 ఉదాహరణలో, ఎందుకంటే 4 4 మరియు 8 రెండింటిలోనూ అతిపెద్ద విభజన, సరళమైన పదాలను పొందడానికి మేము మా భిన్నం యొక్క లెక్కింపు మరియు హారం 4 ద్వారా విభజిస్తాము. (4 4) / (8 ÷ 4) = 1/2.
4. కావాలనుకుంటే, మార్పిడిని సులభతరం చేయడానికి మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మార్చండి. వాస్తవానికి, మీరు చూసే ప్రతి భిన్నం 4/8 గా తేలికగా అర్ధం కాదు. ఉదాహరణకు, మిశ్రమ సంఖ్యలు (ఉదా. 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, మొదలైనవి) ఈ మార్పిడిని కొంచెం కష్టతరం చేస్తాయి.మీరు మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క కొంత భాగాన్ని చేయాలనుకుంటే, మీరు దీన్ని రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు: మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నం చేసి, ఆపై కొనసాగించండి, లేదా మిశ్రమ సంఖ్యను ఉంచండి మరియు మిశ్రమ సంఖ్యను జవాబుగా ఇవ్వండి.
   • సరికాని భిన్నాన్ని మార్చడానికి, మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకాన్ని భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా గుణించి, ఆపై ఉత్పత్తిని లెక్కింపుకు జోడించండి. ఉదాహరణకు, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. అవసరమైతే మీరు దీన్ని మళ్ళీ మార్చవచ్చు. ఉదాహరణకు, 5/3 × 2/2 = 10/6, ఇప్పటికీ 1 2/3 వలె ఉంటుంది.
   • అయితే, సరికాని భిన్నాన్ని మార్చడం అవసరం లేదు. మేము మొత్తం సంఖ్యను విస్మరించి, భిన్నాన్ని మార్చవచ్చు మరియు దానికి మొత్తం సంఖ్యను జోడించవచ్చు. ఉదాహరణకు, 3 4/16 వద్ద, మేము 4/16 వద్ద మాత్రమే చూస్తున్నాము. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. కాబట్టి ఇప్పుడు మేము మొత్తం సంఖ్యను మళ్ళీ జోడించి, కొత్త మిశ్రమ సంఖ్యను పొందుతాము, 3 1/4.
5. సమాన భిన్నాలను పొందడానికి ఎప్పుడూ జోడించవద్దు లేదా తీసివేయండి. భిన్నాలను వాటి సమాన రూపంలోకి మార్చినప్పుడు, మీరు వర్తింపజేస్తున్న ఏకైక కార్యకలాపాలు గుణకారం మరియు విభజన మాత్రమే అని గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం. అదనంగా లేదా వ్యవకలనం ఉపయోగించవద్దు. సమాన భిన్నాలను పొందడానికి గుణకారం మరియు విభజన పని ఎందుకంటే ఈ కార్యకలాపాలు వాస్తవానికి సంఖ్య 1 (2/2, 3/3, మొదలైనవి) యొక్క రూపాలు మరియు మీరు ప్రారంభించిన భిన్నానికి సమానమైన సమాధానాలను ఇస్తాయి. సంకలనం మరియు వ్యవకలనం ఈ ఎంపికను కలిగి లేవు.
   • ఉదాహరణకు, పైన మేము 4/8 4/4 = 1/2 అని కనుగొన్నాము. మేము దీనికి బదులుగా 4/4 ను జోడించినట్లయితే, మేము పూర్తిగా భిన్నమైన సమాధానం సంపాదించాము. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 లేదా 3/2, మరియు వీటిలో ఏదీ 4/8 కు సమానం కాదు.

2 యొక్క విధానం 2: వేరియబుల్స్‌తో సమానమైన భిన్నాలను పరిష్కరించడం

1. భిన్నాలతో సమాన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి క్రాస్ గుణకారం ఉపయోగించండి. సమాన భిన్నాలతో వ్యవహరించే ఒక గమ్మత్తైన బీజగణిత సమస్య రెండు భిన్నాలతో సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ ఒకటి లేదా రెండూ వేరియబుల్ కలిగి ఉంటాయి. ఇలాంటి సందర్భాల్లో, ఈ భిన్నాలు సమానమైనవని మనకు తెలుసు ఎందుకంటే అవి సమీకరణం యొక్క సమీకరణ సంకేతం యొక్క ప్రతి వైపు ఉన్న ఏకైక పదాలు, కానీ వేరియబుల్ కోసం ఎలా పరిష్కరించాలో ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా లేదు. అదృష్టవశాత్తూ, క్రాస్ గుణకారంతో, మేము ఈ రకమైన సమస్యను ఎటువంటి సమస్యలు లేకుండా పరిష్కరించగలము.
   • క్రాస్ గుణకారం అంటే ఇది లాగా ఉంటుంది - మీరు సమాన గుర్తుపై క్రాస్‌వైస్‌గా గుణిస్తున్నారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మీరు ఒక భిన్నం యొక్క లెక్కింపును ఇతర భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా గుణించాలి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా. అప్పుడు మీరు సమీకరణాన్ని మరింత పరిష్కరించండి.
   • ఉదాహరణకు, మనకు 2 / x = 10/13 సమీకరణం ఉంది. ఇప్పుడు గుణించాలి: 2 ను 13 మరియు 10 ను x చే గుణించండి మరియు సమీకరణాన్ని మరింత పని చేయండి:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × x = 10x
     • 10x = 26. ఇప్పుడు మనం సమీకరణాన్ని మరింతగా పని చేస్తాము. x = 26/10 = 2.6
2. బహుళ-వేరియబుల్ పోలికలు లేదా వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణల మాదిరిగానే క్రాస్ గుణకారం ఉపయోగించండి. క్రాస్ గుణకారం యొక్క ఉత్తమ లక్షణాలలో ఒకటి, మీరు రెండు సాధారణ లేదా సంక్లిష్టమైన భిన్నాలతో వ్యవహరిస్తున్నారా అనేది అదే విధంగా పనిచేస్తుంది. ఉదాహరణకు, రెండు భిన్నాలు వేరియబుల్స్ కలిగి ఉంటే, ఏమీ మారదు - మీరు ఈ వేరియబుల్స్ ను రద్దు చేయాలి. అదేవిధంగా, మీ భిన్నాల సంఖ్యలు లేదా హారం వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటే, పంపిణీ ఆస్తిని ఉపయోగించి "గుణించడం కొనసాగించండి" మరియు మీరు సాధారణంగా చేసే విధంగా పరిష్కరించండి.
   • ఉదాహరణకు, మనకు ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4) సమీకరణం ఉందని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, మేము దానిని క్రాస్ గుణకారంతో పరిష్కరిస్తాము:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12
     • 2 = 2x + 12
     • -10 = 2x
     • -5 = x
3. బహుపది పరిష్కార పద్ధతులను ఉపయోగించుకోండి. క్రాస్ గుణకారం పట్టింపు లేదు ఎల్లప్పుడూ సాధారణ బీజగణితంతో మీరు పరిష్కరించగల ఫలితం. మీరు వేరియబుల్ నిబంధనలతో వ్యవహరిస్తుంటే, మీరు త్వరగా రెండవ-డిగ్రీ సమీకరణం లేదా ఇతర బహుపదిని పొందుతారు. అటువంటి సందర్భాలలో మీరు స్క్వేర్ మరియు / లేదా స్క్వేర్డ్ ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తారు.
   • ఉదాహరణకు, మేము ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2%) సమీకరణాన్ని తీసుకుంటాము. మొదటి క్రాస్ గుణకారం:
     • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2x - 2 = 12. ఈ సమయంలో, రెండు వైపుల నుండి 12 ను తీసివేసి, మనకు 2x - 14 = 0 ఇవ్వడం ద్వారా దీనిని రెండవ-డిగ్రీ సమీకరణానికి (గొడ్డలి + bx + c = 0) మార్చాలనుకుంటున్నాము. X యొక్క విలువను కనుగొనడానికి ఇప్పుడు మనం (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
       • x = (-b +/- (బి - 4ac)) / 2 ఎ. మా సమీకరణంలో, 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0, మరియు c = -14.
       • x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
       • x = (+/- (0 - -112)) / 2 (2)
       • x = (+/- (112)) / 2 (2)
       • x = (+/- 10.58 / 4)
       • x = +/- 2.64 ఈ సమయంలో, అసలు రెండవ-డిగ్రీ సమీకరణంలో 2.64 మరియు -2.64 లను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మేము మా జవాబును తనిఖీ చేస్తాము.

చిట్కాలు

• భిన్నాలను సమాన రూపంలోకి మార్చడం ప్రాథమికంగా 2/2 లేదా 5/5 వంటి భిన్నంతో గుణించడం. ఇది చివరికి 1 కి సమానం కాబట్టి, భిన్నం యొక్క విలువ అదే విధంగా ఉంటుంది.

హెచ్చరికలు

• భిన్నాల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం భిన్నాల గుణకారం మరియు విభజన నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది.