విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• 2 యొక్క విధానం 1: రివర్స్ గుణకారంతో పేర్చబడిన భిన్నాలను సరళీకృతం చేయండి
• 2 యొక్క విధానం 2: పేర్చబడిన భిన్నాలను వేరియబుల్ పదాలతో సరళీకృతం చేయండి
• చిట్కాలు

పేర్చబడిన భిన్నాలు అంటే ఇందులో లవము, హారం లేదా రెండూ కూడా భిన్నాలను కలిగి ఉంటాయి. ఈ కారణంగా మీరు దీనిని "భిన్నాలలో భిన్నాలు" అని కూడా పిలుస్తారు. పేర్చబడిన భిన్నాలను సరళీకృతం చేయడం అనేది లవము మరియు హారం లో ఎన్ని పదాలు ఉన్నాయో, నిబంధనలలో ఒకటి వేరియబుల్ కాదా, మరియు అలా అయితే, వేరియబుల్ పదాల సంక్లిష్టత ఆధారంగా సులభంగా నుండి కష్టంగా ఉంటుంది. ప్రారంభించడానికి దిగువ దశ 1 చూడండి!

అడుగు పెట్టడానికి

2 యొక్క విధానం 1: రివర్స్ గుణకారంతో పేర్చబడిన భిన్నాలను సరళీకృతం చేయండి

1. అవసరమైతే, కొన్ని భిన్నాలలో న్యూమరేటర్ మరియు హారం సరళీకృతం చేయండి. పేర్చబడిన భిన్నాలను పరిష్కరించడం కష్టం కాదు. వాస్తవానికి, లెక్కింపు మరియు హారం రెండూ ఒకే భిన్నాన్ని కలిగి ఉన్న పేర్చబడిన భిన్నాలు సాధారణంగా పరిష్కరించడానికి చాలా సులభం. కాబట్టి, మీ పేర్చబడిన భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ లేదా హారం (లేదా రెండూ) బహుళ భిన్నాలు లేదా భిన్నాలు మరియు మొత్తం సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, లెక్కింపు మరియు హారం రెండింటిలోనూ ఒక భిన్నాన్ని పొందడానికి అవసరమైనంత సరళతరం చేయండి. దీనికి రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్నాల యొక్క అతి సాధారణ బహుళ (LCM) ను కనుగొనడం అవసరం.
   • మేము సంక్లిష్ట భిన్నాన్ని (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10) సరళీకృతం చేయాలనుకుంటున్నాము. మొదట, మన సంక్లిష్ట భిన్నం యొక్క లెక్కింపు మరియు హారం రెండింటినీ ఒకే భిన్నాలకు సరళీకృతం చేయవచ్చు.
     • లెక్కింపును సరళీకృతం చేయడానికి, మేము 3/5 ను 3/3 గుణించడం ద్వారా 15 యొక్క LCV ని తీసుకుంటాము. మా కౌంటర్ 9/15 + 2/15 అవుతుంది, ఇది 11/15 కు సమానం.
     • హారం సరళీకృతం చేయడానికి, మేము 5/7 ను 10/10 మరియు 3/10 ను 7/7 ద్వారా గుణించడం ద్వారా 70 యొక్క LCM ను తీసుకుంటాము. మా హారం 50/70 - 21/70 అవుతుంది, ఇది 29/70 కి సమానం.
     • కాబట్టి మా కొత్త పేర్చబడిన భిన్నం (11/15)/(29/70).
2. హారం తిప్పండి మరియు రివర్స్ కనుగొనండి. నిర్వచనం ప్రకారం వాటా ఒక సంఖ్య నుండి మరొక సంఖ్య ద్వారా అదే విధంగా ఉంటుంది మొదటి సంఖ్యను రెండవ సంఖ్య యొక్క పరస్పరం ద్వారా గుణించండి. ఇప్పుడు మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలో ఒకే భిన్నంతో పేర్చబడిన భిన్నాన్ని పొందాము, మన పేర్చబడిన భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి ఈ విభజన ఆస్తిని ఉపయోగించవచ్చు! మొదట, పేర్చబడిన భిన్నం యొక్క హారం యొక్క విలోమాన్ని కనుగొనండి. భిన్నాన్ని "రివర్స్" చేయడం ద్వారా దీన్ని చేయండి - న్యూమరేటర్ హారం స్థానంలో ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.
   • మా ఉదాహరణలో, పేర్చబడిన భిన్నం (11/15) / (29/70) యొక్క హారం 29/70 భిన్నం. రివర్స్ కనుగొనడానికి, మేము దానిని రివర్స్ చేసి భిన్నం అవుతాము 70/29.
     • పేర్చబడిన భిన్నం దాని హారంలో మొత్తం సంఖ్యను కలిగి ఉంటే, మీరు దానిని ఒక భిన్నంగా పరిగణించవచ్చు మరియు దాని విలోమాన్ని కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, పేర్చబడిన భిన్నం (11/15) / (29) అని అనుకుందాం, అప్పుడు మనం రివర్స్‌తో 29/1 గా హారం నిర్వచించవచ్చు. 1/29.
3. హారం యొక్క పరస్పరం ద్వారా పేర్చబడిన భిన్నం యొక్క లెక్కింపును గుణించండి. ఇప్పుడు మీరు మీ పేర్చిన భిన్నం యొక్క హారం యొక్క విలోమం సంపాదించుకున్నారు, ఒకే సరళమైన భిన్నాన్ని పొందడానికి దాన్ని లవము ద్వారా గుణించండి! గుర్తుంచుకోండి, రెండు భిన్నాలను గుణించటానికి, మేము గుణించాలి - క్రొత్త భిన్నం యొక్క లెక్కింపు రెండు పాత వాటి యొక్క లవము యొక్క ఉత్పత్తి, మరియు ఇది హారం విషయంలో అదే విధంగా ఉంటుంది.
   • మా ఉదాహరణలో, మేము 11/15 × 70/29 ను గుణిస్తున్నాము. 70 × 11 = 770 మరియు 15 × 29 = 435. కాబట్టి మన కొత్త సాధారణ భిన్నం 770/435.
4. గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడం ద్వారా క్రొత్త భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి. మనకు ఇప్పుడు ఒకే, సరళమైన భిన్నం ఉంది, కాబట్టి మిగిలి ఉన్నదంతా సరళమైన పదాలలో ఉంచడం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన (జిసిడి) ను కనుగొని, సరళీకృతం చేయడానికి ఈ సంఖ్య ద్వారా రెండింటినీ విభజించండి.
   • 770 మరియు 435 యొక్క సాధారణ విభజన 5. కాబట్టి మన భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం 5 ద్వారా విభజించినట్లయితే, మనకు లభిస్తుంది 154/87. 154 మరియు 87 లకు సాధారణ హారం లేదు, కాబట్టి మేము తుది సమాధానం కనుగొన్నట్లు మాకు తెలుసు!

2 యొక్క విధానం 2: పేర్చబడిన భిన్నాలను వేరియబుల్ పదాలతో సరళీకృతం చేయండి

1. సాధ్యమైనప్పుడు, పైన వివరించిన రివర్స్ గుణకారం పద్ధతిని ఉపయోగించండి. స్పష్టంగా చెప్పాలంటే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం కొన్ని భిన్నాలకు తగ్గించడం ద్వారా మరియు హారం యొక్క విలోమం ద్వారా లవమును గుణించడం ద్వారా దాదాపుగా పేర్చబడిన భిన్నం సరళీకృతం చేయవచ్చు. వేరియబుల్స్‌తో పేర్చబడిన భిన్నాలు దీనికి మినహాయింపు కాదు, కాని పేర్చబడిన భిన్నంలో వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణలు మరింత క్లిష్టంగా ఉంటాయి, రివర్స్ గుణకారం చేయడం చాలా కష్టం మరియు సమయం తీసుకుంటుంది. వేరియబుల్స్‌తో "సరళమైన" పేర్చబడిన భిన్నాల కోసం, రివర్స్ ద్వారా గుణించడం మంచి ఎంపిక, కానీ న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో బహుళ వేరియబుల్ పదాలతో పేర్చబడిన భిన్నాలు క్రింద వివరించిన ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిలో సరళీకృతం చేయడం సులభం కావచ్చు.
   • ఉదాహరణకు: (1 / x) / (x / 6) రివర్స్ గుణకారంతో సరళీకృతం చేయడం సులభం. 1 / x × 6 / x = "6 / x. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించడం అవసరం లేదు.
   • అయినప్పటికీ, భిన్నం ((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) రివర్స్ గుణకారంతో సరళీకృతం చేయడం చాలా కష్టం. ఈ పేర్చబడిన భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం కొన్ని భిన్నాలకు తగ్గించడం, రివర్స్ గుణకారం మరియు ఫలితాన్ని సరళమైన పదాలకు తగ్గించడం బహుశా సంక్లిష్టమైన ప్రక్రియ. ఈ సందర్భంలో, దిగువ ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి సరళంగా ఉండవచ్చు.
2. రివర్స్ గుణకారం అసాధ్యమైతే, పేర్చబడిన భిన్నంలో పాక్షిక పదాల యొక్క అతి సాధారణ విభజనను కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభించండి. సరళీకరణ యొక్క ఈ ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిలో మొదటి దశ, పేర్చబడిన భిన్నంలో అన్ని భిన్న పదాల యొక్క కేజీడీని కనుగొనడం - న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలో. భిన్న పదాలలో ఏదైనా వాటి హారంలలో వేరియబుల్స్ ఉంటే, kgd కేవలం వారి హారం యొక్క ఉత్పత్తి.
   • ఉదాహరణతో అర్థం చేసుకోవడం సులభం. మేము పైన పేర్కొన్న పేర్చిన భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం, ((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). ఈ సమ్మేళనం భిన్నంలోని భిన్న పదాలు (1) / (x + 3) మరియు (1) / (x-5). ఈ రెండు భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారం వారి హారం యొక్క ఉత్పత్తి: (x + 3) (x-5).
3. ఇప్పుడే దొరికిన కేజీడీ ద్వారా పేర్చబడిన భిన్నం యొక్క లవమును గుణించండి. తరువాత, మన పేర్చిన భిన్నంలోని నిబంధనలను దాని భిన్న పదాల కేజీడీ ద్వారా గుణించాలి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పేర్చబడిన భిన్నాన్ని (kgd) / (kgd) గుణించాలి. (Kgd) / (kgd) 1 కి సమానం కనుక మనం దీన్ని చేయవచ్చు. మొదట న్యూమరేటర్‌ను స్వయంగా గుణించండి.
   • మా ఉదాహరణలో, పేర్చబడిన భిన్నం ((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). మేము పేర్చబడిన భిన్నం యొక్క లెక్కింపు మరియు హారం ద్వారా గుణించాలి, ప్రతి పదాన్ని (x + 3) (x-5) గుణించాలి.
     • మొదట, లెక్కింపును గుణించండి: ((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
       • = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
       • = (x-5) + (x (x - 2x - 15)) - (10 (x - 2x - 15%))
       • = (x-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)
       • = (x-5) + x - 12x + 5x + 150
       • = x - 12x + 6x + 145
4. మీరు లెక్కింపుతో చేసినట్లుగా పేర్చబడిన భిన్నం యొక్క హారంను kgd ద్వారా గుణించండి. హారం వద్దకు వెళ్లడం ద్వారా మీరు కనుగొన్న కేజీడీ ద్వారా పేర్చబడిన భిన్నాన్ని గుణించండి. ప్రతి పదాన్ని kgd ద్వారా గుణించండి.
   • మా పేర్చిన భిన్నం యొక్క హారం, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), x +4 + (( 1) / (x-5%). మేము కనుగొన్న kgd, (x + 3) (x-5) ద్వారా దీన్ని గుణించబోతున్నాం.
     • (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
     • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
     • = x (x - 2x - 15) + 4 (x - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
     • = x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 23x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 22x - 57
5. మీరు ఇప్పుడే కనుగొన్న న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క క్రొత్త సరళీకృత భాగాన్ని రూపొందించండి. మీ (kgd) / (kgd) వ్యక్తీకరణ ద్వారా మీ భిన్నాన్ని గుణించి, నిబంధనలను రద్దు చేయడం ద్వారా దాన్ని సరళీకృతం చేసిన తరువాత, మీరు పాక్షిక పదాలను కలిగి లేని సాధారణ భిన్నంతో మిగిలి ఉండాలి. మీరు గమనించినట్లుగా, ఈ భిన్నాల యొక్క హారం ఒకదానికొకటి రద్దు చేస్తుంది (అసలు పేర్చబడిన భిన్నంలోని భిన్నాలను kgd చేత గుణించడం ద్వారా), మీ జవాబు యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం లో వేరియబుల్ నిబంధనలు మరియు పూర్ణాంకాలను వదిలివేస్తుంది, కానీ పగుళ్లు కాదు.
   • మేము పైన కనుగొన్న న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఉపయోగించి, మన ప్రారంభ పేర్చబడిన భిన్నానికి సమానమైన భిన్నాన్ని నిర్మించవచ్చు, కాని భిన్నాలు లేవు. మాకు లభించిన న్యూమరేటర్ x - 12x + 6x + 145 మరియు హారం x + 2x - 22x - 57, కాబట్టి కొత్త భిన్నం: (x - 12x + 6x + 145) / (x + 2x - 22x - 57)

చిట్కాలు

• మీ పని యొక్క ప్రతి దశను చూపించు. మీరు చాలా వేగంగా వెళ్లాలనుకుంటే లేదా వాటిని గుర్తుంచుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తే భిన్నాలు గందరగోళంగా ఉంటాయి.
• ఆన్‌లైన్‌లో లేదా మీ పాఠ్యపుస్తకంలో పేర్చబడిన భిన్నాల ఉదాహరణల కోసం చూడండి. మీరు ప్రతి దశను అనుసరించండి.