విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• ప్రారంభం
• 6 యొక్క పద్ధతి 1: విచారణ మరియు లోపం
• 6 యొక్క పద్ధతి 2: కుళ్ళిపోవడం
• 6 యొక్క విధానం 3: ట్రిపుల్ ప్లే
• 6 యొక్క పద్ధతి 4: రెండు చతురస్రాల మధ్య వ్యత్యాసం
• 6 యొక్క విధానం 5: ABC సూత్రం
• 6 యొక్క పద్ధతి 6: కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించడం
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు
• అవసరాలు

బహుపది ఒక నిర్దిష్ట శక్తికి వేరియబుల్ (x) మరియు అనేక నిబంధనలు మరియు / లేదా స్థిరాంకాలను కలిగి ఉంటుంది. బహుపదిని కారకం చేయడానికి, మీరు వ్యక్తీకరణను చిన్న వ్యక్తీకరణలుగా విడదీయాలి, అవి కలిసి గుణించబడతాయి. దీనికి ఒక నిర్దిష్ట స్థాయి గణితం అవసరం మరియు అందువల్ల మీరు ఇంకా అంత దూరం కాకపోతే అర్థం చేసుకోవడం కష్టం.

అడుగు పెట్టడానికి

ప్రారంభం

1. సమీకరణం. వర్గ సమీకరణానికి ప్రామాణిక ఆకృతి:
   
   గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి = 0
   మీ సమీకరణంలోని నిబంధనలను అత్యధిక నుండి తక్కువ శక్తికి అమర్చడం ద్వారా ప్రారంభించండి. ఉదాహరణకు, తీసుకోండి:
   
   6 + 6x + 13x = 0
   మేము ఈ వ్యక్తీకరణను క్రమాన్ని మార్చబోతున్నాము కాబట్టి పని చేయడం సులభం అవుతుంది - నిబంధనలను తరలించడం ద్వారా:
   
   6x + 13x + 6 = 0
2. దిగువ పద్ధతుల్లో ఒకదాన్ని ఉపయోగించి కారకాలను కనుగొనండి. బహుపదిని కారకం చేయడం వలన రెండు చిన్న వ్యక్తీకరణలు ఏర్పడతాయి, ఇవి అసలు బహుపదిని పొందడానికి కలిసి గుణించబడతాయి:
   
   6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
   ఈ ఉదాహరణలో, (2x +3) మరియు (3x + 2) ఉన్నాయి కారకాలు అసలు వ్యక్తీకరణ నుండి, 6x + 13x + 6.
3. మీ పనిని తనిఖీ చేయండి! మీరు కనుగొన్న కారకాలను గుణించండి. అదే నిబంధనలను కలపండి మరియు మీరు పూర్తి చేసారు. దీనితో ప్రారంభించండి:
   
   (2x + 3) (3x + 2)
   దీనిని పరీక్షించుకుందాం, EBBL (మొదటి - బాహ్య - లోపలి - చివరి) ఉపయోగించి పదాలను గుణించడం, ఇది మనకు ఇస్తుంది:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   ఇప్పుడు మనం 4x మరియు 9x లను కలిపి చేసాము ఎందుకంటే అవి సమాన పదాలు. కారకాలు సరైనవని మాకు తెలుసు ఎందుకంటే మేము ప్రారంభించిన సమీకరణాన్ని తిరిగి పొందుతాము:
   
   6x + 13x + 6

6 యొక్క పద్ధతి 1: విచారణ మరియు లోపం

మీకు చాలా సరళమైన బహుపది ఉంటే, కారకాలు ఏమిటో మీరు వెంటనే చూడగలరు. ఉదాహరణకు, కొన్ని అభ్యాసం తరువాత, చాలా మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వ్యక్తీకరణను చూడగలుగుతారు 4x + 4x + 1 (2x + 1) మరియు (2x + 1) కారకాలు ఉన్నాయి, ఎందుకంటే వారు దీనిని చాలాసార్లు చూశారు. (సహజంగానే, మరింత సంక్లిష్టమైన బహుపదాలతో ఇది అంత సులభం కాదు.) ఈ ఉదాహరణ కోసం తక్కువ ప్రామాణిక వ్యక్తీకరణను తీసుకుందాం:

3x + 2x - 8

1. యొక్క కారకాలను వ్రాయండి a పదం మరియు సి పదం. ఆకృతిని ఉపయోగించండి గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి = 0, గుర్తించండి a మరియు సి నిబంధనలు మరియు ఏ అంశాలు ఉన్నాయో గమనించండి. 3x + 2x - 8 కోసం, దీని అర్థం:
   
   a = 3 మరియు 1 జత కారకాలు ఉన్నాయి: 1 * 3
   c = -8 మరియు దీనికి 4 జతల కారకాలు ఉన్నాయి: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, మరియు -1 * 8.
2. ఖాళీ స్థలంతో రెండు జతల కుండలీకరణాలను వ్రాయండి. ఇక్కడ మీరు ప్రతి వ్యక్తీకరణ యొక్క స్థిరాంకాలను నమోదు చేస్తారు:
   
   (x) (x)
3. X యొక్క ముందు స్థలాన్ని అనేక కారణాలతో నింపండి a విలువ. కోసం a మా ఉదాహరణలో పదం, 3x, కేవలం 1 అవకాశం మాత్రమే ఉంది:
   
   (3x) (1x)
4. స్థిరాంకాలకు కొన్ని కారకాలతో x తరువాత 2 ఖాళీలను పూరించండి. మేము 8 మరియు 1 ని ఎంచుకుందాం. దీన్ని నమోదు చేయండి:
   
   (3x8) (ఎక్స్1)
5. X వేరియబుల్స్ మరియు సంఖ్యల మధ్య ఏ సంకేతాలు (ప్లస్ లేదా మైనస్) ఉండాలి అని నిర్ణయించండి. అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క అక్షరాలను బట్టి, స్థిరాంకాల అక్షరాలు ఎలా ఉండాలో తెలుసుకోవచ్చు. రెండు కారకాల యొక్క రెండు స్థిరాంకాలను తీసుకుందాం h మరియు k పేర్కొనడానికి:
   
   గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి అయితే (x + h) (x + k)
   గొడ్డలి - bx - c లేదా గొడ్డలి + bx - c అయితే (x - h) (x + k)
   గొడ్డలి ఉంటే - bx + c అప్పుడు (x - h) (x - k)
   మా ఉదాహరణలో, 3x + 2x - 8, సంకేతం: (x - h) (x + k), ఇది మాకు ఈ క్రింది రెండు అంశాలను ఇస్తుంది:
   
   (3x + 8) మరియు (x - 1)
6. మొదటి-బయటి-లోపలి-చివరి గుణకారంతో మీ ఎంపికను పరీక్షించండి. మధ్య పదం కనీసం సరైన విలువ కాదా అని శీఘ్ర మొదటి పరీక్ష. కాకపోతే, మీరు బహుశా తప్పు కలిగి ఉండవచ్చు సి ఎంచుకున్న కారకాలు. సమాధానాన్ని పరీక్షిద్దాం:
   
   (3x + 8) (x - 1)
   గుణకారం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది:
   
   3x - 3x + 8x - 8
   (-3x) మరియు (8x) వంటి పదాలను జోడించడం ద్వారా ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి మరియు మనకు లభిస్తుంది:
   
   3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
   మేము తప్పు కారకాలను తీసుకున్నామని ఇప్పుడు మాకు తెలుసు:
   
   3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
7. అవసరమైతే, మీ ఎంపికలను మార్చండి. మా ఉదాహరణలో, 1 మరియు 8 కు బదులుగా 2 మరియు 4 లను ప్రయత్నిద్దాం:
   
   (3x + 2) (x - 4)
   ఇప్పుడు మా సి పదం -8 కు సమానం, కానీ (3x * -4) మరియు (2 * x) యొక్క బాహ్య / అంతర్గత ఉత్పత్తి -12x మరియు 2x, ఇది సరైనది కాదు బి పదం లేదా + 2x.
   
   -12x + 2x = 10x
   10x 2x
8. అవసరమైతే ఆర్డర్‌ను రివర్స్ చేయండి. 2 మరియు 4 లను తిప్పడానికి ప్రయత్నిద్దాం:
   
   (3x + 4) (x - 2)
   ఇప్పుడు మా సి పదం (4 * 2 = 8) మరియు ఇప్పటికీ సరే, కానీ బాహ్య / అంతర్గత ఉత్పత్తులు -6x మరియు 4x. వీటిని కలిపినప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:
   
   -6x + 4x = 2x
   2x ≠ -2x మనం ఇప్పుడు మనం ఉండాలనుకునే 2x కి చాలా దగ్గరగా ఉన్నాము, కాని సంకేతం ఇంకా సరైనది కాదు.
9. అవసరమైతే మీ అక్షరాలను రెండుసార్లు తనిఖీ చేయండి. మేము ఈ క్రమాన్ని ఉంచుతాము, కాని దాన్ని మైనస్ గుర్తుతో మార్చుకోండి:
   
   (3x - 4) (x + 2)
   ఇప్పుడు ది సి పదం ఇప్పటికీ సరే, మరియు బాహ్య / అంతర్గత ఉత్పత్తులు ఇప్పుడు (6x) మరియు (-4x). ఎందుకంటే:
   
   6x - 4x = 2x
   2x = 2x ఇప్పుడు మనం అసలు సమస్య నుండి సానుకూల 2x ని తిరిగి చూస్తాము. ఇవి సరైన కారకాలుగా ఉండాలి.

6 యొక్క పద్ధతి 2: కుళ్ళిపోవడం

ఈ పద్ధతి దాని యొక్క అన్ని అంశాలను ఇస్తుంది a మరియు సి నిబంధనలు మరియు ఏ కారకాలు సరైనవో తెలుసుకోవడానికి వాటిని ఉపయోగిస్తుంది. సంఖ్యలు చాలా పెద్దవి అయితే, లేదా ఇతర పద్ధతుల అంచనా చాలా ఎక్కువ సమయం తీసుకుంటుంటే, ఈ విధంగా ఉపయోగించండి. ఒక ఉదాహరణ:

6x + 13x + 6

1. గుణించాలి a తో పదం సి పదం. ఈ ఉదాహరణలో, a 6 మరియు సి కూడా 6.
   
   6 * 6 = 36
2. కనుగొను బి కారకం మరియు పరీక్ష ద్వారా పదం. మేము కారకాలైన 2 సంఖ్యల కోసం చూస్తున్నాము a * సి , మరియు కలిసి బి పదం (13).
   
   4 * 9 = 36
   4 + 9 = 13
3. మీ సమీకరణంలో మీకు లభించే రెండు సంఖ్యలను మొత్తంగా మార్చండి బి పదం. లెట్స్ k మరియు h మన వద్ద ఉన్న 2 సంఖ్యలను సూచించడానికి, 4 మరియు 9:
   
   గొడ్డలి + kx + hx + c
   6x + 4x + 9x + 6
4. సమూహం ద్వారా బహుపదిని కారకం చేయండి. మీరు సమీకరణాన్ని నిర్వహించండి, తద్వారా మీరు మొదటి రెండు పదాల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను మరియు చివరి రెండు పదాలను వేరు చేయవచ్చు. రెండు అంశాలు ఒకేలా ఉండాలి. GGD లను కలిపి, కారకాల పక్కన బ్రాకెట్లలో ఉంచండి; ఫలితంగా మీరు రెండు అంశాలను పొందుతారు:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
   (2x + 3) (3x + 2)

6 యొక్క విధానం 3: ట్రిపుల్ ప్లే

కుళ్ళిన పద్ధతి మాదిరిగానే. "ట్రిపుల్ ప్లే" పద్ధతి యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క కారకాలను పరిశీలిస్తుంది a మరియు సి మరియు ఏమిటో తెలుసుకోవడానికి దాన్ని ఉపయోగించండి బి ఉండాలి. సమీకరణాన్ని ఉదాహరణగా తీసుకోండి:

8x + 10x + 2

1. గుణించాలి a తో పదం సి పదం. కుళ్ళిపోయే పద్ధతి మాదిరిగా, మేము దీనిని అభ్యర్థులను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగిస్తాము బి పదం. ఈ ఉదాహరణలో: a 8 మరియు సి 2.
   
   8 * 2 = 16
2. ఈ సంఖ్యతో 2 సంఖ్యలను ఉత్పత్తిగా మరియు సమానమైన మొత్తంతో కనుగొనండి బి పదం. ఈ దశ కుళ్ళిపోయే పద్ధతి వలె ఉంటుంది - మేము స్థిరాంకాల కోసం అభ్యర్థులను పరీక్షిస్తాము. యొక్క ఉత్పత్తి a మరియు సి నిబంధనలు 16, మరియు సి పదం 10:
   
   2 * 8 = 16
   8 + 2 = 10
3. ఈ 2 సంఖ్యలను తీసుకొని వాటిని "ట్రిపుల్ ప్లే" ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మునుపటి దశ నుండి 2 సంఖ్యలను తీసుకోండి - వాటిని తీసుకుందాం h మరియు k వారిని పిలవండి - మరియు వాటిని వ్యక్తీకరణలో ఉంచండి:
   
   ((గొడ్డలి + గం) (గొడ్డలి + కె)) / ఎ
   
   దీనితో మనకు లభిస్తుంది:
   
   ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. హారం లోని రెండు పదాలలో ఏది పూర్తిగా విభజించవచ్చో చూడండి a. ఈ ఉదాహరణలో, (8x + 8) లేదా (8x + 2) ను 8 ద్వారా విభజించవచ్చా అని మేము చూస్తున్నాము. a మరియు మేము ఇతర ప్రభావితం చేయకుండా వదిలివేస్తాము.
   
   (8x + 8) = 8 (x + 1)
   మేము ఇక్కడ ఉంచిన పదం విభజించిన తరువాత మిగిలి ఉంది a పదం: (x + 1)
5. వీలైతే, రెండు పదాల నుండి గొప్ప కామన్ డివైజర్ (జిసిడి) ను తీసుకోండి. ఈ ఉదాహరణలో రెండవ పదం gcd 2 ను కలిగి ఉందని మనం చూస్తాము, ఎందుకంటే 8x + 2 = 2 (4x + 1). మునుపటి దశలో మీరు కనుగొన్న పదంతో ఈ జవాబును కలపండి. మీ పోలిక యొక్క అంశాలు ఇవి.
   
   2 (x + 1) (4x + 1)

6 యొక్క పద్ధతి 4: రెండు చతురస్రాల మధ్య వ్యత్యాసం

మీరు బహుపదంలో కొన్ని గుణకాలను "చతురస్రాలు" గా లేదా 2 ఒకేలాంటి సంఖ్యల ఉత్పత్తిగా గుర్తించవచ్చు. ఏ చతురస్రాలు ఉన్నాయో గుర్తించడం ద్వారా, మీరు బహుపదాలను చాలా వేగంగా కారకం చేయగలరు. మేము సమీకరణాన్ని తీసుకుంటాము:

27x - 12 = 0

1. వీలైతే, సమీకరణం నుండి జిసిడిని తొలగించండి. ఈ సందర్భంలో 27 మరియు 12 రెండూ 3 ద్వారా విభజించబడతాయని మేము చూస్తాము, కాబట్టి మేము వాటిని విడిగా ఉంచవచ్చు:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4)
2. మీ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు చతురస్రాలు కాదా అని నిర్ణయించండి. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడానికి పదాల మూలాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం. (మేము మైనస్ సంకేతాలను విస్మరించామని గమనించండి - ఈ సంఖ్యలు చతురస్రాలు కాబట్టి, అవి 2 ప్రతికూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి కావచ్చు)
   
   9x = 3x * 3x మరియు 4 = 2 * 2
3. మీరు నిర్ణయించిన వర్గమూలాన్ని ఉపయోగించి, మీరు ఇప్పుడు కారకాలను వ్రాయవచ్చు. మేము తీసుకుంటాము a మరియు సి మునుపటి దశ నుండి విలువలు: a = 9 మరియు సి = 4, కాబట్టి దీని మూలాలు: -a = 3 మరియుసి = 2. ఇవి కారకమైన వ్యక్తీకరణల గుణకాలు:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

6 యొక్క విధానం 5: ABC సూత్రం

ఏమీ పని చేయనట్లు అనిపిస్తే మరియు మీరు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించలేకపోతే, ఎబిసి సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి. కింది ఉదాహరణ తీసుకోండి:

x + 4x + 1 = 0

1. సంబంధిత విలువలను ఎబిసి ఫార్ములాలో నమోదు చేయండి:
   
   x = -b ± √ (బి - 4ac)
         ---------------------
   2 ఎ
   మేము ఇప్పుడు వ్యక్తీకరణను పొందాము:
   
   x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
2. X కోసం పరిష్కరించండి. మీరు ఇప్పుడు x కోసం 2 విలువలను పొందాలి. ఇవి:
   
   
   x = -2 + √ (3) లేదా x = -2 - (3)
3. కారకాలను నిర్ణయించడానికి x విలువలను ఉపయోగించండి. రెండు సమీకరణాలలో పొందిన x విలువలను స్థిరాంకాలుగా నమోదు చేయండి. ఇవి మీ కారకాలు. మేము రెండింటికి సమాధానం ఇస్తే h మరియు k మేము రెండు అంశాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్తాము:
   
   (x - h) (x - k)
   ఈ సందర్భంలో, తుది సమాధానం:
   
   (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6 యొక్క పద్ధతి 6: కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించడం

గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించడానికి ఇది అనుమతించబడితే (లేదా తప్పనిసరి), ఇది కారకాలను చాలా సులభం చేస్తుంది, ముఖ్యంగా పరీక్షలు మరియు పరీక్షలకు. కింది సూచనలు TI గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ కోసం. మేము ఉదాహరణ నుండి సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

y = x - x - 2

1. మీ కాలిక్యులేటర్‌లో సమీకరణాన్ని నమోదు చేయండి. మీరు [Y =] స్క్రీన్ అని కూడా పిలువబడే సమీకరణ పరిష్కారాన్ని ఉపయోగిస్తున్నారు.
2. కాలిక్యులేటర్‌తో సమీకరణాన్ని గ్రాఫ్ చేయండి. మీరు సమీకరణంలోకి ప్రవేశించిన తర్వాత, [గ్రాఫ్] నొక్కండి - మీరు ఇప్పుడు మీ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యంగా ఒక వక్ర రేఖను, పారాబొలాను చూడాలి (మరియు ఇది పారాబొలా ఎందుకంటే మేము బహుపదితో వ్యవహరిస్తున్నాము).
3. పారాబొలా x అక్షంతో ఎక్కడ కలుస్తుందో కనుగొనండి. చతురస్రాకార సమీకరణం సాంప్రదాయకంగా గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి = 0 అని వ్రాయబడినందున, ఈ రెండు x విలువలు సమీకరణాన్ని సున్నాకి సమానంగా చేస్తాయి:
   
   (-1, 0), (2 , 0)
   x = -1, x = 2
   • పారాబొలా x- అక్షంతో ఎక్కడ కలుస్తుందో మీరు చూడలేకపోతే, [2 వ] నొక్కండి, ఆపై [TRACE] నొక్కండి. [2] నొక్కండి లేదా "సున్నా" ఎంచుకోండి. కర్సర్‌ను ఖండన యొక్క ఎడమ వైపుకు తరలించి, [ENTER] నొక్కండి. కర్సర్‌ను ఖండన కుడి వైపుకు తరలించి, [ENTER] నొక్కండి. కర్సర్‌ను వీలైనంత దగ్గరగా ఖండన స్థానానికి తరలించి, [ENTER] నొక్కండి. కాలిక్యులేటర్ x విలువను సూచిస్తుంది. ఇతర ఖండన కోసం కూడా దీన్ని చేయండి.
4. మీరు పొందిన x విలువలను రెండు కారకాల వ్యక్తీకరణలలో నమోదు చేయండి. మేము రెండు x విలువలను తీసుకుంటే h మరియు k ఒక పదంగా, మేము ఉపయోగించే వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:
   
   (x - h) (x - k) = 0
   కాబట్టి మా రెండు అంశాలు అప్పుడు అవుతాయి:
   
   (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

చిట్కాలు

• మీరు ఎబిసి ఫార్ములాతో బహుపదిని కారకం చేసి, మరియు మీ జవాబులో మూలాలు ఉంటే, మీరు వాటిని తనిఖీ చేయడానికి x విలువలను భిన్నాలకు మార్చవచ్చు.
• ఒక పదానికి ముందు గుణకం లేకపోతే, అప్పుడు గుణకం 1 కి సమానం, ఉదా. X = 1x.
• మీకు TI-84 కాలిక్యులేటర్ ఉంటే, మీ కోసం చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించగల SOLVER అనే ప్రోగ్రామ్ ఉంది. ఇది అధిక డిగ్రీ బహుపదాలను కూడా పరిష్కరిస్తుంది.
• చాలా అభ్యాసం తరువాత, మీరు చివరికి గుండె ద్వారా బహుపదాలను పరిష్కరించగలుగుతారు. కానీ సురక్షితమైన వైపు ఉండటానికి ఎల్లప్పుడూ వాటిని వ్రాయడం మంచిది.
• ఒక పదం లేకపోతే, గుణకం సున్నా. అప్పుడు సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయడానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది. ఉదా. x + 6 = x + 0x + 6.

హెచ్చరికలు

• మీరు గణిత తరగతిలో ఈ భావనను నేర్చుకుంటుంటే, ఉపాధ్యాయుడు ఏమి వివరిస్తున్నాడో దానిపై శ్రద్ధ వహించండి మరియు మీకు ఇష్టమైన పద్ధతిని ఉపయోగించవద్దు. పరీక్ష కోసం ఒక నిర్దిష్ట పద్ధతిని ఉపయోగించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు లేదా గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్లను అనుమతించకపోవచ్చు.

అవసరాలు

• పెన్సిల్
• పేపర్
• వర్గ సమీకరణం (రెండవ డిగ్రీ సమీకరణం అని కూడా పిలుస్తారు)
• గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ (ఐచ్ఛికం)