విషయము

• దశలు
• సలహా

ఇచ్చిన దిశలో వస్తువు యొక్క వేగం వలె వేగం నిర్వచించబడుతుంది. అనేక సందర్భాల్లో, వేగాన్ని కనుగొనడానికి మేము v = s / t అనే సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము, ఇక్కడ v అనేది వేగం, s అనేది వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశం యొక్క అసలు దూరం నుండి మొత్తం దూరం, మరియు t అనేది వస్తువు ప్రయాణించడానికి పట్టే సమయం. అన్ని మార్గం వెళ్ళండి. అయితే, సిద్ధాంతంలో ఈ సూత్రం వేగం కోసం మాత్రమే మధ్యస్థం మార్గంలో విషయాలు. దూరం వెంట ఏ క్షణంలోనైనా వస్తువు యొక్క వేగాన్ని లెక్కించడం ద్వారా. అంటే రవాణా సమయం మరియు సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది v = (ds) / (dt), లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది సగటు వేగం కోసం సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం.

దశలు

3 యొక్క 1 వ భాగం: తక్షణ వేగాన్ని లెక్కించండి

1. 

   
   
   స్థానభ్రంశం దూరం ద్వారా వేగాన్ని లెక్కించడానికి ఒక సమీకరణంతో ప్రారంభించండి. తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనడానికి, మనం మొదట ఏ క్షణంలోనైనా వస్తువు యొక్క స్థానాన్ని (స్థానభ్రంశం పరంగా) సూచించే సమీకరణాన్ని కలిగి ఉండాలి. అంటే సమీకరణానికి ఒకే వేరియబుల్ ఉండాలి ఎస్ ఒక వైపు మరియు తిరగండి టి మరొక వైపు (తప్పనిసరిగా ఒక వేరియబుల్ మాత్రమే కాదు), ఇలా:
   

   s = -1.5t + 10t + 4

   • ఈ సమీకరణంలో, వేరియబుల్స్:

     s = స్థానభ్రంశం. వస్తువు దాని అసలు స్థానం నుండి కదిలిన దూరం. ఉదాహరణకు, ఒక వస్తువు 10 మీటర్లు ముందుకు మరియు 7 మీటర్లు వెనుకకు నడవగలిగితే, దాని మొత్తం ప్రయాణ దూరం 10 - 7 = 3 మీటర్లు (10 + 7 = 17 ని కాదు).

     t = సమయం. ఈ వేరియబుల్ వివరణ లేకుండా సులభం, సాధారణంగా సెకన్లలో కొలుస్తారు.

2. 

   
   
   సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం తీసుకోండి. సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం మరొక సమీకరణం, ఇది ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో దూరం యొక్క వాలును చూపిస్తుంది. స్థానభ్రంశం దూరం ద్వారా సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం కనుగొనడానికి, ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడానికి కింది సాధారణ నియమం ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన తీసుకోండి: Y = a * x అయితే, ఉత్పన్నం = a * n * x. సమీకరణం యొక్క "t" వైపు ఉన్న అన్ని నిబంధనలకు ఇది వర్తిస్తుంది.
   • మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమీకరణం యొక్క "t" వైపున అవకలన ఎడమ నుండి కుడికి పొందడం ప్రారంభించండి. మీరు వేరియబుల్ "టి" ను ఎదుర్కొన్నప్పుడల్లా, మీరు ఘాతాంకాన్ని 1 ద్వారా తీసివేసి, అసలు ఎక్స్‌పోనెంట్ ద్వారా ఈ పదాన్ని గుణించాలి. ఏదైనా స్థిరమైన నిబంధనలు ("t" లేని పదాలు) అదృశ్యమవుతాయి ఎందుకంటే అవి 0 గుణించబడతాయి. ఈ ప్రక్రియ వాస్తవానికి మీరు అనుకున్నంత కష్టం కాదు - పై దశలో సమీకరణాన్ని ఉదాహరణగా తీసుకుందాం:
     

     s = -1.5t + 10t + 4
     (2) -1.5 టి + (1) 10 టి + (0) 4 టి
     -3 టి + 10 టి
     -3 టి + 10

     
     

3. 

   "S" ను "ds / dt" తో భర్తీ చేయండి. క్రొత్త సమీకరణం అసలు చతురస్రం యొక్క ఉత్పన్నం అని చూపించడానికి, మేము "s" ను "ds / dt" చిహ్నంతో భర్తీ చేస్తాము. సిద్ధాంతంలో, ఈ సంజ్ఞామానం "t పరంగా s యొక్క ఉత్పన్నం". ఈ సంజ్ఞామానాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి సరళమైన మార్గం, ds / dt అనేది ప్రారంభ సమీకరణంలోని ఏదైనా బిందువు యొక్క వాలు. ఉదాహరణకు, t = 5 సమయంలో s = -1.5t + 10t + 4 సమీకరణం వివరించిన దూరం యొక్క వాలును కనుగొనడానికి, సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నంలో t కోసం "5" ను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము.
   • పై ఉదాహరణలో, సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం ఇలా కనిపిస్తుంది:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనడానికి కొత్త సమీకరణంలో t కోసం విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఇప్పుడు మనకు ఉత్పన్న సమీకరణం ఉన్నందున, ఏ క్షణంలోనైనా తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనడం చాలా సులభం. మీరు చేయాల్సిందల్లా టి-విలువను ఎన్నుకోండి మరియు దానిని ఉత్పన్న సమీకరణంతో భర్తీ చేయండి. ఉదాహరణకు, మేము t = 5 వద్ద తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనాలనుకుంటే, ds / dt = -3t + 10 అనే ఉత్పన్న సమీకరణంలో t కోసం "5" ను ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి. మేము ఈ విధంగా సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 మీటర్లు / సెకను

   • మేము పైన "మీటర్లు / సెకను" అనే యూనిట్‌ను ఉపయోగిస్తున్నామని గమనించండి.మేము మీటర్లలో స్థానభ్రంశం మరియు సమయాన్ని సెకన్లలో పరిష్కరిస్తున్నాము మరియు వేగం సమయం లో స్థానభ్రంశం కాబట్టి, ఈ యూనిట్ అనుకూలంగా ఉంటుంది.
   ప్రకటన

3 యొక్క 2 వ భాగం: తక్షణ వేగాన్ని గ్రాఫికల్గా అంచనా వేయడం

1. 

   కాలక్రమేణా వస్తువు యొక్క కదలిక దూరాన్ని గ్రాఫ్ చేయండి. పై విభాగంలో, ఉత్పన్నం కూడా ఉత్పన్నం నుండి తీసుకున్న సమీకరణంలో ఏ సమయంలోనైనా వాలును కనుగొనటానికి అనుమతించే సూత్రం అని మేము చెప్పాము. వాస్తవానికి, మీరు వస్తువు యొక్క కదిలే దూరాన్ని గ్రాఫ్‌లో చూపిస్తే, ఏ సమయంలోనైనా గ్రాఫ్ యొక్క వాలు ఆ సమయంలో వస్తువు యొక్క తక్షణ వేగం.
   • చలన దూరాలను గ్రాఫ్ చేయడానికి, సమయం కోసం x- అక్షం మరియు స్థానభ్రంశం కోసం y- అక్షం ఉపయోగించండి. అప్పుడు మీరు t యొక్క విలువలను చలన సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయడం ద్వారా అనేక పాయింట్లను నిర్ణయిస్తారు, ఫలితం s విలువలు, మరియు మీరు గ్రాఫ్‌లో t, s (x, y) పాయింట్లను చుక్కలు వేస్తారు.
   • గ్రాఫ్ x- అక్షం క్రింద విస్తరించవచ్చని గమనించండి. వస్తువు యొక్క కదలికను చూపించే పంక్తి x- అక్షం క్రిందకు వెళితే, వస్తువు దాని అసలు స్థానం నుండి వెనుకకు కదులుతుందని దీని అర్థం. సాధారణంగా, గ్రాఫ్ y- అక్షం వెనుక విస్తరించదు - మేము సాధారణంగా సమయానికి తిరిగి వెళ్ళే వస్తువుల వేగాన్ని కొలవము!

2. 

   గ్రాఫ్‌లో పాయింట్ P కి సమీపంలో ఉన్న పాయింట్ P మరియు పాయింట్ Q ని ఎంచుకోండి. పాయింట్ P వద్ద గ్రాఫ్ యొక్క వాలును కనుగొనడానికి, మేము "పరిమితి కనుగొనడం" యొక్క సాంకేతికతను ఉపయోగిస్తాము. పరిమితిని కనుగొనడం అంటే వక్రరేఖపై రెండు పాయింట్లు (పి మరియు క్యూ (పి దగ్గర ఒక పాయింట్)) తీసుకొని, ఆ రెండు పాయింట్లను అనుసంధానించే రేఖ యొక్క వాలును కనుగొనడం, పి మరియు క్యూ మధ్య దూరం తగ్గిపోతున్నందున ఈ ప్రక్రియను పునరావృతం చేయడం. క్రమంగా.
   • స్థానభ్రంశం దూరానికి పాయింట్లు (1; 3) మరియు (4; 7) ఉన్నాయని అనుకోండి. ఈ సందర్భంలో, (1; 3) వద్ద వాలును కనుగొనాలనుకుంటే, అప్పుడు మేము సెట్ చేయవచ్చు (1; 3) = పి మరియు (4; 7) = ప్ర.

3. 

   P మరియు Q మధ్య వాలును కనుగొనండి. P మరియు Q ల మధ్య వాలు P మరియు Q లకు x విలువల వ్యత్యాసం కంటే P మరియు Q లకు y విలువల తేడా. ఇతర మాటలలో, H = (y_ప్ర - వై_పి) / (x_ప్ర - x_పి), ఇక్కడ H అనేది రెండు పాయింట్ల మధ్య వాలు. ఈ ఉదాహరణలో, P మరియు Q మధ్య వాలు:
   

   H = (y_ప్ర - వై_పి) / (x_ప్ర - x_పి)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Q ని P కి దగ్గరగా తరలించడం ద్వారా చాలాసార్లు రిపీట్ చేయండి. P మరియు Q ల మధ్య దూరాన్ని ఒకే బిందువుకు చేరుకునే వరకు తగ్గించడం లక్ష్యం. P మరియు Q ల మధ్య చిన్న దూరం, అనంతమైన చిన్న విభాగం యొక్క వాలు పాయింట్ P వద్ద వాలుకు దగ్గరగా ఉంటుంది. పాయింట్లను ఉపయోగించి మా ఉదాహరణ సమీకరణం కోసం కొన్ని సార్లు పునరావృతం చేయండి (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) మరియు (1.25; 3.49) Q ను ఇస్తాయి మరియు P యొక్క ప్రారంభ అక్షాంశాలు (1; 3):
   

   Q = (2; 4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1.8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1.5; 3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
   H = (0.95) / (0.5) = 1,9
   
   ప్ర = (1.25; 3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
   H = (0.49) / (0.25) = 1,96

5. 

   గ్రాఫ్ వక్రంలో చాలా చిన్న విభాగం యొక్క వాలును అంచనా వేస్తుంది. Q P కి దగ్గరగా మరియు దగ్గరగా, H క్రమంగా P. వద్ద వాలుకు దగ్గరగా ఉంటుంది. చివరగా, చాలా చిన్న రేఖ వద్ద, H P వద్ద వాలుగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే మనం కొలవలేము లేదా లెక్కించలేము ఒక రేఖ యొక్క పొడవు చాలా చిన్నది, కాబట్టి మనం లెక్కించే పాయింట్ల నుండి స్పష్టంగా కనిపించేటప్పుడు మాత్రమే P వద్ద వాలును అంచనా వేయండి.
   • పై ఉదాహరణలో, మేము H ని P కి దగ్గరగా కదిలినప్పుడు, మనకు 1,8 యొక్క H విలువలు ఉన్నాయి; 1.9 మరియు 1.96. ఈ సంఖ్యలు 2 కి దగ్గరవుతున్నందున మనం చెప్పగలం 2 P. వద్ద వాలు యొక్క సుమారు విలువ.
   • గ్రాఫ్‌లోని ఏ సమయంలోనైనా వాలు ఆ సమయంలో గ్రాఫ్ సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం అని గుర్తుంచుకోండి. మునుపటి విభాగంలో మనం చూసినట్లుగా, గ్రాఫ్ ఒక వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశాన్ని కాలక్రమేణా చూపిస్తుంది కాబట్టి, ఏ సమయంలోనైనా దాని తక్షణ వేగం సమస్య పాయింట్ వద్ద వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశం దూరం యొక్క ఉత్పన్నం. యాక్సెస్, మేము చెప్పగలను సెకనుకు 2 మీటర్లు t = 1 ఉన్నప్పుడు తక్షణ వేగం యొక్క అంచనా.
   ప్రకటన

3 యొక్క 3 వ భాగం: నమూనా సమస్య

1. 

   స్థానభ్రంశం సమీకరణం s = 5t - 3t + 2t + 9 తో t = 1 ఉన్నప్పుడు తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనండి. మొదటి విభాగంలోని ఉదాహరణ వలె కానీ ఇది చతురస్రాకారానికి బదులుగా ఒక క్యూబిక్, కాబట్టి మేము సమస్యను అదే విధంగా పరిష్కరించగలము.
   • మొదట, సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం తీసుకోండి:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • అప్పుడు మేము t (4) విలువను దీని స్థానంలో భర్తీ చేస్తాము:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = సెకనుకు 22 మీటర్లు

2. 

   స్థానభ్రంశం సమీకరణం s = 4t - t కోసం (1; 3) వద్ద తక్షణ వేగాన్ని కనుగొనడానికి గ్రాఫ్ అంచనా పద్ధతిని ఉపయోగించండి. ఈ సమస్య కోసం, మేము పాయింట్ P గా కోఆర్డినేట్‌లను (1; 3) ఉపయోగిస్తాము, కాని దాని దగ్గర ఉన్న ఇతర Q పాయింట్లను మనం తప్పక కనుగొనాలి. అప్పుడు మనం చేయాల్సిందల్లా H విలువలను కనుగొని అంచనా విలువను తగ్గించడం.
   • మొదట, t = 2 ఉన్నప్పుడు మేము Q పాయింట్లను కనుగొంటాము; 1.5; 1.1 మరియు 1.01.
     

     s = 4t - టి
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, కాబట్టి Q = (2; 14)
     
     t = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
     4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, కాబట్టి Q = (1.5; 7.5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, కాబట్టి Q = (1.1; 3.74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
     4 (1,0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, కాబట్టి అంతే Q = (1.01; 3.0704)

   • తరువాత మనకు H విలువలు లభిస్తాయి:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1.5; 7.5): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
     H = (4,5) / (0.5) = 9
     
     Q = (1.1; 3.74): H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
     H = (0.74) / (0.1) = 7,3
     
     Q = (1.01; 3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (0.0704) / (0.01) = 7,04

   • H విలువలు 7 కి దగ్గరగా ఉన్నట్లు అనిపించినందున, మేము దానిని చెప్పగలం సెకనుకు 7 మీటర్లు కోఆర్డినేట్ (1; 3) వద్ద తక్షణ వేగం యొక్క అంచనా.
   ప్రకటన

సలహా

• త్వరణాన్ని కనుగొనడానికి (కాలక్రమేణా వేగంలో మార్పు), స్థానభ్రంశం సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం పొందడానికి మొదటి భాగంలో పద్ధతిని ఉపయోగించండి. మీరు ఇప్పుడే కనుగొన్న ఉత్పన్న సమీకరణం కోసం మళ్ళీ ఉత్పన్నం తీసుకోండి. ఫలితం ఏమిటంటే, మీరు ఇచ్చిన సమయంలో త్వరణం కోసం ఒక సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటారు - మీరు చేయాల్సిందల్లా సమయం ప్లగ్ చేయడమే.
• Y = స్థానభ్రంశం దూరం మరియు X (సమయం) మధ్య సంబంధాన్ని చూపించే సమీకరణం Y = 6x + 3 గా చాలా సులభం. ఈ సందర్భంలో, వాలు స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు తీసుకోవలసిన అవసరం లేదు వాలును లెక్కించడానికి ఉత్పన్నం, అనగా, ఇది సరళ గ్రాఫ్ కోసం Y = mx + b అనే ప్రాథమిక సమీకరణ రూపాన్ని అనుసరిస్తుంది, అనగా వాలు 6.
• స్థానభ్రంశం దూరం దూరం లాంటిది కాని దిశను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది వెక్టర్ పరిమాణం, మరియు వేగం స్కేలార్ పరిమాణం. ప్రయాణ దూరాలు ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు, దూరాలు మాత్రమే సానుకూలంగా ఉండవచ్చు.