విషయము

• దశలు
• పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: ఫంక్షన్ డొమైన్‌ను కనుగొనడం
• పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క పరిధిని కనుగొనడం
• పార్ట్ 3 ఆఫ్ 3: ఫంక్షన్ యొక్క పరిధిని దాని గ్రాఫ్ ఉపయోగించి కనుగొనడం

ప్రతి ఫంక్షన్‌లో రెండు వేరియబుల్స్ ఉంటాయి - స్వతంత్ర వేరియబుల్ మరియు డిపెండెంట్ వేరియబుల్, దీని విలువలు స్వతంత్ర వేరియబుల్ విలువలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్‌లో y = f(x) = 2x + y స్వతంత్ర చరరాశి x మరియు డిపెండెంట్ వేరియబుల్ y (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, y అనేది x యొక్క ఫంక్షన్). స్వతంత్ర వేరియబుల్ "x" యొక్క చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలను ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ అంటారు మరియు డిపెండెంట్ వేరియబుల్ "y" యొక్క చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలను ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ అంటారు.

దశలు

పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: ఫంక్షన్ డొమైన్‌ను కనుగొనడం

1. 1 మీకు ఇచ్చిన ఫంక్షన్ రకాన్ని నిర్ణయించండి. ఫంక్షన్ యొక్క విలువల శ్రేణి "x" (హారిజాంటల్ అక్షం వెంట ప్లాట్ చేయబడింది) యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువలు, ఇవి "y" యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. ఫంక్షన్ చతుర్భుజం కావచ్చు లేదా భిన్నాలు లేదా మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనడానికి, మీరు మొదట ఫంక్షన్ రకాన్ని గుర్తించాలి.
   • చతుర్భుజం ఫంక్షన్: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • భిన్నాన్ని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్: f (x) = (//_x), f (x) = /_{(x - 1)} (మొదలైనవి).
   • రూట్-కలిగిన ఫంక్షన్: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (మరియు అందువలన).
2. 2 ఫంక్షన్ పరిధికి తగిన ఎంట్రీని ఎంచుకోండి. స్కోప్ చదరపు మరియు / లేదా కుండలీకరణాలలో వ్రాయబడింది. ఫంక్షన్ పరిధిలో విలువ ఉన్నప్పుడు ఒక చదరపు బ్రాకెట్ ఉపయోగించబడుతుంది; విలువ పరిధిలో లేనట్లయితే, ఒక కుండలీకరణం ఉపయోగించబడుతుంది. ఫంక్షన్‌లో నిర్వచనం యొక్క అనేక నిరంతర డొమైన్‌లు ఉంటే, వాటి మధ్య "U" గుర్తు ఉంచబడుతుంది.
   • ఉదాహరణకు, డొమైన్ [-2,10) U (10,2] విలువలు -2 మరియు 2 లను కలిగి ఉంటాయి, కానీ విలువ 10 ని కలిగి ఉండదు.
   • పేరెంటీస్ ఎల్లప్పుడూ అనంత చిహ్నంతో ఉపయోగించబడతాయి ∞.
3. 3 చతుర్భుజ ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయండి. అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పారబోలా, దీని శాఖలు పైకి లేదా క్రిందికి దర్శకత్వం వహించబడతాయి. పారాబోలా మొత్తం X- అక్షంలో పెరుగుతుంది లేదా తగ్గుతుంది కాబట్టి, చతురస్ర ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ మొత్తం వాస్తవ సంఖ్యలు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ సెట్ R (R అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలను సూచిస్తుంది).
   • ఫంక్షన్ యొక్క భావనను బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, "x" యొక్క ఏదైనా విలువను ఎంచుకోండి, దాన్ని ఫంక్షన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు "y" విలువను కనుగొనండి. జత విలువలు "x" మరియు "y" ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లో ఉండే కోఆర్డినేట్‌లతో (x, y) ఒక బిందువును సూచిస్తాయి.
   • ఈ పాయింట్‌ను కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో గీయండి మరియు వివరించిన ప్రక్రియను వేరే "x" విలువతో అనుసరించండి.
   • కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో అనేక పాయింట్లను ప్లాట్ చేయడం ద్వారా, ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ ఆకృతి గురించి మీకు సాధారణ ఆలోచన వస్తుంది.
4. 4 ఫంక్షన్‌లో భిన్నం ఉంటే, దాని హారం సున్నాకి సెట్ చేయండి. మీరు సున్నా ద్వారా విభజించలేరని గుర్తుంచుకోండి. కాబట్టి, హారంను సున్నాకి సమానం చేయడం ద్వారా, మీరు ఫంక్షన్ పరిధిలో లేని "x" విలువలను కనుగొంటారు.
   • ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి f (x) = /_{(x - 1)}.
   • ఇక్కడ హారం (x - 1).
   • హారంను సున్నాకి సమానం చేసి "x" ని కనుగొనండి: x - 1 = 0; x = 1.
   • ఫంక్షన్ యొక్క పరిధిని వ్రాయండి. డొమైన్ 1 ని కలిగి ఉండదు, అనగా, ఇందులో 1 మినహా అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు ఉంటాయి. అందువలన, ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • సంజ్ఞామానం (-∞, 1) U (1, ∞) ఇలా చదువుతుంది: 1. మినహా అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి 1. అనంత చిహ్నం ∞ అంటే అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. మా ఉదాహరణలో, 1 కంటే ఎక్కువ మరియు 1 కంటే తక్కువ ఉన్న అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు పరిధిలో చేర్చబడ్డాయి.
5. 5 ఫంక్షన్ ఒక వర్గమూలాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు రాడికల్ వ్యక్తీకరణ సున్నా కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉండాలి. ప్రతికూల సంఖ్యల వర్గమూలం సంగ్రహించబడదని గుర్తుంచుకోండి. అందువల్ల, రాడికల్ వ్యక్తీకరణ ప్రతికూలంగా మారే "x" విలువ ఏదైనా ఫంక్షన్ పరిధి నుండి మినహాయించాలి.
   • ఉదాహరణకు, f (x) = √ (x + 3) ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి.
   • రాడికల్ వ్యక్తీకరణ: (x + 3).
   • రాడికల్ వ్యక్తీకరణ సున్నా కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉండాలి: (x + 3) ≥ 0.
   • "X" ని కనుగొనండి: x ≥ -3.
   • ఈ ఫంక్షన్ యొక్క పరిధిలో -3 కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి ఉంటుంది. అందువలన, డొమైన్ [-3, ∞).

పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క పరిధిని కనుగొనడం

1. 1 మీకు క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ ఇవ్వబడిందని నిర్ధారించుకోండి. చతుర్భుజ ఫంక్షన్ రూపాన్ని కలిగి ఉంది: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పారాబోలా, దీని శాఖలు పైకి లేదా క్రిందికి దర్శకత్వం వహించబడతాయి. చతురస్ర ఫంక్షన్ విలువలను కనుగొనడానికి వివిధ పద్ధతులు ఉన్నాయి.
   • రూట్ లేదా భిన్నం ఫంక్షన్ యొక్క పరిధిని కనుగొనడానికి సులభమైన మార్గం గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి ఆ ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయడం.
2. 2 ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షం యొక్క x- కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనండి. చతుర్భుజ ఫంక్షన్ విషయంలో, పారాబోలా యొక్క శీర్షం యొక్క x- కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనండి. చతుర్భుజ ఫంక్షన్ అంటే గుర్తుంచుకోండి: గొడ్డలి + bx + c. X- కోఆర్డినేట్‌ను లెక్కించడానికి, కింది సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి: x = -b / 2a. ఈ సమీకరణం ప్రాథమిక క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం మరియు ఒక టాంజెంట్‌ను వివరిస్తుంది, దీని వాలు సున్నా (పరబోలా యొక్క శీర్షానికి టాంజెంట్ X అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది).
   • ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ 3x + 6x -2 పరిధిని కనుగొనండి.
   • పరబోలా యొక్క శీర్షం యొక్క x- కోఆర్డినేట్‌ను లెక్కించండి: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షం యొక్క y- కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, కనుగొనబడిన కోఆర్డినేట్ "x" ని ఫంక్షన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. కోరిన కోఆర్డినేట్ "y" అనేది ఫంక్షన్ విలువల పరిధిని పరిమితం చేసే విలువ.
   • Y- కోఆర్డినేట్ లెక్కించండి: y = 3x + 6x -2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • ఈ ఫంక్షన్ యొక్క పరబోలా యొక్క శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు (-1, -5).
4. 4 ఫంక్షన్‌లో కనీసం ఒక x విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా పారాబోలా దిశను నిర్ణయించండి. ఏదైనా ఇతర y విలువను ఎంచుకోండి మరియు సంబంధిత y విలువను లెక్కించడానికి ఫంక్షన్‌లోకి ప్లగ్ చేయండి. కనుగొన్న విలువ "y" పరబోలా యొక్క శిఖరం యొక్క కోఆర్డినేట్ "y" కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు పరబోలా పైకి దర్శకత్వం వహించబడుతుంది. కనుగొన్న విలువ "y" పారాబోలా యొక్క శిఖరం యొక్క కోఆర్డినేట్ "y" కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు పరాబోలా క్రిందికి మళ్ళించబడుతుంది.
   • ఫంక్షన్‌లో x = -2 కి ప్రత్యామ్నాయం: y = 3x + 6x -2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) -2 = 12 -12 -2 = -2.
   • పరబోలాలోని పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు (-2, -2).
   • కనుగొన్న అక్షాంశాలు పారాబోలా శాఖలు పైకి దర్శకత్వం వహించాయని సూచిస్తున్నాయి. అందువలన, ఫంక్షన్ పరిధిలో -5 కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉండే అన్ని y విలువలు ఉంటాయి.
   • ఈ ఫంక్షన్ విలువల పరిధి: [-5, ∞)
5. 5 ఫంక్షన్ యొక్క విలువల శ్రేణి ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం పరిధి వలె వ్రాయబడుతుంది. ఫంక్షన్ పరిధిలో విలువ ఉన్నప్పుడు చదరపు బ్రాకెట్ ఉపయోగించబడుతుంది; విలువ పరిధిలో లేకపోతే, కుండలీకరణం ఉపయోగించబడుతుంది. ఫంక్షన్‌లో అనేక నిరంతర శ్రేణి విలువలు ఉంటే, వాటి మధ్య "U" గుర్తు ఉంచబడుతుంది.
   • ఉదాహరణకు, పరిధి [-2,10) U (10,2] విలువలు -2 మరియు 2 లను కలిగి ఉంటాయి, కానీ విలువ 10 ని కలిగి ఉండదు.
   • పేరెంటీస్ ఎల్లప్పుడూ అనంత చిహ్నంతో ఉపయోగించబడతాయి ∞.

పార్ట్ 3 ఆఫ్ 3: ఫంక్షన్ యొక్క పరిధిని దాని గ్రాఫ్ ఉపయోగించి కనుగొనడం

1. 1 ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేయండి. అనేక సందర్భాల్లో, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడం ద్వారా దాని విలువల పరిధిని కనుగొనడం సులభం. మూలాలతో ఉన్న అనేక ఫంక్షన్ల విలువల పరిధి (-∞, 0] లేదా [0, + ∞), ఎందుకంటే పారాబోలా యొక్క శీర్షం కుడివైపు లేదా ఎడమ వైపుకు దర్శకత్వం వహించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో. , పారాబొలా పెరుగుతుంటే "y" యొక్క అన్ని సానుకూల విలువలు లేదా పరబోలా తగ్గుతుంటే అన్ని ప్రతికూల y విలువలు ఈ శ్రేణిలో ఉంటాయి. పాక్షిక విధులు వాటి పరిధిని నిర్వచించే అసింప్ట్‌లను కలిగి ఉంటాయి.
   • మూలాలతో ఉన్న కొన్ని ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల యొక్క శీర్షాలు X- అక్షం పైన లేదా దిగువన ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, విలువల పరిధి పరబోలా శీర్షం యొక్క "y" కోఆర్డినేట్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఒక పారాబొలా యొక్క శిఖరం యొక్క కోఆర్డినేట్ "y" -4 (y = -4), మరియు పరబోలా పెరుగుతుంటే, విలువల పరిధి [-4, + ∞).
   • ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయడానికి సులభమైన మార్గం గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ లేదా ప్రత్యేక సాఫ్ట్‌వేర్‌ని ఉపయోగించడం.
   • మీకు గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ లేకపోతే, ఫంక్షన్‌లో బహుళ x విలువలను ప్లగ్ చేసి, సంబంధిత y విలువలను లెక్కించడం ద్వారా కఠినమైన గ్రాఫ్‌ను సృష్టించండి. గ్రాఫ్ ఆకృతి గురించి సాధారణ ఆలోచన పొందడానికి సమన్వయ విమానంలో కనుగొనబడిన పాయింట్లను ప్లాట్ చేయండి.
2. 2 ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్టాన్ని కనుగొనండి. మీరు ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేసినప్పుడు, ఫంక్షన్ కనీస విలువను కలిగి ఉన్న పాయింట్‌ను మీరు చూస్తారు.స్పష్టమైన కనిష్టం లేకపోతే, అది ఉనికిలో లేదు మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ -∞ కి వెళుతుంది.
   • ఫంక్షన్ యొక్క విలువల శ్రేణి లక్షణాల విలువలు మినహా "y" యొక్క అన్ని విలువలను కలిగి ఉంటుంది. తరచుగా, అటువంటి ఫంక్షన్ల విలువలు ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడతాయి: (-∞, 6) U (6, ∞).
3. 3 ఫంక్షన్ గరిష్టంగా నిర్ణయించండి. మీరు ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేసిన తర్వాత, ఫంక్షన్ గరిష్ట విలువను కలిగి ఉన్న పాయింట్‌ను మీరు చూస్తారు. స్పష్టమైన గరిష్టంగా లేనట్లయితే, అది ఉనికిలో లేదు, మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ + ∞ కి వెళుతుంది.
4. 4 ఫంక్షన్ యొక్క విలువల శ్రేణి ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం పరిధి వలె వ్రాయబడుతుంది. ఫంక్షన్ పరిధిలో విలువ ఉన్నప్పుడు చదరపు బ్రాకెట్ ఉపయోగించబడుతుంది; విలువ పరిధిలో లేకపోతే, కుండలీకరణం ఉపయోగించబడుతుంది. ఫంక్షన్‌లో అనేక నిరంతర శ్రేణి విలువలు ఉంటే, వాటి మధ్య "U" గుర్తు ఉంచబడుతుంది.
   • ఉదాహరణకు, పరిధి [-2,10) U (10,2] విలువలు -2 మరియు 2 లను కలిగి ఉంటాయి, కానీ విలువ 10 ని కలిగి ఉండదు.
   • పేరెంటీస్ ఎల్లప్పుడూ అనంత చిహ్నంతో ఉపయోగించబడతాయి ∞.