విషయము

• దశలు
• పద్ధతి 1 ఆఫ్ 3: పార్ట్ 1: ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ను నిర్ణయించడం
• పద్ధతి 2 లో 3: ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాలను లెక్కిస్తోంది
• విధానం 3 ఆఫ్ 3: పార్ట్ 3: ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ని కనుగొనండి
• చిట్కాలు

అవకలన కాలిక్యులస్‌లో, ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ అనేది వక్రరేఖపై ఉన్న ఒక బిందువు, దాని వక్రత సంకేతాన్ని మారుస్తుంది (ప్లస్ నుండి మైనస్ లేదా మైనస్ నుండి ప్లస్ వరకు). డేటాలో గణనీయమైన మార్పులను గుర్తించడానికి ఈ భావన మెకానికల్ ఇంజనీరింగ్, ఎకనామిక్స్ మరియు స్టాటిస్టిక్స్‌లో ఉపయోగించబడుతుంది.

దశలు

పద్ధతి 1 ఆఫ్ 3: పార్ట్ 1: ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ను నిర్ణయించడం

1. 1 పుటాకార ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం. ఒక పుటాకార ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఏదైనా తీగ మధ్యలో (రెండు పాయింట్లను కలిపే విభాగం) గ్రాఫ్ కింద లేదా దానిపై ఉంటుంది.
2. 2 కుంభాకార ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం. కుంభాకార ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఏదైనా తీగ మధ్యలో (రెండు పాయింట్లను కలిపే విభాగం) గ్రాఫ్ పైన లేదా దానిపై ఉంటుంది.
3. 3 ఫంక్షన్ యొక్క మూలాల నిర్ధారణ. ఫంక్షన్ యొక్క మూలం వై = 0 అనే వేరియబుల్ విలువ.
   • ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేస్తున్నప్పుడు, గ్రాఫ్‌లు x- అక్షాన్ని దాటిన పాయింట్‌లు మూలాలు.

పద్ధతి 2 లో 3: ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాలను లెక్కిస్తోంది

1. 1 ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం కనుగొనండి. పాఠ్యపుస్తకంలోని భేద నియమాలను చూడండి; మీరు మొదటి ఉత్పన్నాలను ఎలా తీసుకోవాలో నేర్చుకోవాలి, ఆపై మాత్రమే మరింత క్లిష్టమైన గణనలకు వెళ్లండి. మొదటి ఉత్పన్నాలు f '(x) గా నియమించబడ్డాయి. అక్షం ^ p + bx ^ (p - 1) + cx + d రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణల కోసం, మొదటి ఉత్పన్నం: apx ^ (p - 1) + b (p - 1) x ^ (p - 2) + c.
   • ఉదాహరణకు, f (x) = x ^ 3 + 2x -1 ఫంక్షన్ యొక్క విక్షేపణ పాయింట్లను కనుగొనండి. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం:
     
     f ′ (x) = (x ^ 3 + 2x - 1) ′ = (x ^ 3) ′ + (2x) ′ - (1) 3 = 3x ^ 2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. 2 ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నం కనుగొనండి. రెండవ ఉత్పన్నం అసలు ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పన్నం. రెండవ ఉత్పన్నం f ′ ′ (x) గా సూచించబడుతుంది.
   • పై ఉదాహరణలో, రెండవ ఉత్పన్నం:
     
     f ′ ′ (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
3. 3 రెండవ ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సెట్ చేయండి మరియు ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. ఫలితం ఆశించిన ఇన్ఫ్లేషన్ పాయింట్ అవుతుంది.
   • పై ఉదాహరణలో, మీ లెక్క ఇలా కనిపిస్తుంది:
     
     f ′ ′ (x) = 0
     6x = 0
     x = 0
4. 4 ఫంక్షన్ యొక్క మూడవ ఉత్పన్నం కనుగొనండి. మీ ఫలితం వాస్తవానికి ఒక విక్షేపణ పాయింట్ అని ధృవీకరించడానికి, మూడవ ఉత్పన్నం కనుగొనండి, ఇది అసలు ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పన్నం. మూడవ ఉత్పన్నం f ′ ′ ′ (x) గా సూచించబడుతుంది.
   • పై ఉదాహరణలో, మూడవ ఉత్పన్నం:
     
     f ′ ′ ′ (x) = (6x) ′ = 6

విధానం 3 ఆఫ్ 3: పార్ట్ 3: ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ని కనుగొనండి

1. 1 మూడవ ఉత్పన్నం చూడండి. విక్షేపణ బిందువును అంచనా వేయడానికి ప్రామాణిక నియమం ఏమిటంటే, మూడవ ఉత్పన్నం సున్నా కానట్లయితే (అంటే f ′ ′ ′ (x) ≠ 0), అప్పుడు విక్షేప బిందువు నిజమైన విక్షేపణ బిందువు. మూడవ ఉత్పన్నం చూడండి; అది సున్నా కాకపోతే, మీరు నిజమైన విక్షేపణ బిందువును కనుగొన్నారు.
   • పై ఉదాహరణలో, మూడవ ఉత్పన్నం 6 కాదు, 0 కాదు.కాబట్టి మీరు నిజమైన విక్షేపణ పాయింట్‌ను కనుగొన్నారు.
2. 2 ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. ఇన్ఫ్లేషన్ పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లు (x, f (x)) గా సూచించబడతాయి, ఇక్కడ x అనేది ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ వద్ద స్వతంత్ర వేరియబుల్ "x" విలువ, f (x) అనేది డిఫ్లెక్షన్ వద్ద డిపెండెంట్ వేరియబుల్ "y" విలువ పాయింట్
   • పై ఉదాహరణలో, రెండవ ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమానం చేసినప్పుడు, మీరు x = 0. అని కనుగొన్నారు, కాబట్టి, విక్షేపణ బిందువు యొక్క అక్షాంశాలను గుర్తించడానికి, f (0) ను కనుగొనండి. మీ లెక్క ఇలా కనిపిస్తుంది:
     
     f (0) = 0 ^ 3 + 2 × 0−1 = −1.
3. 3 ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను వ్రాయండి. విక్షేపణ పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లు కనుగొనబడిన x మరియు f (x) విలువలు.
   • పై ఉదాహరణలో, విక్షేపణ బిందువు అక్షాంశాల వద్ద ఉంటుంది (0, -1).

చిట్కాలు

• ఉచిత పదం (ప్రధాన సంఖ్య) యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం ఎల్లప్పుడూ సున్నా.