విషయము

• దశలు
• పద్ధతి 2 లో 1: కారకం
• పద్ధతి 2 లో 2: Y ని లెక్కించండి
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

హైపర్‌బోలా అసింప్టోట్స్ హైపర్‌బోలా మధ్యలో గుండా వెళ్లే సరళ రేఖలు. హైపర్‌బోలా అసింప్టోట్‌లను సమీపిస్తుంది, కానీ వాటిని ఎప్పుడూ దాటదు (లేదా తాకదు). అసింప్టోట్స్ యొక్క సమీకరణాలను కనుగొనడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి, ఇవి అసింప్టోట్స్ యొక్క భావనను అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు సహాయపడతాయి.

దశలు

పద్ధతి 2 లో 1: కారకం

1. 1 కానానికల్ హైపర్‌బోల్ సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. సరళమైన ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం - హైపర్‌బోలా, దీని కేంద్రం మూలం వద్ద ఉంది. ఈ సందర్భంలో, కానానికల్ హైపర్‌బోలా సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: /_a - /_బి = 1 (హైపర్‌బోలా యొక్క కొమ్మలు కుడివైపు లేదా ఎడమ వైపుకు మళ్ళించబడినప్పుడు) లేదా /_బి - /_a = 1 (హైపర్‌బోలా యొక్క శాఖలు పైకి లేదా క్రిందికి దర్శకత్వం వహించినప్పుడు). ఈ సమీకరణంలో, "x" మరియు "y" వేరియబుల్స్ మరియు "a" మరియు "b" స్థిరాంకాలు (అంటే సంఖ్యలు) అని గుర్తుంచుకోండి.
   • ఉదాహరణ 1:/₉ - /₁₆ = 1
   • కొంతమంది ఉపాధ్యాయులు మరియు పాఠ్యపుస్తక రచయితలు స్థిరమైన "a" మరియు "b" లను మార్చుకుంటారు. అందువల్ల, ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని అధ్యయనం చేయండి. కేవలం సమీకరణాన్ని గుర్తుంచుకోవద్దు - ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్స్ మరియు / లేదా స్థిరాంకాలు ఇతర చిహ్నాల ద్వారా సూచించబడితే మీకు ఏమీ అర్థం కాదు.
2. 2 కానానికల్ సమీకరణాన్ని సున్నాకి సెట్ చేయండి (ఒకటి కాదు). కొత్త సమీకరణం రెండు లక్షణాల గురించి వివరిస్తుంది, కానీ ప్రతి అసింప్టోట్ కోసం సమీకరణాన్ని పొందడానికి కొంత ప్రయత్నం అవసరం.
   • ఉదాహరణ 1:/₉ - /₁₆ = 0
3. 3 కొత్త సమీకరణానికి కారకం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు కారకం. చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని ఎలా గుర్తించాలో గుర్తుంచుకోండి మరియు చదవండి.
   • తుది సమీకరణం (అంటే, కారకమైన సమీకరణం) (__ ± __) (__ ± __) = 0.
   • మొదటి పదాలను (ప్రతి జత కుండలీకరణాల లోపల) గుణిస్తున్నప్పుడు, మీరు ఈ పదాన్ని పొందాలి /₉, కాబట్టి ఈ సభ్యుని నుండి వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించండి మరియు ప్రతి జత కుండలీకరణాల లోపల మొదటి ఖాళీకి బదులుగా ఫలితాన్ని వ్రాయండి: (/₃ ± __)(/₃ ± __) = 0
   • అదేవిధంగా, పదం యొక్క వర్గమూలాన్ని సేకరించండి /₁₆, మరియు ప్రతి జత కుండలీకరణాల లోపల రెండవ ఖాళీకి బదులుగా ఫలితాన్ని వ్రాయండి: (/₃ ± /₄)(/₃ ± /₄) = 0
   • మీరు సమీకరణంలోని అన్ని నిబంధనలను కనుగొన్నారు, కాబట్టి నిబంధనల మధ్య ఒక జత కుండలీకరణాల లోపల ప్లస్ గుర్తును వ్రాయండి, మరియు రెండవది - ఒక మైనస్ గుర్తు, తద్వారా గుణించేటప్పుడు, సంబంధిత నిబంధనలు రద్దు చేయబడతాయి: (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0
4. 4 ప్రతి ద్విపదను (అంటే, ప్రతి జత కుండలీకరణాలలో వ్యక్తీకరణ) సున్నాకి సెట్ చేసి, "y" ని లెక్కించండి. ఇది ప్రతి లక్షణాన్ని వివరించే రెండు సమీకరణాలను కనుగొంటుంది.
   • ఉదాహరణ 1: (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0, అప్పుడు /₃ + /₄ = 0 మరియు /₃ - /₄ = 0
   • సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా మళ్లీ వ్రాయండి: /₃ + /₄ = 0 → /₄ = - /₃ → y = - /₃
   • సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా మళ్లీ వ్రాయండి: /₃ - /₄ = 0 → - /₄ = - /₃ → y = /₃
5. 5 వివరించిన చర్యలను హైపర్‌బోలాతో జరుపుము, దీని సమీకరణం నియమావళికి భిన్నంగా ఉంటుంది. మునుపటి దశలో, మూలం వద్ద కేంద్రీకృతమైన హైపర్‌బోలా యొక్క లక్షణాల కోసం సమీకరణాలను మీరు కనుగొన్నారు. హైపర్‌బోలా యొక్క కేంద్రం కోఆర్డినేట్‌లతో (h, k) ఒక పాయింట్ వద్ద ఉంటే, అది క్రింది సమీకరణం ద్వారా వర్ణించబడింది: /_a - /_బి = 1 లేదా /_బి - /_a = 1. ఈ సమీకరణాన్ని కూడా కారకం చేయవచ్చు. కానీ ఈ సందర్భంలో, మీరు చివరి దశకు వచ్చే వరకు ద్విపదలు (x - h) మరియు (y - k) లను తాకవద్దు.
   • ఉదాహరణ 2: /₄ - /₂₅ = 1
   • ఈ సమీకరణాన్ని 0 కి సెట్ చేయండి మరియు కారకం:
   • (/₂ + /₅)(/₂ - /₅) = 0
   • ప్రతి ద్విపదను (అంటే, ప్రతి కుండలీకరణాల లోపల వ్యక్తీకరణ) సున్నాకి సమానం చేసి, లక్షణాల కోసం సమీకరణాలను కనుగొనడానికి "y" ను లెక్కించండి:
   • /₂ + /₅ = 0 → y = - /₂x + /₂
   • (/₂ - /₅) = 0 → y = /₂x - /₂

పద్ధతి 2 లో 2: Y ని లెక్కించండి

1. 1 హైపర్‌బోలా సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున y పదాన్ని వేరు చేయండి. హైపర్‌బోలా సమీకరణం చతురస్ర రూపంలో ఉన్నప్పుడు ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. కానానికల్ హైపర్‌బోలా సమీకరణం ఇచ్చినప్పటికీ, ఈ పద్ధతి అసింప్టోట్స్ భావనను బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు y లేదా (y - k) ని ఇన్సులేట్ చేయండి.
   • ఉదాహరణ 3:/₁₆ - /₄ = 1
   • సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా x జోడించండి, ఆపై రెండు వైపులా 16 ద్వారా గుణించండి:
   • (y + 2) = 16 (1 + /₄)
   • ఫలిత సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయండి:
   • (y + 2) = 16 + 4 (x + 3)
2. 2 సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపు స్క్వేర్ రూట్ తీసుకోండి. అయితే, సమీకరణం యొక్క కుడి వైపును అతిగా సరళీకరించవద్దు, ఎందుకంటే మీరు వర్గమూలాన్ని సేకరించినప్పుడు, మీరు రెండు ఫలితాలను పొందుతారు -పాజిటివ్ మరియు నెగటివ్ (ఉదాహరణకు, -2 * -2 = 4, కాబట్టి √4 = 2 మరియు √4 = -2). రెండు ఫలితాలను జాబితా చేయడానికి, ± చిహ్నాన్ని ఉపయోగించండి.
   • √ ((y + 2)) = √ (16 + 4 (x + 3))
   • (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3))
3. 3 అసింప్టోట్స్ భావనను అర్థం చేసుకోండి. తదుపరి దశకు వెళ్లే ముందు ఇలా చేయండి. అసింప్టోట్ అనేది సరళ రేఖ, దీనిలో హైపర్‌బోలా "x" విలువలను పెంచుతుంది.హైపర్‌బోలా ఎప్పటికీ అసింప్టోట్‌ను దాటదు, కానీ "x" పెరగడంతో హైపర్‌బోలా అనంతమైన చిన్న దూరంలో అసింప్టోట్‌ను చేరుకుంటుంది.
4. 4 పెద్ద x విలువల కోసం సమీకరణాన్ని ఖాతాలోకి మార్చండి. నియమం ప్రకారం, అసింప్టోట్స్ సమీకరణాలతో పనిచేసేటప్పుడు, "x" యొక్క పెద్ద విలువలు మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకోబడతాయి (అనగా, అనంతం ఉండే విలువలు). అందువల్ల, సమీకరణంలో కొన్ని స్థిరాంకాలను నిర్లక్ష్యం చేయవచ్చు, ఎందుకంటే వాటి సహకారం "x" తో పోలిస్తే చిన్నది. ఉదాహరణకు, "x" వేరియబుల్ అనేక బిలియన్‌లకు సమానమైతే, సంఖ్య (స్థిరమైన) 3 ని జోడించడం వలన "x" విలువపై అతితక్కువ ప్రభావం ఉంటుంది.
   • సమీకరణంలో (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3)) “x” అనంతంగా ఉంటుంది, స్థిరమైన 16 ని నిర్లక్ష్యం చేయవచ్చు.
   • "X" (y + 2) values ​​± √ (4 (x + 3)) యొక్క పెద్ద విలువలకు
5. 5 అసింప్టోట్స్ కోసం సమీకరణాలను కనుగొనడానికి y ని లెక్కించండి. స్థిరాంకాలను వదిలించుకోవడం ద్వారా, మీరు రాడికల్ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయవచ్చు. మీ సమాధానంలో మీరు రెండు సమీకరణాలను వ్రాయవలసి ఉందని గుర్తుంచుకోండి - ఒకటి ప్లస్ గుర్తుతో మరియు మరొకటి మైనస్ గుర్తుతో.
   • y + 2 = √ √ (4 (x + 3) ^ 2)
   • y + 2 = ± 2 (x + 3)
   • y + 2 = 2x + 6 మరియు y + 2 = -2x - 6
   • y = 2x + 4మరియుy = -2x - 8

చిట్కాలు

• హైపర్‌బోలా యొక్క సమీకరణం మరియు దాని లక్షణాల సమీకరణాలు ఎల్లప్పుడూ స్థిరాంకాలు (స్థిరాంకాలు) కలిగి ఉంటాయని గుర్తుంచుకోండి.
• ఒక సమబాహు హైపర్‌బోలా అనేది ఒక = b = c (స్థిరమైన) సమీకరణంలోని హైపర్‌బోలా.
• ఒక సమబాహు హైపర్‌బోలా సమీకరణం ఇవ్వబడితే, మొదట దానిని కానానికల్ రూపంలోకి మార్చండి మరియు తరువాత అసింప్టోట్స్ కోసం సమీకరణాలను కనుగొనండి.

హెచ్చరికలు

• సమాధానం ఎల్లప్పుడూ కానానికల్ రూపంలో వ్రాయబడదని గుర్తుంచుకోండి.