విషయము

• ప్రాథమిక సమాచారం
• దశలు
• పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: ది బేసిక్స్
• పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ యొక్క లక్షణాలు
• పార్ట్ 3 ఆఫ్ 3: సిరీస్ విస్తరణ ద్వారా ల్యాప్‌లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్‌ను కనుగొనడం

లాప్లేస్ పరివర్తన అనేది ఒక సమగ్ర పరివర్తన, ఇది స్థిరమైన గుణకాలతో అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ పరివర్తన భౌతిక శాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్‌లో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

మీరు తగిన పట్టికలను ఉపయోగించగలిగినప్పటికీ, ల్యాప్‌లేస్ పరివర్తనను అర్థం చేసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, తద్వారా అవసరమైతే మీరే చేయగలరు.

ప్రాథమిక సమాచారం

• ఒక ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ f (t)}$కోసం నిర్వచించబడింది ${ displaystyle t geq 0.}$ అప్పుడు లాప్లేస్ పరివర్తన ఫంక్షన్ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ f (t)}$ ప్రతి విలువ యొక్క తదుపరి ఫంక్షన్ ${ displaystyle s}$, దీనిలో సమగ్రత కలుస్తుంది:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• లాప్లేస్ పరివర్తన t- ప్రాంతం (సమయ స్థాయి) నుండి s- ప్రాంతానికి (పరివర్తన ప్రాంతం) ఒక ఫంక్షన్‌ను తీసుకుంటుంది, ఇక్కడ ${ displaystyle F (లు)}$ సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క సంక్లిష్ట ఫంక్షన్. ఫంక్షన్‌ను మరింత సులువుగా కనుగొనగలిగే ప్రాంతానికి తరలించడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
• సహజంగానే, లాప్‌లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ఒక లీనియర్ ఆపరేటర్, కాబట్టి మనం నిబంధనల మొత్తంతో వ్యవహరిస్తుంటే, ప్రతి సమగ్రతను విడిగా లెక్కించవచ్చు.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• ల్యాప్‌లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ఇంటిగ్రల్ కలిస్తే మాత్రమే పనిచేస్తుందని గుర్తుంచుకోండి. ఫంక్షన్ ఉంటే ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ f (t)}$ నిలిపివేతలను కలిగి ఉంది, అనిశ్చితిని నివారించడానికి జాగ్రత్తగా ఉండటం మరియు ఇంటిగ్రేషన్ పరిమితులను సరిగ్గా సెట్ చేయడం అవసరం.

దశలు

పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: ది బేసిక్స్

1. 1 లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ఫార్ములాలో ఫంక్షన్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. సిద్ధాంతపరంగా, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తనను లెక్కించడం చాలా సులభం. ఉదాహరణగా, ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, ఎక్కడ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ తో సంక్లిష్ట స్థిరాంకం ${ displaystyle operatorname {Re} (లు) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 అందుబాటులో ఉన్న పద్ధతులను ఉపయోగించి సమగ్రతను అంచనా వేయండి. మా ఉదాహరణలో, అంచనా చాలా సులభం మరియు మీరు సాధారణ లెక్కల ద్వారా పొందవచ్చు. మరింత సంక్లిష్ట సందర్భాలలో, మరింత క్లిష్టమైన పద్ధతులు అవసరమవుతాయి, ఉదాహరణకు, భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ లేదా సమగ్ర చిహ్నం క్రింద భేదం. నిర్బంధ పరిస్థితి ${ displaystyle operatorname {Re} (లు) operatorname {Re} (a)}$ అంతర్భాగం కలుస్తుంది అంటే, దాని విలువ 0 గా ఉంటుంది ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { ప్రారంభం {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {aligned}}}$
   • యూలర్ సూత్రం ప్రకారం ఇది మాకు సైన్ మరియు కొసైన్‌తో రెండు రకాల లాప్‌లేస్ పరివర్తనను అందిస్తుందని గమనించండి. ${ displaystyle e ^ {iat}}$... ఈ సందర్భంలో, హారం లో మనకు లభిస్తుంది ${ displaystyle s-ia,}$ మరియు ఇది నిజమైన మరియు ఊహాత్మక భాగాలను గుర్తించడానికి మాత్రమే మిగిలి ఉంది. మీరు నేరుగా ఫలితాన్ని కూడా విశ్లేషించవచ్చు, కానీ దీనికి కొంచెం ఎక్కువ సమయం పడుతుంది.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin వద్ద } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తనను పరిగణించండి. ముందుగా, మీరు పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క పరివర్తనను నిర్వచించాల్సి ఉంటుంది, ఎందుకంటే సరళత ఆస్తి మీరు పరివర్తనను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది అన్నిటిలోకి, అన్నిటికంటే బహుపదాలు. ఫారం యొక్క ఫంక్షన్ ${ displaystyle t ^ {n},}$ ఎక్కడ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ n}$ - ఏదైనా పాజిటివ్ పూర్ణాంకం. పునరావృత నియమాన్ని నిర్వచించడానికి ముక్కలు ముక్కలుగా ఇంటిగ్రేట్ చేయవచ్చు.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • ఈ ఫలితం అవ్యక్తంగా వ్యక్తీకరించబడింది, కానీ మీరు అనేక విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ n,}$ మీరు ఒక నిర్దిష్ట నమూనాను ఏర్పాటు చేసుకోవచ్చు (మీరే చేయడానికి ప్రయత్నించండి), ఇది కింది ఫలితాన్ని పొందడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • మీరు గామా ఫంక్షన్‌ను ఉపయోగించి పాక్షిక శక్తుల లాప్లేస్ పరివర్తనను కూడా నిర్వచించవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఈ విధంగా మీరు ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పరివర్తనను కనుగొనవచ్చు ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • పాక్షిక శక్తులు కలిగిన ఫంక్షన్లకు కోతలు ఉండాలి (గుర్తుంచుకోండి, ఏదైనా సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ z}$ మరియు ${ displaystyle alpha}$ గా వ్రాయవచ్చు ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, ఎందుకంటే ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), అవి ఎల్లప్పుడూ అర్ధ సగం విమానంలో కోతలు ఉండే విధంగా నిర్వచించబడతాయి, అందువలన విశ్లేషణాత్మకతతో సమస్యలను నివారించవచ్చు.

పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ యొక్క లక్షణాలు

1. 1 ఫంక్షన్ యొక్క గుణకారం ద్వారా లాప్లేస్ పరివర్తనను గుణించి చూద్దాం ఇat{ displaystyle e ^ {at}}. మునుపటి విభాగంలో పొందిన ఫలితాలు లాప్లేస్ పరివర్తన యొక్క కొన్ని ఆసక్తికరమైన లక్షణాలను తెలుసుకోవడానికి మాకు అనుమతి ఇచ్చాయి. కొసైన్, సైన్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ వంటి లాప్‌లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ పవర్ ఫంక్షన్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ కంటే సరళంగా కనిపిస్తుంది. ద్వారా గుణకారం ${ displaystyle e ^ {at}}$ t- ప్రాంతంలో అనుగుణంగా ఉంటుంది మార్పు s- ప్రాంతంలో:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • ఈ ఆస్తి వంటి ఫంక్షన్ల పరివర్తనను కనుగొనడానికి వెంటనే మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, సమగ్రతను లెక్కించకుండా:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 ఫంక్షన్ యొక్క గుణకారం ద్వారా లాప్లేస్ పరివర్తనను గుణించి చూద్దాం tఎన్{ displaystyle t ^ {n}}. ముందుగా, గుణకారం ద్వారా పరిగణించండి ${ displaystyle t}$... నిర్వచనం ప్రకారం, ఒక సమగ్రత కింద ఒక ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయవచ్చు మరియు ఆశ్చర్యకరంగా సాధారణ ఫలితాన్ని పొందవచ్చు:
   • ${ displaystyle { ప్రారంభం {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} ముగింపు {aligned}}}$
   • ఈ ఆపరేషన్‌ను పునరావృతం చేయడం ద్వారా, మేము తుది ఫలితాన్ని పొందుతాము:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} లు ^ {n}}}}$
   • ఏకీకరణ మరియు భేదం యొక్క నిర్వాహకుల పునర్వ్యవస్థీకరణకు కొంత అదనపు సమర్థన అవసరం అయినప్పటికీ, మేము దానిని ఇక్కడ ప్రదర్శించము, కానీ తుది ఫలితం అర్ధమైతే ఈ ఆపరేషన్ సరైనదని మాత్రమే గమనించండి. వేరియబుల్స్ అనే వాస్తవాన్ని కూడా మీరు పరిగణనలోకి తీసుకోవచ్చు ${ displaystyle s}$ మరియు ${ displaystyle t}$ ఒకరిపై ఒకరు ఆధారపడరు.
   • ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి, వంటి ఫంక్షన్ల పరివర్తనను కనుగొనడం సులభం ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, భాగాల ద్వారా తిరిగి ఏకీకరణ లేకుండా:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 ఫంక్షన్ యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తనను కనుగొనండి f(at){ ప్రదర్శన శైలి f (వద్ద)}. రూపాంతరం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి వేరియబుల్‌ను u తో భర్తీ చేయడం ద్వారా దీన్ని సులభంగా చేయవచ్చు:
   • ${ displaystyle { ప్రారంభం {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = వద్ద & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F ఎడమ ({ frac {s} {a}} కుడి) ముగింపు {aligned}}}$
   • పైన, లాప్లేస్ ఫంక్షన్ల పరివర్తనను మేము కనుగొన్నాము ${ displaystyle sin at}$ మరియు ${ displaystyle cos at}$ ఘాతాంక ఫంక్షన్ నుండి నేరుగా. ఈ ఆస్తిని ఉపయోగించి, మీరు నిజమైన మరియు ఊహాత్మక భాగాలను కనుగొంటే అదే ఫలితాన్ని పొందవచ్చు ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 ఉత్పన్నం యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తనను కనుగొనండి f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. మునుపటి ఉదాహరణలు కాకుండా, ఈ సందర్భంలో ఉండాలి ముక్క ముక్కగా ఇంటిగ్రేట్ చేయండి:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} { infty} f ^ { prime} (t ) ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} పెద్ద _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (లు) -f (0) ముగింపు {aligned}}}$
   • రెండవ ఉత్పన్నం అనేక భౌతిక సమస్యలలో సంభవించినందున, దాని కోసం లాప్లేస్ పరివర్తనను కూడా మేము కనుగొన్నాము:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (లు) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • సాధారణ సందర్భంలో, nth క్రమం ఉత్పన్నం యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తన క్రింది విధంగా నిర్వచించబడింది (ఇది లాప్లేస్ పరివర్తనను ఉపయోగించి అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అనుమతిస్తుంది):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (లు) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} లు ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

పార్ట్ 3 ఆఫ్ 3: సిరీస్ విస్తరణ ద్వారా ల్యాప్‌లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్‌ను కనుగొనడం

1. 1 ఆవర్తన ఫంక్షన్ కోసం లాప్లేస్ పరివర్తనను కనుగొందాం. ఆవర్తన ఫంక్షన్ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరుస్తుంది ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ ఎక్కడ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ T}$ ఫంక్షన్ యొక్క కాలం, మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ n}$ సానుకూల పూర్ణాంకం. సిగ్నల్ ప్రాసెసింగ్ మరియు ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్‌తో సహా అనేక అనువర్తనాలలో ఆవర్తన విధులు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి. సాధారణ పరివర్తనలను ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది ఫలితాన్ని పొందుతాము:
   • ${ displaystyle { ప్రారంభం {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { సమలేఖనం చేయబడింది}}}$
   • మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒక ఆవర్తన ఫంక్షన్ విషయంలో, ఒక కాలానికి లాప్లేస్ పరివర్తన చేయడం సరిపోతుంది.
2. 2 సహజ లాగరిథమ్ కోసం లాప్లేస్ పరివర్తన చేయండి. ఈ సందర్భంలో, సమగ్రతను ప్రాథమిక విధుల రూపంలో వ్యక్తపరచలేము. గామా ఫంక్షన్ మరియు దాని శ్రేణి విస్తరణను ఉపయోగించడం వలన సహజ లాగరిథమ్ మరియు దాని డిగ్రీలను అంచనా వేయవచ్చు. యూలర్-మస్చెరోని స్థిరాంకం ఉనికి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ గామా}$ ఈ సమగ్రతను అంచనా వేయడానికి, సిరీస్ విస్తరణను ఉపయోగించడం అవసరం అని చూపిస్తుంది.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 అసాధారణమైన సింక్ ఫంక్షన్ యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తనను పరిగణించండి. ఫంక్షన్ ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ సిగ్నల్ ప్రాసెసింగ్ కోసం విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది, అవకలన సమీకరణాలలో ఇది మొదటి రకం మరియు జీరో ఆర్డర్ యొక్క గోళాకార బెస్సెల్ ఫంక్షన్‌తో సమానం ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ j_ {0} (x).}$ ఈ ఫంక్షన్ యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తన కూడా ప్రామాణిక పద్ధతుల ద్వారా లెక్కించబడదు. ఈ సందర్భంలో, సిరీస్ యొక్క వ్యక్తిగత సభ్యుల పరివర్తన, ఇవి పవర్ ఫంక్షన్‌లు, కాబట్టి వాటి పరివర్తనాలు తప్పనిసరిగా ఇచ్చిన విరామంలో కలుస్తాయి.
   • ముందుగా, మేము టేలర్ సిరీస్‌లో ఫంక్షన్ విస్తరణను వ్రాస్తాము:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • ఇప్పుడు మేము పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఇప్పటికే తెలిసిన లాప్లేస్ పరివర్తనను ఉపయోగిస్తాము. కారకాలు రద్దు చేయబడ్డాయి మరియు ఫలితంగా మేము ఆర్క్టాంజెంట్ కోసం టేలర్ విస్తరణను పొందుతాము, అనగా సైన్ కోసం టేలర్ సిరీస్‌ను పోలి ఉండే ఒక ప్రత్యామ్నాయ సిరీస్, కానీ కారకాలు లేకుండా:
     • ${ displaystyle { ప్రారంభం {aligned} { mathcal {L}} ఎడమ {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = టాన్ ^ {- 1} { frac {1} {s}} ముగింపు {aligned}}}$