విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• చిట్కాలు

గ్రాఫ్ వలె చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని చూడండి గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి , ఇది కూడా వ్రాయబడింది a (x - h) + k, U- ఆకారంలో మృదువైన వక్రత వలె కనిపిస్తుంది. మేము దీనిని పిలుస్తాము పారాబోలా. చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని గ్రాఫింగ్ చేయడం అంటే శీర్షం, దిశ మరియు తరచుగా ఖండన బిందువులను x- అక్షం మరియు y- అక్షంతో కనుగొనడం. సాపేక్షంగా సరళమైన చతురస్రాకార సమీకరణం విషయంలో, కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థలో ఈ పాయింట్లను సూచించడానికి x కోసం అనేక విలువలను నమోదు చేయడం కూడా సరిపోతుంది, ఆ తరువాత పారాబొలాను గీయవచ్చు. ప్రారంభించడానికి దశ 1 కి కొనసాగండి.

అడుగు పెట్టడానికి

1. మీకు ఏ రకమైన రెండవ-డిగ్రీ సమీకరణం ఉందో నిర్ణయించండి. దీనిని రెండు విధాలుగా వ్రాయవచ్చు: ప్రామాణిక సంజ్ఞామానం మరియు శీర్ష సంజ్ఞామానం (వర్గమూల సూత్రాన్ని వ్రాయడానికి మరొక మార్గం). చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్‌ను సృష్టించడానికి మీరు రెండింటినీ ఉపయోగించవచ్చు, కానీ ప్రతి సందర్భంలోనూ ప్రక్రియ కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. ఎక్కువ సమయం మీరు ప్రామాణిక ఆకారాన్ని ఎదుర్కొంటారు, కానీ రెండు ఆకృతులను ఉపయోగించడం నేర్చుకోవడం ఖచ్చితంగా బాధించదు. వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు రూపాలు:
   • ప్రామాణిక ఆకారం. చతురస్రాకార సమీకరణం ఇలా గుర్తించబడింది: f (x) = గొడ్డలి + bx + c ఇక్కడ a, b, మరియు c వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు a సున్నాకి సమానం కాదు.
     • ప్రామాణిక చతురస్రాకార సమీకరణాల యొక్క రెండు ఉదాహరణలు: f (x) = x + 2x + 1 మరియు f (x) = 9x + 10x -8.
   • శీర్ష ఆకారం. చతురస్రాకార సమీకరణం ఇలా గుర్తించబడింది: f (x) = a (x - h) + k ఇక్కడ a, h మరియు k వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు a సున్నాకి సమానం కాదు. ఈ ఆకారాన్ని వెర్టెక్స్ అని పిలుస్తారు ఎందుకంటే h మరియు k నేరుగా మీ పారాబొలా పైభాగంలో (h, k) సూచిస్తాయి.
     • శీర్ష రూప సమీకరణాల యొక్క రెండు ఉదాహరణలు f (x) = 9 (x - 4) + 18 మరియు -3 (x - 5) + 1
   • ఈ సమీకరణాల గ్రాఫ్ చేయడానికి, మేము మొదట గ్రాఫ్ యొక్క ఎగువ (h, k) ని నిర్ణయిస్తాము. ప్రామాణిక సమీకరణంలో మీరు దీనిని దీని ద్వారా కనుగొంటారు: h = -b / 2a మరియు k = f (h), అయితే ఇది ఇప్పటికే శీర్ష రూపంలో ఇవ్వబడింది ఎందుకంటే h మరియు k సమీకరణంలో సంభవిస్తుంది.
2. మీ వేరియబుల్స్ నిర్ణయించండి. చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సాధారణంగా a, b, మరియు c (లేదా a, h, మరియు k) వేరియబుల్స్ నిర్ణయించడం అవసరం. సాధారణ వ్యాయామం మీకు ప్రామాణిక రూపంలో రెండవ డిగ్రీ సమీకరణాన్ని ఇస్తుంది, కానీ శీర్ష సంజ్ఞామానం కూడా సంభవించవచ్చు.
   • ఉదాహరణకు: ప్రామాణిక ఫంక్షన్ f (x) = 2x + 16x + 39. ఇక్కడ మనకు a = 2, b = 16 మరియు c = 39 ఉన్నాయి.
   • శీర్ష సంజ్ఞామానంలో: f (x) = 4 (x - 5) + 12. ఇక్కడ మనకు a = 4, h = 5, మరియు k = 12 ఉన్నాయి.
3. H లెక్కించండి. శీర్ష సంజ్ఞామానం లో, h యొక్క విలువ ఇప్పటికే ఇవ్వబడింది, కాని ప్రామాణిక సంజ్ఞామానం లో ఈ విలువ ఇంకా లెక్కించబడలేదు. ప్రామాణిక సమీకరణంతో గుర్తుంచుకోండి: h = -b / 2a.
   • ఉదాహరణ 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). దీనిని పరిష్కరించడం ద్వారా మనం h = చూస్తాము -4.
   • ఉదాహరణ 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), మేము వెంటనే h = 5 ను చూస్తాము.
4. K లెక్కించండి. H మాదిరిగా, k ఇప్పటికే శీర్ష రూప సమీకరణాల నుండి తెలుసు. ప్రామాణిక సంజ్ఞామానంలో సమీకరణాల కోసం, k = f (h) అని గుర్తుంచుకోండి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మీరు ఏదైనా వేరియబుల్ x ను h విలువతో భర్తీ చేయడం ద్వారా k ని కనుగొనవచ్చు.
   • ఉదాహరణకు h = -4 అని 1 చూశాము. K ని కనుగొనడానికి, x యొక్క వేరియబుల్ కొరకు, సమీకరణంలో h యొక్క ఈ విలువను నింపడం ద్వారా మేము ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము.
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • ఉదాహరణ 2 నుండి, k యొక్క విలువ 12 కు సమానం అని మనకు తెలుసు, ఎటువంటి గణన అవసరం లేకుండా.
5. గ్రాఫ్ ఎగువ లేదా దిగువ గీయండి. మీ పారాబోలా యొక్క శిఖరం లేదా లోయ పాయింట్ (h, k) - h అంటే x కోఆర్డినేట్ మరియు k అంటే y కోఆర్డినేట్. శీర్షం మీ పారాబొలాకు కేంద్రం - "U" రూపంలో లేదా దీనికి విరుద్ధంగా గ్రాఫ్ యొక్క ఎత్తైన లేదా అత్యల్ప స్థానం, శీర్షం లేదా లోయ.పారాబొలా యొక్క పైభాగాన్ని గుర్తించగలగడం సరైన గ్రాఫ్‌ను గీయడంలో ముఖ్యమైన భాగం - తరచూ పారాబొలా యొక్క పైభాగాన్ని నిర్ణయించడం పాఠశాలలో గణిత సమస్యలో భాగం.
   • ఉదాహరణ 1 లో, గ్రాఫ్ పైభాగం (-4.7). మీ గ్రాఫ్‌లో పాయింట్‌ను గీయండి మరియు మీరు కోఆర్డినేట్‌లకు సరిగ్గా పేరు పెట్టారని నిర్ధారించుకోండి.
   • ఉదాహరణ 2 లో, పైభాగం (5.12). కాబట్టి పాయింట్ (0,0) నుండి మీరు 5 ప్రదేశాలను కుడి వైపుకు వెళ్లి, ఆపై 12 పైకి వెళ్లండి.
6. అవసరమైతే, పారాబొలా యొక్క సమరూప అక్షాన్ని గీయండి. పారాబొలా యొక్క సమరూప అక్షం మధ్యలో ఉన్న బొమ్మను కలుస్తుంది, దానిని సరిగ్గా సగానికి విభజిస్తుంది. గ్రాఫ్ యొక్క ఒక వైపు గ్రాఫ్ యొక్క మరొక వైపున ఈ రేఖ వెంట ప్రతిబింబిస్తుంది. గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి లేదా ఎ (ఎక్స్ - హెచ్) + కె యొక్క చతురస్రాకార సమీకరణాలలో, ఈ అక్షం పారాబొలా యొక్క శిఖరం గుండా వెళుతున్న y అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణ 1 విషయంలో, సమరూపత యొక్క అక్షం y అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు పాయింట్ (-4,7) గుండా వెళుతుంది. ఇది పారాబొలాలో భాగం కానప్పటికీ, ఈ మార్గదర్శకాన్ని తేలికగా హైలైట్ చేయడం వల్ల పారాబొలా వక్రత ఎంత సుష్టమో మీకు తెలుస్తుంది.
7. పారాబొలా యొక్క దిశను నిర్ణయించండి. పారాబొలా యొక్క పైభాగం ఏమిటో మీరు కనుగొన్న తర్వాత, మీరు ఒక పర్వతం లేదా లోయ పారాబొలాతో వ్యవహరిస్తున్నారా అని తెలుసుకోవడం అవసరం, అనగా ఓపెనింగ్ దిగువన లేదా పైభాగంలో ఉందా అని తెలుసుకోవాలి. అదృష్టవశాత్తూ, ఇది చాలా సులభం. "A" సానుకూలంగా ఉంటే, మీరు లోయ పారాబొలాతో వ్యవహరిస్తున్నారు; "a" ప్రతికూలంగా ఉంటే అది పర్వత పారాబొలా (దిగువన ప్రారంభంతో)
   • ఉదాహరణ 1 లో మేము (f (x) = 2x + 16x + 39) ఫంక్షన్‌తో వ్యవహరిస్తున్నాము, కాబట్టి ఇది లోయ పారాబొలా, ఎందుకంటే a = 2 (పాజిటివ్).
   • ఉదాహరణ 2 లో మేము f (x) = 4 (x - 5) + 12) ఫంక్షన్‌తో వ్యవహరిస్తున్నాము మరియు ఇది కూడా ఒక లోయ పారాబొలా ఎందుకంటే a = 4 (పాజిటివ్).
8. అవసరమైతే పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువులను నిర్ణయించండి. పారాబొలా యొక్క ఖండనలను x- అక్షంతో ఇవ్వమని గణిత సమస్య అడిగినప్పుడు (ఇవి "సున్నా", a లేదా రెండు పారాబొలా x అక్షంతో కలుస్తుంది లేదా తాకిన పాయింట్లు). అభ్యర్థించకపోయినా, ఖచ్చితమైన గ్రాఫ్‌ను గీయడానికి ఈ పాయింట్లు చాలా ముఖ్యమైనవి. కానీ అన్ని పారాబొలాస్ x- అక్షంతో ఖండన కలిగి ఉండవు. మీరు ఒక లోయ పారాబొలాతో వ్యవహరిస్తుంటే మరియు లోయ బిందువు x- అక్షం పైన లేదా, పర్వత పారాబొలా విషయంలో, x- అక్షానికి కొంచెం దిగువన ఉంటే, అప్పుడు ఖండన బిందువులు కనుగొనబడవు. అలా అయితే, కింది పద్ధతుల్లో ఒకదాన్ని ఉపయోగించండి:
   • ఆ f (x) = 0 ని నిర్ణయించి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. ఈ పద్ధతి సాధారణ చతురస్రాకార సమీకరణాల కోసం, ముఖ్యంగా శీర్ష రూపంలో పనిచేయవచ్చు, కానీ విధులు మరింత క్లిష్టంగా మారడంతో ఇది చాలా కష్టమవుతుందని మీరు కనుగొంటారు. క్రింద కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 మరియు 13 పారాబొలా యొక్క x- అక్షంతో ఖండన బిందువులు.
   • సమీకరణానికి కారకం. గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి రూపంలో కొన్ని సమీకరణాలను సులభంగా (డిఎక్స్ + ఇ) (ఎఫ్ఎక్స్ + జి) అని తిరిగి వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ డిఎక్స్ × ఎఫ్ఎక్స్ = గొడ్డలి, (డిఎక్స్ × జి + ఎఫ్ఎక్స్ × ఇ) = బిఎక్స్, మరియు ఇ × g = సి. ఈ సందర్భంలో, x ఖండనలు x యొక్క విలువలు, ఇక్కడ కుండలీకరణాల్లోని ప్రతి పదం 0 కి సమానంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • ఈ సందర్భంలో, ఖండన పాయింట్ -1 ఎందుకంటే, రెండు కారకాలలో ప్రవేశించినట్లయితే, ఇది సున్నా అవుతుంది.
   • ABC సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి. ఖండనలను గుర్తించడం లేదా సమీకరణాన్ని కారకం చేయడం అంత సులభం కాకపోతే, ఈ ప్రయోజనం కోసం ప్రత్యేకంగా "ఎబిసి ఫార్ములా" ను ఉపయోగించండి. గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి రూపంలో ఒక సమీకరణాన్ని ume హించుకోండి. X = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a సూత్రంలో a, b మరియు c విలువలను నమోదు చేయండి. ఇది తరచుగా మీకు x కోసం రెండు సమాధానాలు ఇస్తుందని గమనించండి, ఇది మంచిది - అంటే మీ పారాబొలాకు x అక్షంతో రెండు ఖండనలు ఉన్నాయి. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:
     • ఈ క్రింది విధంగా సమీకరణంలో -5x + 1x + 10 ను నమోదు చేయండి:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10%)) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13.18 / -10) మరియు (-15.18 / -10). X అక్షంతో పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువులు సుమారు x = -1,318 మరియు 1,518
     • ఉదాహరణ 1 లో 2x + 16x + 39 సమీకరణంతో, ఇది ఇలా ఉంటుంది:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39%)) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312%) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని కనుగొనడం సాధ్యం కానందున, ఈ ప్రత్యేకమైన పారాబొలా కోసం x అక్షంతో ఖండన పాయింట్లు లేవని మనకు తెలుసు.
9. అవసరమైతే, y- అక్షంతో పారాబొలా యొక్క ఖండనను నిర్ణయించండి. ఇది తరచుగా అవసరం లేదు, కానీ కొన్నిసార్లు ఈ ఖండనను కనుగొనడం అవసరం, ఉదాహరణకు గణిత సమస్యకు. ఇది చాలా సులభం - x యొక్క విలువను 0 కు సెట్ చేయండి మరియు f (x) లేదా y కోసం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి, ఇది పారాబొలా y అక్షంతో కలిసే బిందువు యొక్క y విలువను ఇస్తుంది. X- అక్షం ద్వారా ఖండన బిందువులతో ఉన్న వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, y- అక్షం వద్ద ఎల్లప్పుడూ ఒక ఖండన బిందువు మాత్రమే ఉంటుంది. గమనిక - ప్రామాణిక సమీకరణాలతో, y- అక్షంతో ఖండన y = c వద్ద ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణకు, మా చతురస్రాకార సమీకరణం 2x + 16x + 39 ఒక ఖండన y = 39 ను కలిగి ఉందని మాకు తెలుసు, కాని మనం దీనిని ఈ క్రింది విధంగా కనుగొనవచ్చు:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. y- అక్షంతో పారాబొలా యొక్క ఖండన: y = 39. పైన సూచించినట్లుగా, ఖండన బిందువును మనం సులభంగా చదవగలము ఎందుకంటే y = c.
   • 4 (x - 5) + 12 సమీకరణం y- అక్షంతో ఒక ఖండనను కలిగి ఉంది, దీనిని ఈ క్రింది విధంగా కనుగొనవచ్చు:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. y- అక్షంతో ఖండన: y = 112.
10. ఇది అవసరమని మీరు అనుకుంటే, మొదట అదనపు పాయింట్లను గీయండి, ఆపై మొత్తం గ్రాఫ్. మీరు ఇప్పుడు ఎగువ లేదా లోయ, ఒక దిశ, x- అక్షంతో ఖండన బిందువులు మరియు మీ సమీకరణం యొక్క y- అక్షంతో ఉండాలి. ఈ పాయింట్ నుండి మీరు ఈ పాయింట్లను ఉపయోగించి పారాబొలాను గీయడానికి ప్రయత్నించవచ్చు లేదా గ్రాఫ్‌ను మరింత ఖచ్చితమైనదిగా చేయడానికి మరిన్ని పాయింట్లను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించవచ్చు. దీన్ని చేయటానికి సులభమైన మార్గం అనేక x విలువలను నమోదు చేయడం, ఇది అనేక y విలువలను తిరిగి ఇస్తుంది. మీరు పారాబొలా గీయడం ప్రారంభించడానికి ముందు అనేక పాయింట్లను లెక్కించమని మిమ్మల్ని తరచుగా (గురువు) అడుగుతారు.
    • X + 2x + 1 సమీకరణాన్ని మరోసారి పరిశీలిద్దాం. X అక్షంతో ఉన్న ఏకైక ఖండన (-1,0) అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఇది ఈ సమయంలో x అక్షాన్ని మాత్రమే తాకినందున, గ్రాఫ్ పైభాగం ఈ బిందువుకు సమానమని మనం can హించవచ్చు. ఇప్పటివరకు మనకు ఈ పారాబొలా యొక్క ఒక పాయింట్ మాత్రమే ఉంది - గ్రాఫ్ గీయడానికి దాదాపు సరిపోదు. మనకు మరిన్ని విలువలు ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోవడానికి మరికొన్ని పాయింట్లను కనుగొందాం.
      • కింది x విలువలకు అనుగుణంగా ఉన్న y విలువలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం: 0, 1, -2 మరియు -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. అప్పుడు పాయింట్ (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. అప్పుడు పాయింట్ (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. అప్పుడు పాయింట్ (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. అప్పుడు పాయింట్ (-3,4).
      • ఈ పాయింట్లను గ్రాఫ్‌లో ఉంచండి మరియు మీ పారాబొలాను గీయండి. పారాబొలా పూర్తిగా సుష్టమయినదని గమనించండి - గ్రాఫ్ యొక్క ఒక వైపున ఉన్న పాయింట్లు మీకు తెలిస్తే, సమరూప అక్షం యొక్క మరొక వైపున ఉన్న పాయింట్లను కనుగొనడానికి ఈ పాయింట్లను ఉపయోగించడం ద్వారా మీరు సాధారణంగా మీరే ఎక్కువ పనిని ఆదా చేసుకోవచ్చు.

చిట్కాలు

• అవసరమైతే, రౌండ్ సంఖ్యలు లేదా భిన్నాలను వాడండి. చార్ట్ను సరిగ్గా ప్రదర్శించడానికి ఇది సహాయపడుతుంది.
• F (x) = ax + bx + c, b లేదా c ఫంక్షన్ సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, ఆ నిబంధనలు అదృశ్యమవుతాయని గమనించండి. ఉదాహరణకు, 12x + 0x + 6 12x + 6 కు సమానంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే 0x 0 కి సమానం.