విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• 3 యొక్క పద్ధతి 1: కారకం
• 3 యొక్క విధానం 2: ఎబిసి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం
• 3 యొక్క విధానం 3: స్క్వేర్డ్ ఆఫ్
• చిట్కాలు

చతురస్రాకార సమీకరణం ఒక వేరియబుల్ యొక్క అతిపెద్ద ఘాతాంకం రెండుకి సమానమైన సమీకరణం. ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించే అత్యంత సాధారణ పద్ధతులు మూడు: కారకం, ఎబిసి సూత్రాన్ని వాడండి లేదా చదరపు విభజించండి. మీరు ఈ పద్ధతులను ఎలా నేర్చుకోవాలో తెలుసుకోవాలంటే, ఈ దశలను అనుసరించండి.

అడుగు పెట్టడానికి

3 యొక్క పద్ధతి 1: కారకం

1. అన్ని నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించండి. ఫ్యాక్టరింగ్‌లో మొదటి దశ x ని పాజిటివ్‌గా ఉంచడం ద్వారా అన్ని నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించడం. X, వేరియబుల్ x మరియు స్థిరాంకాలు అనే పదాలకు అదనంగా లేదా వ్యవకలనం ఆపరేషన్ను వర్తించండి, వాటిని ఈ విధంగా సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించండి, మరొక వైపు ఏమీ ఉండదు. ఇది ఎలా పనిచేస్తుందో ఇక్కడ ఉంది:
   • 2x - 8x - 4 = 3x - x =
   • 2x + x - 8x -3x - 4 = 0
   • 3x - 11x = 0
2. వ్యక్తీకరణకు కారకం. వ్యక్తీకరణను కారకం చేయడానికి, మీరు 3x యొక్క కారకాలను మరియు స్థిరమైన -4 యొక్క కారకాలను కారకం చేయాలి, వాటిని గుణించి, వాటిని మధ్య పదం యొక్క విలువకు చేర్చండి, -11. ఇక్కడ ఎలా ఉంది:
   • 3x లో పరిమిత సంఖ్యలో 3x మరియు x కారకాలు ఉన్నందున, మీరు వీటిని బ్రాకెట్లలో వ్రాయవచ్చు: (3x +/-?) (X +/-?) = 0.
   • గుణకారం ఫలితంగా -11x ఇచ్చే కలయికను కనుగొనడానికి 4 యొక్క కారకాలను ఉపయోగించి ఎలిమినేషన్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. మీరు 4 మరియు 1, లేదా 2 మరియు 2 కలయికలను ఉపయోగించవచ్చు, ఎందుకంటే రెండు సంఖ్యల కలయిక యొక్క గుణకారం 4 దిగుబడిని ఇస్తుంది. నిబంధనలలో ఒకటి ప్రతికూలంగా ఉండాలని గుర్తుంచుకోండి, ఎందుకంటే ఈ పదం -4.
   • ప్రయత్నించండి (3x +1) (x -4). మీరు దీన్ని పని చేసినప్పుడు - 3x -12x + x -4. మీరు -12x మరియు x అనే పదాలను మిళితం చేస్తే, మీరు -11x ను పొందుతారు, ఇది మీరు రావాలనుకున్న మధ్య పదం. ఇప్పుడు మీరు ఈ చతురస్రాకార సమీకరణానికి కారణమయ్యారు.
   • మరొక ఉదాహరణ; పని చేయని సమీకరణాన్ని కారకం చేయడానికి మేము ప్రయత్నిస్తాము: (3x-2) (x + 2) = 3x + 6x -2x -4. మీరు ఈ నిబంధనలను మిళితం చేస్తే, మీకు 3x -4x -4 లభిస్తుంది.-2 మరియు 2 యొక్క ఉత్పత్తి -4 కి సమానం అయినప్పటికీ, మధ్య పదం పనిచేయదు ఎందుకంటే మీరు -11x కోసం చూస్తున్నారు, -4x కాదు.
3. ప్రతి జత కుండలీకరణాలు సున్నాకి సమానమని నిర్ణయించండి మరియు వాటిని ప్రత్యేక సమీకరణాలుగా పరిగణించండి. ఇది x కోసం రెండు విలువలను కనుగొనటానికి కారణమవుతుంది, రెండూ మొత్తం సమీకరణాన్ని సున్నాకి సమానంగా చేస్తాయి. ఇప్పుడు మీరు సమీకరణాన్ని కారకం చేసారు, మీరు చేయాల్సిందల్లా ప్రతి జత కుండలీకరణాలను సున్నాకి సమానంగా మార్చడం. కాబట్టి మీరు దీన్ని వ్రాయవచ్చు: 3x +1 = 0 మరియు x - 4 = 0.
4. ప్రతి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. చతురస్రాకార సమీకరణంలో, x కోసం రెండు ఇచ్చిన విలువలు ఉన్నాయి. వేరియబుల్‌ను వేరుచేసి x ఫలితాలను రాయడం ద్వారా ప్రతి సమీకరణాన్ని స్వతంత్రంగా పరిష్కరించండి. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 3x + 1 = 0 =
   • 3x = -1 =
   • 3x / 3 = -1/3
   • x = -1/3
   • x - 4 = 0
   • x = 4
   • x = (-1/3, 4)

3 యొక్క విధానం 2: ఎబిసి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం

1. అన్ని నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించి, ఇలాంటి పదాలను విలీనం చేయండి. అన్ని పదాలను సమాన చిహ్నం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించండి, x అనే పదాన్ని సానుకూలంగా ఉంచండి. మాగ్నిట్యూడ్ యొక్క క్రమాన్ని తగ్గించే పదాలను వ్రాయండి, కాబట్టి x మొదట వస్తుంది, తరువాత x తరువాత స్థిరంగా ఉంటుంది. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. ఎబిసి ఫార్ములా రాయండి. ఇది: {-b +/- (బి - 4ac)} / 2 ఎ
3. వర్గ సమీకరణంలో a, b మరియు c యొక్క విలువలను కనుగొనండి. వేరియబుల్ a x యొక్క గుణకం, బి x మరియు యొక్క గుణకం సి స్థిరంగా ఉంటుంది. 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, మరియు c = -8 సమీకరణం కొరకు. దీన్ని రాయండి.
4. సమీకరణంలో a, b మరియు c విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఇప్పుడు మీరు మూడు వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను తెలుసుకున్నారు, మేము ఇక్కడ చూపిన విధంగా మీరు వాటిని సమీకరణంలోకి నమోదు చేయవచ్చు:
   • {-b +/- (బి - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. లెక్కించండి. సంఖ్యలను నమోదు చేసిన తర్వాత, మీరు సమస్యను మరింత పరిష్కరించుకుంటారు. ఇది ఎలా ముందుకు వెళుతుందో మీరు క్రింద చదువుకోవచ్చు:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. వర్గమూలాన్ని సరళీకృతం చేయండి. వర్గమూలం క్రింద ఉన్న సంఖ్య ఖచ్చితమైన చదరపు లేదా చదరపు సంఖ్య అయితే, మీరు వర్గమూలం కోసం మొత్తం సంఖ్యను పొందుతారు. ఇతర సందర్భాల్లో, వర్గమూలాన్ని వీలైనంత సులభతరం చేయండి. సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే, మరియు ఇది కూడా ఉద్దేశం అని మీకు ఖచ్చితంగా తెలిస్తే, ఆ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం తక్కువ సరళంగా ఉంటుంది. ఈ ఉదాహరణలో, √ (121) = 11. అప్పుడు మీరు x = (5 +/- 11) / 6 అని వ్రాయవచ్చు.
7. సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల కోసం పరిష్కరించండి. మీరు వర్గమూలాన్ని తొలగించిన తర్వాత, x కోసం ప్రతికూల మరియు సానుకూల సమాధానాలను కనుగొనే వరకు మీరు కొనసాగించవచ్చు. ఇప్పుడు మీరు అందుకున్నారు (5 +/- 11) / 6, మీరు రెండు అవకాశాలను వ్రాయవచ్చు:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. సానుకూల మరియు ప్రతికూల సమాధానాల కోసం పరిష్కరించండి. మరింత లెక్కించండి:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. సరళీకృతం చేయండి. సరళీకృతం చేయడానికి, గణన మరియు హారం రెండింటికీ విభజించబడే అతిపెద్ద సంఖ్య ద్వారా సమాధానాలను విభజించండి. కాబట్టి మొదటి భిన్నాన్ని 2 మరియు రెండవ భాగాన్ని 6 ద్వారా విభజించండి మరియు మీరు x ను పరిష్కరించారు.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

3 యొక్క విధానం 3: స్క్వేర్డ్ ఆఫ్

1. అన్ని నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించండి. నిర్ధారించుకోండి a x యొక్క సానుకూలంగా ఉంటుంది. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • ఈ సమీకరణంలో a 2 కి సమానం, బి -12, మరియు సి -9.
2. స్థిరంగా తరలించండి సి మరొక వైపు. స్థిరాంకం వేరియబుల్ లేకుండా సంఖ్యా విలువ. సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు దీన్ని తరలించండి:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. యొక్క గుణకం ద్వారా రెండు వైపులా విభజించండి a లేదా x పదం. X కి ముందు ఒక పదం లేకపోతే మరియు విలువ 1 తో గుణకం ఉంటే, మీరు ఈ దశను దాటవేయవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, మీరు అన్ని నిబంధనలను 2 ద్వారా విభజించాలి, ఇలా:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. భాగం బి రెండు ద్వారా, దాన్ని చతురస్రం చేసి, ఫలితాలను ఇరువైపులా జోడించండి. ది బి ఈ ఉదాహరణలో ఇది -6. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. రెండు వైపులా సరళీకృతం చేయండి. (X-3) (x-3), లేదా (x-3) పొందడానికి ఎడమ వైపున ఉన్న నిబంధనలను కారకం చేయండి. 9/2 + 9, లేదా 9/2 + 18/2 పొందడానికి కుడివైపు నిబంధనలను జోడించండి, ఇది 27/2 వరకు జతచేస్తుంది.
6. రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని కనుగొనండి. (X-3) యొక్క వర్గమూలం కేవలం (x-3). మీరు 27/2 యొక్క వర్గమూలాన్ని ± √ (27/2) గా కూడా వ్రాయవచ్చు. కాబట్టి, x - 3 = ± (27/2).
7. వర్గమూలాన్ని సరళీకృతం చేయండి మరియు x కోసం పరిష్కరించండి. ± √ (27/2) ను సరళీకృతం చేయడానికి, 27 లేదా 2 సంఖ్యలతో లేదా వాటి కారకాలతో ఖచ్చితమైన చదరపు లేదా చదరపు సంఖ్య కోసం చూడండి. చదరపు సంఖ్య 9 ను 27 లో కనుగొనవచ్చు, ఎందుకంటే 9 x 3 = 27. రూట్ నుండి 9 ను తొలగించడానికి, దానిని ప్రత్యేక రూట్‌గా వ్రాసి 3 కి సరళీకృతం చేయండి, 9 యొక్క వర్గమూలం. భిన్నం ఎందుకంటే ఇది 27 నుండి ఒక కారకంగా వేరు చేయబడదు మరియు 2 ను హారం చేయండి. అప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి కుడి వైపుకు స్థిరమైన 3 ని తరలించి, x కోసం రెండు పరిష్కారాలను రాయండి:
   • x = 3 + (6) / 2
   • x = 3 - (6) / 2)

చిట్కాలు

• మీరు గమనిస్తే, మూల గుర్తు పూర్తిగా అదృశ్యం కాలేదు. కాబట్టి, లెక్కింపులోని పదాలు విలీనం కాలేదు (అవి సమాన పదాలు కావు). కాబట్టి మైనస్‌లు మరియు ప్లస్‌లను విభజించడం అర్ధం కాదు. బదులుగా, విభజన ఏదైనా సాధారణ కారకాన్ని తొలగిస్తుంది - కాని కారకం రెండు స్థిరాంకాలకు సమానంగా ఉంటే "మాత్రమే", "మరియు" వర్గమూలం యొక్క గుణకం.