విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• 3 యొక్క పద్ధతి 1: ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించడం
• 3 యొక్క పద్ధతి 2: ఎలిమినేషన్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం
• 3 యొక్క విధానం 3: సమీకరణాలను గ్రాఫ్ చేయండి
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

"సమీకరణాల వ్యవస్థ" లో మీరు ఒకే సమయంలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమీకరణాలను పరిష్కరించమని అడుగుతారు. ఈ రెండింటిలో x మరియు y, లేదా a మరియు b వంటి వేర్వేరు వేరియబుల్స్ ఉన్నప్పుడు, వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో చూడటం మొదటి చూపులో కష్టమవుతుంది. అదృష్టవశాత్తూ, మీరు ఏమి చేయాలో మీకు తెలిస్తే, సమస్యను పరిష్కరించడానికి మీకు కొన్ని ప్రాథమిక గణిత నైపుణ్యాలు (మరియు కొన్నిసార్లు కొంత భిన్న జ్ఞానం) మాత్రమే అవసరం. అవసరమైతే, లేదా మీరు దృశ్య విద్యార్థి అయితే, సమీకరణాలను ఎలా గ్రాఫ్ చేయాలో నేర్చుకోండి. గ్రాఫ్ గ్రాఫింగ్ (ప్లాటింగ్) "ఏమి జరుగుతుందో చూడటానికి" లేదా మీ పనిని తనిఖీ చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది, కానీ ఇది ఇతర పద్ధతుల కంటే నెమ్మదిగా ఉంటుంది మరియు ఇది అన్ని సమీకరణ వ్యవస్థలతో పనిచేయదు.

అడుగు పెట్టడానికి

3 యొక్క పద్ధతి 1: ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించడం

1. సమీకరణం యొక్క వివిధ వైపులా వేరియబుల్స్ తరలించండి. ఈ "ప్రత్యామ్నాయం" పద్ధతి సమీకరణాలలో ఒకదానిలో "x కోసం పరిష్కరించడం" (లేదా ఏదైనా ఇతర వేరియబుల్) తో ప్రారంభమవుతుంది. ఉదాహరణకు, మనకు ఈ క్రింది సమీకరణాలు ఉన్నాయి: 4x + 2y = 8 మరియు 5x + 3x = 9. అన్నింటిలో మొదటిది, మేము మొదటి పోలికను పరిశీలిస్తాము. ప్రతి వైపు నుండి 2y ని తీసివేయడం ద్వారా క్రమాన్ని మార్చండి మరియు మీరు పొందుతారు: 4x = 8-2y.
   • ఈ పద్ధతి తరచూ తరువాతి దశలో భిన్నాలను ఉపయోగిస్తుంది. మీరు భిన్నాలతో పనిచేయకూడదనుకుంటే దిగువ ఎలిమినేషన్ పద్ధతిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
2. "X" కోసం పరిష్కరించడానికి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి. మీరు సమీకరణం యొక్క ఒక వైపున x (లేదా మీరు ఉపయోగించే వేరియబుల్) అనే పదాన్ని కలిగి ఉంటే, వేరియబుల్‌ను వేరుచేయడానికి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి. ఉదాహరణకి:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - .y
3. దీన్ని ఇతర సమీకరణంలోకి తిరిగి ప్లగ్ చేయండి. తిరిగి రావాలని నిర్ధారించుకోండి ఇతరులు పోలిక, మీరు ఇప్పటికే ఉపయోగించినది కాదు. ఆ సమీకరణంలో, మీరు పరిష్కరించిన వేరియబుల్‌ను మీరు భర్తీ చేస్తారు, ఒక వేరియబుల్ మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది. ఉదాహరణకి:
   • మీకు ఇప్పుడు అది తెలుసు: x = 2 - .y.
   • మీరు ఇంకా మార్చని రెండవ సమీకరణం: 5x + 3x = 9.
   • రెండవ సమీకరణంలో, x ని "2 - ½y" తో భర్తీ చేయండి: 5 (2 -) y) + 3y = 9.
4. మిగిలిన వేరియబుల్ కోసం పరిష్కరించండి. మీకు ఇప్పుడు ఒకే వేరియబుల్‌తో సమీకరణం ఉంది. ఆ వేరియబుల్ కోసం పరిష్కరించడానికి సాధారణ బీజగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించండి. వేరియబుల్స్ ఒకదానికొకటి రద్దు చేస్తే, చివరి దశకు వెళ్ళండి. లేకపోతే, మీరు మీ వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానికి సమాధానంతో ముగుస్తుంది:
   • 5 (2 -) y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (మీకు ఈ దశ అర్థం కాకపోతే, భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో నేర్చుకోండి. ఇది తరచూ, కానీ ఎల్లప్పుడూ కాదు, ఈ పద్ధతిలో అవసరం).
   • 10 + = y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. ఇతర వేరియబుల్ కోసం పరిష్కరించడానికి సమాధానం ఉపయోగించండి. సమస్యను అర్ధంతరంగా పూర్తి చేయడంలో పొరపాటు చేయవద్దు. మీరు అసలు సమీకరణాలలో ఒకదానికి ఇచ్చిన జవాబును తిరిగి నమోదు చేయాలి, తద్వారా మీరు ఇతర వేరియబుల్ కోసం పరిష్కరించవచ్చు:
   • మీకు ఇప్పుడు అది తెలుసు: y = -2
   • అసలు సమీకరణాలలో ఒకటి: 4x + 2y = 8. (ఈ దశ కోసం రెండు సమీకరణాలను ఉపయోగించవచ్చు).
   • Y కి బదులుగా -2 ని ప్లగ్ చేయండి: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. రెండు వేరియబుల్స్ ఒకదానికొకటి రద్దు చేస్తే ఏమి చేయాలో తెలుసుకోండి. నువ్వు ఎప్పుడు x = 3y + 2 లేదా ఇతర సమీకరణంలో ఇలాంటి సమాధానం పొందండి, మీరు ఒకే వేరియబుల్‌తో సమీకరణాన్ని పొందడానికి ప్రయత్నిస్తున్నారు. కొన్నిసార్లు మీరు బదులుగా ఒక సమీకరణంతో ముగుస్తుంది లేకుండా వేరియబుల్స్. మీ పనిని రెండుసార్లు తనిఖీ చేయండి మరియు రెండవ సమీకరణంలో (పునర్వ్యవస్థీకరించబడిన) మొదటి సమీకరణాన్ని ప్రత్యామ్నాయంగా నిర్ధారించుకోండి మరియు మొదటి సమీకరణం కాదు. మీరు ఏ తప్పులు చేయలేదని మీకు ఖచ్చితంగా తెలిస్తే, మీరు ఈ క్రింది ఫలితాల్లో ఒకదాన్ని పొందుతారు:
   • మీరు వేరియబుల్స్ లేని సమీకరణంతో ముగుస్తుంది మరియు ఇది నిజం కాదు (ఉదా. 3 = 5), అప్పుడు మీకు సమస్య ఉంది పరిష్కారం లేదు. (మీరు సమీకరణాలను గ్రాఫ్ చేసి ఉంటే, అవి సమాంతరంగా ఉన్నాయని మరియు ఎప్పుడూ కలుస్తాయి అని మీరు చూస్తారు).
   • మీరు వేరియబుల్స్ లేకుండా ఒక సమీకరణంతో ముగుస్తుంటే, కానీ అవి బాగా నిజం (ఉదాహరణకు, 3 = 3), అప్పుడు దీనికి సమస్య ఉంది అనంతమైన పరిష్కారాలు. రెండు సమీకరణాలు సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి. (మీరు రెండు సమీకరణాలను గ్రాఫ్ చేస్తే, అవి ఖచ్చితంగా అతివ్యాప్తి చెందుతాయని మీరు చూస్తారు).

3 యొక్క పద్ధతి 2: ఎలిమినేషన్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం

1. తొలగించాల్సిన వేరియబుల్‌ను నిర్ణయిస్తుంది. కొన్నిసార్లు మీరు సమీకరణాలు ఒకదానికొకటి వేరియబుల్‌లో "తొలగిస్తాయి". ఉదాహరణకు, మీరు సమీకరణాలు చేసినప్పుడు 3x + 2y = 11 మరియు 5x - 2y = 13 మిళితం చేస్తే, "+ 2y" మరియు "-2y" ఒకదానికొకటి రద్దు చేయబడతాయి, అన్ని "y తోలు సమీకరణం నుండి తొలగించబడతాయి. ఈ విధంగా ఏదైనా వేరియబుల్స్ తొలగించబడతాయో లేదో తెలుసుకోవడానికి మీ సమస్యలోని సమీకరణాలను చూడండి. వేరియబుల్స్ ఏవీ తొలగించబడకపోతే, సలహా కోసం తదుపరి దశకు చదవండి.
2. వేరియబుల్‌ను రద్దు చేయడానికి సమీకరణాన్ని గుణించండి. (వేరియబుల్స్ ఇప్పటికే ఒకదానికొకటి తొలగించినట్లయితే ఈ దశను దాటవేయండి). సమీకరణాలలో వేరియబుల్స్ ఏవీ స్వయంగా రద్దు చేయకపోతే, మీరు సమీకరణాలలో ఒకదాన్ని మార్చాలి, తద్వారా అది చేస్తుంది. ఉదాహరణతో అర్థం చేసుకోవడం చాలా సులభం:
   • మీకు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉందని అనుకుందాం 3x - y = 3 మరియు -x + 2y = 4.
   • మొదటి సమీకరణాన్ని మారుద్దాం, తద్వారా వేరియబుల్ ఉంటుంది y తొలగించబడుతుంది. (మీరు దీన్ని కూడా చేయవచ్చు X. చేయండి మరియు అదే సమాధానం పొందండి).
   • ది - y " మొదటి సమీకరణాన్ని తొలగించాలి + 2y రెండవ సమీకరణంలో. మేము దీన్ని చేయవచ్చు - వై 2 గుణించాలి.
   • మేము మొదటి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఈ క్రింది విధంగా గుణిస్తాము: 2 (3x - y) = 2 (3), అందువలన 6x - 2y = 6. ఇప్పుడు రెడీ - 2 ఏ వ్యతిరేకంగా పడిపోతాయి + 2y రెండవ సమీకరణంలో.
3. రెండు సమీకరణాలను కలపండి. రెండు సమీకరణాలను మిళితం చేయడానికి, ఎడమ మరియు కుడి వైపులా కలపండి. మీరు సమీకరణాన్ని సరిగ్గా వ్రాసినట్లయితే, వేరియబుల్స్ ఒకటి మరొకదానికి వ్యతిరేకంగా రద్దు చేయాలి. చివరి దశ వలె అదే సమీకరణాలను ఉపయోగించే ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది:
   • మీ సమీకరణాలు: 6x - 2y = 6 మరియు -x + 2y = 4.
   • ఎడమ వైపులా కలపండి: 6x - 2y - x + 2y =?
   • కుడి వైపులా కలపండి: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. చివరి వేరియబుల్ కోసం పరిష్కరించండి. మిశ్రమ సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేసి, ఆపై చివరి వేరియబుల్ కోసం పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక బీజగణితాన్ని ఉపయోగించండి. సరళీకరణ తర్వాత వేరియబుల్స్ లేకపోతే, ఈ విభాగంలో చివరి దశకు కొనసాగండి. లేకపోతే, మీరు మీ వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానికి సాధారణ సమాధానంతో ముగించాలి. ఉదాహరణకి:
   • మీకు: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • వేరియబుల్స్ సమూహపరచండి X. మరియు y ప్రతి వాటితో: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • సరళీకృతం: 5x = 10
   • X కోసం పరిష్కరించండి: (5x) / 5 = 10/5, అందువలన x = 2.
5. ఇతర వేరియబుల్స్ కోసం పరిష్కరించండి. మీరు ఒక వేరియబుల్ కనుగొన్నారు, కానీ మీరు ఇంకా పూర్తి కాలేదు. మీ జవాబును అసలు సమీకరణాలలో ఒకదానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, తద్వారా మీరు ఇతర వేరియబుల్ కోసం పరిష్కరించవచ్చు. ఉదాహరణకి:
   • అది నీకు తెలుసు x = 2, మరియు మీ అసలు సమీకరణాలలో ఒకటి 3x - y = 3 ఉంది.
   • X కి బదులుగా 2 ని ప్లగ్ చేయండి: 3 (2) - వై = 3.
   • సమీకరణంలో y ని పరిష్కరించండి: 6 - వై = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, కాబట్టి 6 = 3 + వై
   • 3 = వై
6. రెండు వేరియబుల్స్ ఒకదానికొకటి రద్దు చేసినప్పుడు ఏమి చేయాలో తెలుసుకోండి. కొన్నిసార్లు రెండు సమీకరణాలను కలపడం వల్ల సమీకరణం అర్థం కాదు లేదా సమస్యను పరిష్కరించడంలో మీకు సహాయపడదు. మొదటి నుండి మీ పనిని రెండుసార్లు తనిఖీ చేయండి, కానీ మీరు పొరపాటు చేయకపోతే, ఈ క్రింది సమాధానాలలో ఒకదాన్ని రాయండి:
   • మీ మిశ్రమ సమీకరణానికి వేరియబుల్స్ లేకపోతే మరియు నిజం కాకపోతే (2 = 7 వంటిది) అప్పుడు ఉంది పరిష్కారం లేదు ఇది రెండు సమీకరణాలకు కలిగి ఉంటుంది. (మీరు రెండు సమీకరణాలను గ్రాఫ్ చేస్తే, అవి సమాంతరంగా ఉన్నాయని మరియు ఎప్పటికీ కలుస్తాయి అని మీరు చూస్తారు).
   • మీ మిశ్రమ సమీకరణానికి వేరియబుల్స్ లేకపోతే మరియు నిజమైతే (0 = 0 వంటివి), అప్పుడు ఉన్నాయి అనంతమైన పరిష్కారాలు. రెండు సమీకరణాలు వాస్తవానికి ఒకేలా ఉంటాయి. (మీరు వీటిని గ్రాఫ్‌లో ఉంచితే, అవి ఒకదానికొకటి పూర్తిగా అతివ్యాప్తి చెందుతాయని మీరు చూస్తారు).

3 యొక్క విధానం 3: సమీకరణాలను గ్రాఫ్ చేయండి

1. పేర్కొన్నప్పుడు మాత్రమే ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. మీరు కంప్యూటర్ లేదా గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగిస్తున్నారే తప్ప, ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి చాలా సమీకరణాల వ్యవస్థలు సుమారుగా పరిష్కరించబడతాయి. మీ గురువు లేదా గణిత పాఠ్య పుస్తకం ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు, కాబట్టి మీరు పంక్తులు వంటి గ్రాఫికల్ సమీకరణాలతో సుపరిచితులు. ఇతర పద్ధతుల నుండి మీ సమాధానాలు సరైనవేనా అని తనిఖీ చేయడానికి మీరు ఈ పద్ధతిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
   • ప్రాథమిక ఆలోచన ఏమిటంటే, మీరు రెండు సమీకరణాలను గ్రాఫ్ చేసి, అవి కలిసే బిందువును నిర్ణయించండి. ఈ సమయంలో x మరియు y విలువలు x యొక్క విలువను మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థలో y యొక్క విలువను ఇస్తాయి.
2. Y కోసం రెండు సమీకరణాలను పరిష్కరించండి. రెండు సమీకరణాలను వేరుగా ఉంచండి మరియు ప్రతి సమీకరణాన్ని "y = __x + __" రూపంలోకి మార్చడానికి బీజగణితాన్ని ఉపయోగించండి. ఉదాహరణకి:
   • మొదటి సమీకరణం: 2x + y = 5. దీన్ని దీనికి మార్చండి: y = -2x + 5.
   • రెండవ సమీకరణం: -3x + 6y = 0. దీన్ని మార్చండి 6y = 3x + 0, మరియు సరళీకృతం y = ½x + 0.
   • రెండు సమీకరణాలు ఒకేలా ఉన్నాయి, అప్పుడు మొత్తం పంక్తి "ఖండన బిందువు" అవుతుంది. వ్రాయడానికి: అనంత పరిష్కారాలు.
3. సమన్వయ వ్యవస్థను గీయండి. గ్రాఫ్ పేపర్ షీట్లో నిలువు "వై-యాక్సిస్" మరియు క్షితిజ సమాంతర "ఎక్స్-యాక్సిస్" ను గీయండి. పంక్తులు కలిసే చోట ప్రారంభించండి మరియు 1, 2, 3, 4, మొదలైన సంఖ్యలను y అక్షం పైకి లేబుల్ చేయండి మరియు మళ్ళీ x అక్షం వెంట లేబుల్ చేయండి. -1, -2, మొదలైన సంఖ్యలను y అక్షం వెంట మరియు ఎడమ వైపున x అక్షం వెంట లేబుల్ చేయండి.
   • మీకు గ్రాఫ్ పేపర్ లేకపోతే, సంఖ్యలు సమానంగా ఖాళీగా ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోవడానికి ఒక పాలకుడిని ఉపయోగించండి.
   • మీరు పెద్ద సంఖ్యలు లేదా దశాంశ స్థానాలను ఉపయోగిస్తుంటే, మీరు చార్ట్ను స్కేల్ చేయాలి. (ఉదాహరణకు 1, 2, 3 కు బదులుగా 10, 20, 30 లేదా 0.1, 0.2, 0.3).
4. ప్రతి పంక్తికి y ఖండన గీయండి. ఒకసారి మీరు రూపంలో ఒక సమీకరణం కలిగి ఉంటారు y = __x + __ మీరు y- అక్షాన్ని అడ్డుకునే పాయింట్‌ను ఏర్పాటు చేయడం ద్వారా దాన్ని గ్రాఫింగ్ చేయడం ప్రారంభించవచ్చు. ఇది ఎల్లప్పుడూ y విలువలో ఉంటుంది, ఈ సమీకరణంలోని చివరి సంఖ్యకు సమానం.
   • గతంలో పేర్కొన్న ఉదాహరణలలో, ఒక పంక్తి (y = -2x + 5) y- అక్షంలోకి 5. ఇతర పంక్తి (y = ½x + 0) సున్నా పాయింట్ గుండా వెళుతుంది 0. (ఇవి గ్రాఫ్‌లోని పాయింట్లు (0.5) మరియు (0.0).
   • వీలైతే, ప్రతి పంక్తిని వేరే రంగుతో సూచించండి.
5. పంక్తులను గీయడం కొనసాగించడానికి వాలుని ఉపయోగించండి. రూపంలో y = __x + __, x వ సంఖ్య వాలు లైన్ ఆఫ్. ప్రతిసారీ x ఒకదానితో ఒకటి పెరిగినప్పుడు, y విలువ వాలు విలువతో పెరుగుతుంది. X = 1 ఉన్నప్పుడు ప్రతి పంక్తికి గ్రాఫ్‌లోని పాయింట్‌ను కనుగొనడానికి ఈ సమాచారాన్ని ఉపయోగించండి. (ప్రత్యామ్నాయంగా, ప్రతి సమీకరణానికి x = 1 ను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు y కోసం పరిష్కరించండి).
   • మా ఉదాహరణలో, లైన్ ఉంది y = -2x + 5 యొక్క వాలు -2. X = 1 వద్ద 2 వ పంక్తి దిగుతుంది డౌన్ x = 0. పాయింట్ నుండి (0.5) మరియు (1.3) మధ్య పంక్తి విభాగాన్ని గీయండి.
   • పాలన y = ½x + 0యొక్క వాలు ఉంది ½. X = 1 వద్ద, లైన్ go కి వెళుతుంది పైకి x = 0. పాయింట్ నుండి (0,0) మరియు (1, ½) మధ్య పంక్తి విభాగాన్ని గీయండి.
   • పంక్తులు ఒకే వాలు కలిగి ఉన్నప్పుడు పంక్తులు ఎప్పటికీ కలుస్తాయి, కాబట్టి సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం లేదు. వ్రాయడానికి: పరిష్కారం లేదు.
6. పంక్తులు కలిసే వరకు వాటిని ప్లాట్ చేయడం కొనసాగించండి. ఆగి మీ చార్ట్ చూడండి. పంక్తులు ఇప్పటికే ఒకదానికొకటి దాటితే, తదుపరి దశకు వెళ్లండి. లేకపోతే, పంక్తులు ఏమి చేస్తాయో దాని ఆధారంగా మీరు నిర్ణయం తీసుకుంటారు:
   • పంక్తులు ఒకదానికొకటి కదులుతున్నప్పుడు, మీరు ఆ దిశలో పాయింట్లను గీయడం కొనసాగిస్తారు.
   • పంక్తులు ఒకదానికొకటి దూరం అవుతుంటే, వెనుకకు వెళ్లి, x = -1 నుండి ప్రారంభించి, ఇతర దిశలో పాయింట్లను గీయండి.
   • పంక్తులు ఎక్కడా ఒకదానికొకటి దగ్గరగా లేకపోతే, ముందుకు దూకి, x = 10 వంటి ఎక్కువ పాయింట్లను ప్లాట్ చేయండి.
7. పంక్తుల ఖండన వద్ద సమాధానం కనుగొనండి. రెండు పంక్తులు కలిసిన తర్వాత, ఆ సమయంలో x మరియు y విలువలు సమస్యకు పరిష్కారం. మీరు అదృష్టవంతులైతే, సమాధానం పూర్ణాంకం అవుతుంది. ఉదాహరణకు, మా ఉదాహరణలలో, రెండు పంక్తులు కలుస్తాయి (2,1) మీ సమాధానం కూడా అంతే x = 2 మరియు y = 1. సమీకరణం యొక్క కొన్ని వ్యవస్థలలో, పంక్తులు రెండు పూర్ణాంకాల మధ్య విలువతో కలుస్తాయి మరియు మీ గ్రాఫ్ చాలా ఖచ్చితమైనది కాకపోతే, ఇది ఎక్కడ ఉందో చెప్పడం కష్టం. ఇదే జరిగితే, మీరు ఇలా సమాధానం ఇవ్వవచ్చు: "x 1 మరియు 2 మధ్య ఉంటుంది". ఖచ్చితమైన సమాధానం కనుగొనడానికి మీరు ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి లేదా ఎలిమినేషన్ పద్ధతిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

చిట్కాలు

• అసలు సమీకరణాలలో సమాధానాలను తిరిగి నమోదు చేయడం ద్వారా మీరు మీ పనిని తనిఖీ చేయవచ్చు. సమీకరణాలు నిజమైతే (ఉదాహరణకు, 3 = 3), అప్పుడు మీ సమాధానం సరైనది.
• ఎలిమినేషన్ పద్ధతిలో, వేరియబుల్‌ను తొలగించడానికి మీరు కొన్నిసార్లు ప్రతికూల సంఖ్య ద్వారా సమీకరణాన్ని గుణించాలి.

హెచ్చరికలు

• మీరు x వంటి శక్తి సంఖ్యతో వ్యవహరిస్తుంటే ఈ పద్ధతులు ఉపయోగించబడవు. ఈ రకమైన సమీకరణాల గురించి మరింత తెలుసుకోవడానికి, మీకు రెండు వేరియబుల్స్‌తో ఫ్యాక్టర్ స్క్వేరింగ్‌కు గైడ్ అవసరం.