విషయము

• దశలు
• సలహా
• హెచ్చరిక

వర్గమూలాన్ని తగ్గించడం కష్టం కాదు, మనం రూట్ యొక్క దిగువ భాగాన్ని కారకాలుగా వేరు చేయాలి, ఇక్కడ కనీసం ఒక కారకం వర్గమూలం, ఆపై ప్రధాన సంఖ్య యొక్క వర్గమూల చిహ్నాన్ని గీయండి. ఆ వైపు. మీరు కొన్ని సాధారణ పరిపూర్ణ చతురస్రాలను కంఠస్థం చేసి, సంఖ్యలను ఎలా పొందాలో తెలుసుకున్న తర్వాత, మీ వర్గమూలాన్ని తగ్గించడం "మిఠాయి తినడం అంత సులభం".

దశలు

3 యొక్క పద్ధతి 1: కారకాల విశ్లేషణ ద్వారా వర్గమూలాన్ని సరళీకృతం చేయండి

1. 

   కారకాల విశ్లేషణ ఏమిటో అర్థం చేసుకోండి. వర్గమూలాన్ని తగ్గించే లక్ష్యం గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సరళమైన మరియు సులభమైన మార్గంలో తిరిగి వ్రాయడం. కారకాల విశ్లేషణ అనేది పెద్ద సంఖ్యను అనేకగా విభజించే మార్గం కారకం ఉదాహరణకు, 9 ను 3 x 3 గా విభజించడం కంటే చిన్నది. ప్రశ్నలోని సంఖ్య యొక్క కారకాలను మేము కనుగొన్న తర్వాత, ఆ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సరళమైన రూపంలోకి తిరిగి వ్రాయవచ్చు, బహుశా పూర్ణాంకం వలె కూడా. . ఉదాహరణకు, √9 = √ (3x3) = 3. దిగువ దశలు చదరపు మూలాలను తగ్గించే మరింత క్లిష్టమైన ప్రక్రియను మీకు చూపుతాయి.

2. 

   
   
   తక్కువ సంఖ్యను సాధ్యమైనంత చిన్న ప్రధాన సంఖ్యతో విభజించండి. దిగువ భాగం సమానంగా ఉంటే, రెండు ద్వారా విభజించండి. ఇది బేసి సంఖ్య అయితే, అది 3 ద్వారా భాగించబడిందో లేదో చూడటానికి ప్రయత్నించండి. ఒకవేళ దిగువ-రాడికల్ సంఖ్య 2 మరియు 3 రెండింటి ద్వారా విభజించబడకపోతే, రూట్ క్రింద ఉన్న సంఖ్య యొక్క అతి చిన్న ప్రైమ్ డివైజర్‌ను మీరు కనుగొనే వరకు క్రింది జాబితాలోని తదుపరి ప్రధాన సంఖ్యతో కొనసాగండి. మేము ప్రైమ్‌లను మాత్రమే పరిశీలిస్తాము ఎందుకంటే అన్ని ఇతర సంఖ్యలు కొన్ని ప్రైమ్‌ల పనితీరును ఇతర కారకాలతో విశ్లేషించగలవు. ఉదాహరణకు, మేము బేస్ను 4 ద్వారా విభజించము, ఎందుకంటే 4 తో విభజించబడిన ఏ సంఖ్యను 2 ద్వారా భాగించవచ్చు.
   • 2
   • 3
   • 5
   • 7
   • 11
   • 13
   • 17

3. 

   
   
   గుణకారం సమస్య రూపంలో వర్గమూలాన్ని తిరిగి వ్రాయండి. అన్ని అంశాలను రాడికల్ సంకేతాల క్రింద ఉంచండి. ఉదాహరణకు, మేము √98 ను సరళీకృతం చేసినప్పుడు, మేము 98 ÷ 2 = 49 ను చూస్తాము, కాబట్టి 98 = 2 x 49. కాబట్టి మనం దీనిని తిరిగి వ్రాయవచ్చు: √98 = √ (2 x 49).

4. 

   మిగిలిన కారకం కోసం పై దశలను పునరావృతం చేయండి. మేము పరిశీలిస్తున్న వర్గమూలాన్ని తగ్గించే ముందు, రెండు సంఖ్యలు ఒకేలా ఉన్నాయని విశ్లేషణ ఫలితాలు వచ్చేవరకు మనం కారకాన్ని విభజించాలి. వర్గమూలం యొక్క అర్ధాన్ని గుర్తుచేసుకుంటే, ఇది ఖచ్చితమైన అర్ధమే: ఎందుకంటే √ (2 x 2) అంటే "స్వయంగా గుణించినప్పుడు 2 x 2 దిగుబడినిచ్చే సంఖ్య." మరియు స్పష్టంగా ఈ సందర్భంలో ఇది సంఖ్య 2. అదేవిధంగా, మేము consider (2 x 49) గా పరిగణించే ఉదాహరణతో ఈ దశలను పునరావృతం చేస్తాము:
   • మేము కారకం 2 ను వేరు చేసాము. (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది పైన జాబితా చేయబడిన ప్రధాన సంఖ్యలలో ఒకటి). కాబట్టి, మేము ఈ సంఖ్యను విస్మరిస్తాము మరియు 49 ని చిన్న కారకాలుగా విభజించాము.
   • 49 ను 2, 3, లేదా 5 ద్వారా విభజించలేము. కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి లేదా డివిజన్ చేయడం ద్వారా మేము దానిని ధృవీకరించవచ్చు. 2, 3 లేదా 5 ద్వారా 49 వ విభజన ఫలితం మనకు పూర్ణాంకం ఇవ్వదు కాబట్టి, మేము ఈ సంఖ్యలను విస్మరించి దానిని విభజిస్తాము.
   • 49 మే 7 ద్వారా భాగించవచ్చు. మనకు 49 ÷ 7 = 7, అంటే 49 = 7 x 7 ఉన్నాయి.
   • సమస్యను తిరిగి వ్రాయడానికి, మనకు లభిస్తుంది: √ (2 x 49) = √ (2 x 7 x 7).

5. 

   
   
   మూల గుర్తు నుండి ఒక సంఖ్యను "లాగండి". మేము రెండు సంఖ్యలు ఒకేలా ఉండే కారకాలుగా సంఖ్యను విభజించిన తర్వాత, మేము ఆ సంఖ్యను రాడికల్ సైన్ నుండి బయటకు తీయవచ్చు. మిగిలిన అన్ని అంశాలు రాడికల్ సైన్ కింద ఉంటాయి. ఉదాహరణకు: (2 x 7 x 7) = √ (2) √ (7 x 7) = √ (2) x 7 = 7√ (2).
   • ఇలాంటి రెండు కారకాలు కనుగొనబడిన తర్వాత మేము విశ్లేషణను ఆపవచ్చు. ఉదాహరణకు √ (16) = √ (4 x 4) = 4. మేము విశ్లేషణతో కొనసాగితే, తుది ఫలితం మారదు, ఒకే తేడా ఏమిటంటే మనం విభజనను ఎక్కువసార్లు చేయవలసి ఉంటుంది: √ (16) = (4 x 4) = √ (2 x 2 x 2 x 2) = √ (2 x 2) √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4.

6. 

   అంతర్లీన కారకాల సంఖ్య ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, అప్పుడు మేము వాటిని గుణిస్తాము. పెద్ద చదరపు మూలాలతో, మీరు తగ్గింపును చాలాసార్లు చేయవచ్చు. అలాంటప్పుడు, కారకం ఉత్పత్తి తుది ఫలితాన్ని ఇస్తుంది. కింది ఉదాహరణను పరిశీలించండి:
   • 180 = (2 x 90)
   • 180 = (2 x 2 x 45)
   • 180 = 2√45, కానీ మిగిలిన రాడికల్‌ను ఇంకా చిన్న కారకంగా విశ్లేషించవచ్చు
   • 180 = 2√ (3 x 15)
   • 180 = 2√ (3 x 3 x 5)
   • √180 = (2)(3√5)
   • √180 = 6√5

7. 

   కారకాల విశ్లేషణ రెండు సంఖ్యలను ఒకే విధంగా ఇవ్వకపోతే రికార్డ్ "తగ్గించబడదు". కొన్ని వర్గమూలాలు ఇప్పటికే సరళీకృత రూపంలో ఉన్నాయి. అన్ని అంతర్లీన కారకాలు ప్రధానమైనవి (పై దశల్లో పేర్కొనబడినవి) మరియు రెండు సంఖ్యలు ఒకేలా ఉండే వరకు మేము విశ్లేషించడం కొనసాగిస్తే, అప్పుడు మేము దానిని మరింత తగ్గించలేము. ప్రశ్నలోని అంశం కేవలం చిట్కా కావచ్చు! ఉదాహరణకు, √70 ను సరళీకృతం చేద్దాం:
   • 70 = 35 x 2, కాబట్టి √70 = (35 x 2)
   • 35 = 7 x 5, కాబట్టి √ (35 x 2) = √ (7 x 5 x 2)
   • పైన ఉన్న మూడు సంఖ్యలు ప్రధానమైనవి, కాబట్టి మనం దీన్ని ఇక తగ్గించలేము. అదనంగా, ఈ మూడు సంఖ్యలు భిన్నంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మూడు సంఖ్యలలో ఒకదాన్ని రాడికల్ నుండి బయటకు తీయడం సాధ్యం కాదు. కాబట్టి √70 ఇకపై కుదించబడదు.
   ప్రకటన

3 యొక్క పద్ధతి 2: ఖచ్చితమైన చదరపు

1. 

   చదరపు సంఖ్యలను గుర్తుంచుకోండి. ఒక సంఖ్యను స్క్వేర్ చేయడం, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక సంఖ్యను స్వయంగా గుణించడం, మనకు ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని ఇస్తుంది. ఉదాహరణకు, 25 ఒక ఖచ్చితమైన చతురస్రం ఎందుకంటే 5 x 5, ఇది 5, 25 కి సమానం. కనీసం మొదటి పది ఖచ్చితమైన చతురస్రాలను గుర్తుంచుకోవడానికి ప్రయత్నించండి ఎందుకంటే అవి సంబంధిత వర్గమూలాన్ని సులభంగా గుర్తించడంలో మీకు సహాయపడతాయి. మొదటి పది ఖచ్చితమైన చతురస్రాలు:
   • 1 = 1
   • 2 = 4
   • 3 = 9
   • 4 = 16
   • 5 = 25
   • 6 = 36
   • 7 = 49
   • 8 = 64
   • 9 = 81
   • 10 = 100
   • ఖచ్చితమైన చదరపు సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని కనుగొనండి. మేము రాడికల్ సైన్ క్రింద ఒక ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని చూసినట్లయితే, మేము దానిని రెండు ఒకేలాంటి సంఖ్యల ఉత్పత్తిగా మార్చవచ్చు, తద్వారా రాడికల్ గుర్తును తొలగిస్తుంది. ఉదాహరణకు, దిగువ-మూలం 25 అని చూసినప్పుడు, ఈ వర్గమూలం యొక్క విలువ 5 అని మనకు తెలుసు ఎందుకంటే 25 ఒక ఖచ్చితమైన చతురస్రం మరియు 5 x 5. అదేవిధంగా, మనకు చతురస్రాల వర్గమూలం ఉంది పైవి క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

     

   • √1 = 1
   • √4 = 2
   • √9 = 3
   • √16 = 4
   • √25 = 5
   • √36 = 6
   • √49 = 7
   • √64 = 8
   • √81 = 9
   • √100 = 10

2. 

   కారకాలను ఖచ్చితమైన చతురస్రాల్లోకి విశ్లేషించండి. వర్గమూలాన్ని తగ్గించేటప్పుడు, కారకాల విశ్లేషణ దశలో చదరపు సంఖ్యలను ఉపయోగించండి. మీరు ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని విభజించగలిగితే, దాన్ని తగ్గించడం తక్కువ సమయం పడుతుంది. ఇక్కడ కొన్ని చిట్కాలు ఉన్నాయి:
   • 50 = (25 x 2) = 5√2. పరిగణించబడుతున్న సంఖ్య యొక్క చివరి రెండు అంకెలు 25, 50 లేదా 75 అయితే, మేము ఎల్లప్పుడూ ఆ సంఖ్య నుండి 25 సంఖ్యను వేరు చేస్తాము.
   • √1700 = √ (100 x 17) = 10√17. సందేహాస్పద సంఖ్య యొక్క చివరి రెండు అంకెలు 00 అయితే, 100 ఎల్లప్పుడూ ఆ సంఖ్య నుండి వేరు చేయబడుతుంది.
   • 72 = (9 x 8) = 3√8. కారకాల విశ్లేషణ విషయానికి వస్తే 9 యొక్క గుణకాలు తెలుసుకోవడం కూడా చాలా సహాయపడుతుంది. 9 యొక్క గుణకాలను గ్రహించే ఉపాయం ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది: మొత్తం ఉంటే అన్నీ పరిగణించబడుతున్న సంఖ్య యొక్క అంకెలు 9 లేదా 9 ద్వారా భాగించబడతాయి, సంఖ్య 9 ద్వారా భాగించబడుతుంది.
   • 12 = (4 x 3) = 2√3. ఒక సంఖ్యను 4 ద్వారా భాగించవచ్చో చెప్పడానికి ఎటువంటి ఉపాయం లేదు, కానీ చాలా పెద్దది కాని సంఖ్యలకు, 4 ద్వారా విభజన చేయడం చాలా క్లిష్టంగా లేదు. కారకాన్ని విశ్లేషించేటప్పుడు దీన్ని గుర్తుంచుకోండి.

3. 

   అనేక ఖచ్చితమైన చతురస్రాల యొక్క కొన్ని విజయాలను విశ్లేషించండి. సందేహాస్పద సంఖ్య పరిపూర్ణ చతురస్రం కంటే ఎక్కువ ఉత్పత్తి అయితే, మనం అన్నింటినీ రాడికల్ గుర్తుకు వెలుపల ఉంచవచ్చు. వర్గమూలాన్ని తగ్గించే ప్రక్రియలో, కారకాల విశ్లేషణ ఫలితాలలో చాలా ఖచ్చితమైన చతురస్రాలు ఉంటే, మేము వాటి వర్గమూలాలను రాడికల్ గుర్తు నుండి ఉపసంహరించుకుంటాము మరియు దానిని కలిసి గుణించాలి. ఉదాహరణకు, √72:
   • 72 = (9 x 8)
   • 72 = (9 x 4 x 2)
   • 72 = √ (9) x (4) x √ (2)
   • 72 = 3 x 2 x 2
   • √72 = 6√2
   ప్రకటన

3 యొక్క విధానం 3: పదకోశం

1. 

   సంకేతం (√) వర్గమూల చిహ్నం. 25 సమస్యలోని ఉదాహరణ కోసం, "√" అనేది మూల సంకేతం.

2. 

   రాడికల్ కింద ఉన్న సంఖ్య రాడికల్ గుర్తు కింద వ్రాయబడిన సంఖ్య. మేము ఆ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని కనుగొనాలి. ఉదాహరణకు, √25, "25" అనేది రూట్ క్రింద ఉన్న సంఖ్య.

3. 

   రాడికల్ గుణకం అనేది రాడికల్ గుర్తుకు వెలుపల ఉన్న సంఖ్య. ఇది వర్గమూలంతో గుణించబడిన సంఖ్య మరియు వర్గమూలం యొక్క ఎడమ వైపున ఉంటుంది. 7√2 కొరకు, ఉదాహరణకు, "7" గుణకం.

4. 

   విభజన ఫలితాన్ని కారకం అంటారు. ఉదాహరణకు, 2 అనేది 8 యొక్క కారకం ఎందుకంటే 8 ÷ 4 = 2, 3 8 యొక్క కారకం కాదు ఎందుకంటే 8 ÷ 3 పూర్ణాంకాన్ని తిరిగి ఇవ్వదు. ఉదాహరణకు, 5 అనేది 25 యొక్క కారకం ఎందుకంటే 5 x 5 = 25.

5. 

   వర్గమూలాన్ని తగ్గించే అర్థం. చదరపు మూలాన్ని తగ్గించడం అంటే వర్గమూలాన్ని రూట్ క్రింద ఉన్న సంఖ్య నుండి వేరు చేయడం, ఆ స్క్వేర్డ్ సంఖ్యల యొక్క వర్గమూలాన్ని రాడికల్ సైన్ నుండి సంగ్రహించడం, మిగిలిన కారకాన్ని రాడికల్ సైన్ కింద ఉంచడం. రూట్ క్రింద ఉన్న సంఖ్య ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయితే, తగ్గింపు తరువాత మేము రాడికల్ గుర్తును తొలగిస్తాము. ఉదాహరణకు, √98 ను 7√2 కు తగ్గించవచ్చు. ప్రకటన

సలహా

• పరిపూర్ణ చతురస్రాన్ని ఒక కారకంగా విభజించడానికి ఒక మార్గం ఏమిటంటే, ఖచ్చితమైన చతురస్రాల జాబితా ద్వారా వెళ్ళడం, దిగువ రాడికల్ సంఖ్యకు దగ్గరగా ఉన్న సంఖ్య నుండి ప్రయత్నించడం ప్రారంభించండి మరియు రూట్ క్రింద ఉన్న సంఖ్య యొక్క విభజన అయిన సంఖ్యను మీరు కనుగొన్నప్పుడు ఆపండి. .ఉదాహరణకు, మీరు 27 నుండి సంగ్రహించగల ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మీరు 25 వద్ద ప్రారంభించి 16 మరియు 9 వద్ద ఆపు ఎందుకంటే ఇది 27 యొక్క విభజన.
• మనం ఒక సంఖ్యను కనుగొనవలసి ఉంది, అది స్వయంగా గుణించినప్పుడు, రాడికల్ సైన్ కింద ఒక సంఖ్య వస్తుంది. ఉదాహరణకు, 25 యొక్క వర్గమూలం 5 ఎందుకంటే మనం 5 x 5 తీసుకుంటే మనకు 25 వస్తుంది. మిఠాయి తినడం అంత సులభం!

హెచ్చరిక

• మీరు పెద్ద సంఖ్యలో వ్యవహరించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు కాలిక్యులేటర్ చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, కానీ మీరు ఈ రకమైన వ్యాయామాన్ని మీరే ఎక్కువగా ప్రాక్టీస్ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తే, మీ కోసం వర్గమూలాన్ని తగ్గించడం సులభం అవుతుంది.
• సరళీకృతం మరియు అంచనా విలువలు ఒకేలా ఉండవు. వర్గమూలాన్ని తగ్గించే ప్రక్రియ దశాంశ సంఖ్యకు దారితీయదు.