విషయము

• సంక్షిప్త సారాంశం
• దశలు
• పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: మాత్రికల విభజనను పరీక్షించడం
• పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: విలోమ మాతృకను కనుగొనడం
• 3 వ భాగం 3: మాతృక గుణకారం
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు
• అదనపు కథనాలు

రెండు మాత్రికలను ఎలా గుణించాలో మీకు తెలిస్తే, మీరు మాత్రికలను "విభజించడం" ప్రారంభించవచ్చు. "విభజన" అనే పదం కొటేషన్ మార్కులతో జతచేయబడింది, ఎందుకంటే మాత్రికలు వాస్తవానికి విభజించబడవు. రెండవ మాతృక యొక్క విలోమమైన మాతృక ద్వారా ఒక మాతృకను గుణించడం ద్వారా డివిజన్ ఆపరేషన్ భర్తీ చేయబడుతుంది. సరళత కోసం, పూర్ణాంకాలతో ఒక ఉదాహరణను పరిగణించండి: 10 ÷ 5. 5: 5 యొక్క పరస్పర సంబంధాన్ని కనుగొనండి లేదా /₅, ఆపై గుణకారం ద్వారా విభజనను భర్తీ చేయండి: 10 x 5; విభజన మరియు గుణకారం యొక్క ఫలితం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, విభజనను విలోమ మాతృక ద్వారా గుణకారం ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చని నమ్ముతారు. సాధారణంగా, ఇటువంటి లెక్కలు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగిస్తారు.

సంక్షిప్త సారాంశం

1. మీరు మాత్రికలను విభజించలేరు. విభజించడానికి బదులుగా, ఒక మాతృక రెండవ మాతృక యొక్క విలోమంతో గుణించబడుతుంది. రెండు మాత్రికల "విభజన" [A] ÷ [B] క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది: [A] * [B] లేదా [B] * [A].
2. మాతృక [B] చతురస్రంగా లేనట్లయితే లేదా దాని నిర్ణాయకం 0 అయితే, "నిస్సందేహమైన పరిష్కారం లేదు" అని వ్రాయండి. లేకపోతే, మాతృక [B] యొక్క నిర్ణాయకాన్ని కనుగొని తదుపరి దశకు వెళ్లండి.
3. విలోమాన్ని కనుగొనండి: [B].
4. [A] * [B] లేదా [B] * [A] ను కనుగొనడానికి మాత్రికలను గుణించండి. మాత్రికలు గుణించబడిన క్రమం తుది ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేస్తుందని గుర్తుంచుకోండి (అనగా ఫలితాలు మారవచ్చు).

దశలు

పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: మాత్రికల విభజనను పరీక్షించడం

1. 1 మాత్రికల "విభజన" ను అర్థం చేసుకోండి. నిజానికి, మాత్రికలు విభజించబడవు. "ఒక మాతృకను మరొకదానితో విభజించడం" వంటి గణిత కార్యకలాపాలు లేవు. రెండవ మాతృక యొక్క విలోమంతో ఒక మాతృకను గుణించడం ద్వారా డివిజన్ భర్తీ చేయబడుతుంది. అంటే, [A] B [B] సంజ్ఞామానం సరైనది కాదు, కనుక ఇది క్రింది సంజ్ఞామానం ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది: [A] * [B]. స్కేలార్ విలువల విషయంలో రెండు ఎంట్రీలు సమానమైనవి కాబట్టి, సైద్ధాంతికంగా మనం మాత్రికల "విభజన" గురించి మాట్లాడవచ్చు, అయితే సరైన పరిభాషను ఉపయోగించడం ఇంకా మంచిది.
   • [A] * [B] మరియు [B] * [A] వేర్వేరు కార్యకలాపాలు అని గమనించండి. సాధ్యమయ్యే అన్ని పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి రెండు ఆపరేషన్లను నిర్వహించడం అవసరం కావచ్చు.
   • ఉదాహరణకు, బదులుగా ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ వ్రాయండి ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { ప్రారంభం {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 ముగింపు {pmatrix}} ^ {- 1} }$.
     మీరు లెక్కించాల్సి ఉండవచ్చు ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 ముగింపు {pmatrix}} ^ {- 1} * { ప్రారంభం {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 ముగింపు {pmatrix}} }$విభిన్న ఫలితాన్ని పొందడానికి.
2. 2 మీరు ఇతర మాతృకను చతురస్రంగా "విభజించే" మాతృక అని నిర్ధారించుకోండి. మాతృకను విలోమం చేయడానికి (మాతృక యొక్క విలోమాన్ని కనుగొనండి), అది చతురస్రంగా ఉండాలి, అంటే అదే సంఖ్యలో వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలు ఉండాలి. విలోమ మాతృక విలోమంగా లేకపోతే, ఖచ్చితమైన పరిష్కారం లేదు.
   • మళ్ళీ, మాత్రికలు ఇక్కడ "విభజించబడవు". ఆపరేషన్ [A] * [B] లో, వివరించిన పరిస్థితి మాతృకను సూచిస్తుంది [B]. మా ఉదాహరణలో, ఈ పరిస్థితి మాతృకను సూచిస్తుంది ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 ముగింపు {pmatrix}}}$
   • తలక్రిందులుగా ఉండే మాతృకను నాన్ డిజెనరేట్ లేదా రెగ్యులర్ అంటారు. విలోమం చేయలేని మాతృకను అధోకరణం లేదా ఏకవచనం అంటారు.
3. 3 రెండు మాత్రికలను గుణించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయండి. రెండు మాత్రికలను గుణించడానికి, మొదటి మాతృకలోని నిలువు వరుసల సంఖ్య రెండవ మాతృకలోని వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండాలి. ఎంట్రీ [A] * [B] లేదా [B] * [A] లో ఈ షరతు నెరవేరకపోతే, పరిష్కారం లేదు.
   • ఉదాహరణకు, మాతృక [A] పరిమాణం 4 x 3 మరియు మాతృక పరిమాణం [B] 2 x 2 అయితే, పరిష్కారం లేదు. మీరు [A] * [B] ను 4 ≠ 2 తో గుణించలేరు, మరియు మీరు [B] * [A] 2 ≠ 3 కారణంగా గుణించలేరు.
   • విలోమ మాతృక [B] ఎల్లప్పుడూ అసలు మాతృక [B] వలె ఒకే వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుందని గమనించండి. రెండు మాత్రికలను గుణించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయడానికి విలోమ మాతృకను కనుగొనడం అవసరం లేదు.
   • మా ఉదాహరణలో, రెండు మాత్రికల పరిమాణం 2 x 2, కాబట్టి వాటిని ఏ క్రమంలోనైనా గుణించవచ్చు.
4. 4 2 × 2 మాతృక యొక్క నిర్ణాయకాన్ని కనుగొనండి. గుర్తుంచుకోండి: మాత్రికను దాని నిర్ణయాధికారం సున్నా కానట్లయితే మాత్రమే మీరు విలోమం చేయవచ్చు (లేకపోతే, మీరు మాతృకను విలోమం చేయలేరు). 2 x 2 మాత్రిక యొక్క నిర్ణాయకాన్ని ఎలా కనుగొనాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • 2 x 2 మాతృక: మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి ${ displaystyle { start {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ ప్రకటన - bc కి సమానం. అంటే, ప్రధాన వికర్ణ మూలకాల ఉత్పత్తి నుండి (ఎగువ ఎడమ మరియు దిగువ కుడి మూలల గుండా వెళుతుంది), ఇతర వికర్ణ మూలకాల ఉత్పత్తులను తీసివేయండి (ఎగువ కుడి మరియు దిగువ ఎడమ మూలల గుండా వెళుతుంది).
   • ఉదాహరణకు, మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 ముగింపు {pmatrix}}}$ సమానం (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. డిటర్మినెంట్ నాన్‌జెరో, కాబట్టి ఈ మాతృక విలోమం కావచ్చు.
5. 5 పెద్ద మాతృక యొక్క నిర్ణాయకాన్ని కనుగొనండి. మాతృక పరిమాణం 3 x 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటే, నిర్ణాయకం లెక్కించడం కొంచెం కష్టం.
   • 3 x 3 మాతృక: ఏదైనా అంశాన్ని ఎంచుకుని, అది ఉన్న అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసను దాటండి.ఫలిత 2 × 2 మాతృక యొక్క నిర్ణాయకాన్ని కనుగొని, ఆపై దానిని ఎంచుకున్న మూలకం ద్వారా గుణించండి; ప్రత్యేక పట్టికలో నిర్ణాయక చిహ్నాన్ని పేర్కొనండి. మీరు ఎంచుకున్న అంశం వలె ఒకే వరుసలో లేదా నిలువు వరుసలో ఉన్న ఇతర రెండు అంశాల కోసం ఈ ప్రక్రియను పునరావృతం చేయండి. అందుకున్న (మూడు) నిర్ణాయకాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి. 3 x 3 మాత్రిక యొక్క నిర్ణయాధికారిని ఎలా కనుగొనాలో మరింత సమాచారం కోసం ఈ కథనాన్ని చదవండి.
   • పెద్ద మాత్రికలు: అటువంటి మాత్రికలను నిర్ణయించేది గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ లేదా సాఫ్ట్‌వేర్‌తో ఉత్తమంగా కోరబడుతుంది. ఈ పద్ధతి 3 × 3 మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొనే పద్ధతిని పోలి ఉంటుంది, అయితే దీన్ని మానవీయంగా వర్తింపచేయడం చాలా శ్రమతో కూడుకున్నది. ఉదాహరణకు, 4 x 4 మాత్రిక యొక్క నిర్ణాయకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు నాలుగు 3 x 3 మాత్రికల నిర్ణాయకాలను కనుగొనాలి.
6. 6 లెక్కలు కొనసాగించండి. మాతృక చతురస్రంగా లేకపోయినా లేదా దాని నిర్ణయాధికారం సున్నాకి సమానమైతే, "నిస్సందేహమైన పరిష్కారం లేదు" అని వ్రాయండి, అనగా గణన ప్రక్రియ పూర్తయింది. మాతృక చతురస్రంగా ఉండి, నాన్‌జెరో డిటర్మినెంట్ కలిగి ఉంటే, తదుపరి విభాగానికి వెళ్లండి.

పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: విలోమ మాతృకను కనుగొనడం

1. 1 2 x 2 మాతృక యొక్క ప్రధాన వికర్ణ మూలకాలను మార్చుకోండి. 2 × 2 మాతృక ఇవ్వబడింది, శీఘ్ర విలోమ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. ముందుగా, ఎగువ-ఎడమ మూలకాన్ని మరియు దిగువ-కుడి మూలకాన్ని మార్చుకోండి. ఉదాహరణకి:
   • ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 ముగింపు {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 ముగింపు {pmatrix}}}$
   • గమనిక: 3 x 3 (లేదా పెద్ద) మాతృకను విలోమం చేయడానికి చాలా మంది కాలిక్యులేటర్‌లను ఉపయోగిస్తారు. మీరు దీన్ని మాన్యువల్‌గా చేయాల్సి వస్తే, ఈ విభాగం చివరకి వెళ్లండి.
2. 2 మిగిలిన రెండు మూలకాలను మార్చుకోకండి, కానీ వాటి గుర్తును మార్చండి. అంటే, ఎగువ-కుడి మూలకాన్ని మరియు దిగువ-ఎడమ మూలకాన్ని -1 ద్వారా గుణించండి:
   • ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 ముగింపు {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { start {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 ముగింపు {pmatrix}}}$
3. 3 నిర్ణయాధికారి యొక్క పరస్పర సంబంధాన్ని కనుగొనండి. ఈ మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి మునుపటి విభాగంలో కనుగొనబడింది, కాబట్టి మేము దానిని మళ్లీ లెక్కించము. డిటర్మినెంట్ యొక్క విలోమం క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది: 1 / (డిటర్మినెంట్):
   • మా ఉదాహరణలో, డిటర్మినెంట్ 13. రివర్స్ వాల్యూ: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$.
4. 4 ఫలిత మాతృకను నిర్ణాయకం యొక్క పరస్పరం ద్వారా గుణించండి. కొత్త మాతృకలోని ప్రతి మూలకాన్ని నిర్ణయాధికారి విలోమంతో గుణించండి. చివరి మాతృక అసలు 2 x 2 మాతృక యొక్క విలోమంగా ఉంటుంది:
   • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { ప్రారంభం {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 ముగింపు {pmatrix}}}$
     =${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} ముగింపు {pmatrix}}}$
5. 5 లెక్కలు సరిగ్గా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, అసలు మాతృకను దాని విలోమంతో గుణించండి. లెక్కలు సరిగ్గా ఉంటే, విలోమం ద్వారా అసలు మాతృక యొక్క ఉత్పత్తి గుర్తింపు మాతృకను ఇస్తుంది: ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 ముగింపు {pmatrix}}}$... పరీక్ష విజయవంతమైతే, తదుపరి విభాగానికి వెళ్లండి.
   • మా ఉదాహరణలో: ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} ముగింపు {pmatrix}} * { ప్రారంభం {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 ముగింపు {pmatrix}} = { ప్రారంభం {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 ముగింపు {pmatrix}}}$.
   • మాత్రికలను ఎలా గుణించాలి అనే దాని గురించి మరింత సమాచారం కోసం, ఈ కథనాన్ని చదవండి.
   • గమనిక: మాతృక గుణకారం యొక్క ఆపరేషన్ మార్పిడి కాదు, అంటే మాత్రికల క్రమం ముఖ్యం. కానీ అసలు మాతృక దాని విలోమంతో గుణించినప్పుడు, ఏదైనా క్రమం గుర్తింపు మాతృకకు దారితీస్తుంది.
6. 6 3 x 3 మాతృక యొక్క విలోమాన్ని కనుగొనండి (లేదా పెద్దది). ఈ ప్రక్రియ మీకు ఇప్పటికే తెలిసి ఉంటే, గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ లేదా ప్రత్యేక సాఫ్ట్‌వేర్‌ని ఉపయోగించడం మంచిది. మీరు విలోమ మాతృకను మానవీయంగా కనుగొనవలసి వస్తే, ఈ ప్రక్రియ క్లుప్తంగా క్రింద వివరించబడింది:
   • అసలు మాతృక యొక్క కుడి వైపున గుర్తింపు మాతృక I లో చేరండి. ఉదాహరణకు, [B] → [B | నేను]. గుర్తింపు మాతృక కొరకు, ప్రధాన వికర్ణంలోని అన్ని మూలకాలు 1 కి సమానం, మరియు అన్ని ఇతర అంశాలు 0 కి సమానం.
   • మాతృకను సరళీకృతం చేయండి, తద్వారా దాని ఎడమ వైపు అడుగు వేయబడుతుంది; సరళీకరించడం కొనసాగించండి, తద్వారా ఎడమ వైపు గుర్తింపు మాతృక అవుతుంది.
   • సరళీకరణ తర్వాత, మాతృక కింది రూపాన్ని పొందుతుంది: [I | బి]. అంటే, దాని కుడి వైపు అసలు మాతృక యొక్క విలోమం.

3 వ భాగం 3: మాతృక గుణకారం

1. 1 సాధ్యమయ్యే రెండు వ్యక్తీకరణలను వ్రాయండి. రెండు స్కేలార్లను గుణించడం యొక్క ఆపరేషన్ కమ్యుటేటివ్, అంటే 2 x 6 = 6 x 2.మాతృక గుణకారం విషయంలో ఇది అలా కాదు, కాబట్టి మీరు రెండు వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించాల్సి ఉంటుంది:
   • x = [A] * [B] సమీకరణానికి పరిష్కారం x[B] = [A].
   • x = [B] * [A] సమీకరణానికి పరిష్కారం [B]x = [A].
   • సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ప్రతి గణిత ఆపరేషన్ చేయండి. ఒకవేళ [A] = [C] అప్పుడు [B] [A] C [C] [B] ఎందుకంటే [B] [A] కు ఎడమ వైపున ఉంటుంది కానీ [C] కు కుడివైపున ఉంటుంది.
2. 2 తుది మాతృక యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్ణయించండి. తుది మాతృక పరిమాణం గుణించిన మాత్రికల పరిమాణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. చివరి మాతృకలోని వరుసల సంఖ్య మొదటి మాతృకలోని వరుసల సంఖ్యకు సమానం, మరియు చివరి మాతృకలోని నిలువు వరుసల సంఖ్య రెండవ మాతృకలోని నిలువు వరుసల సంఖ్యకు సమానం.
   • మా ఉదాహరణలో, రెండు మాత్రికల పరిమాణం ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 ముగింపు {pmatrix}}}$ మరియు ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} ముగింపు {pmatrix}}}$ 2 x 2, కాబట్టి అసలు మాతృక పరిమాణం 2 x 2 అవుతుంది.
   • మరింత క్లిష్టమైన ఉదాహరణను పరిగణించండి: మాతృక [A] పరిమాణం ఉంటే 4 x 3, మరియు మాతృక పరిమాణం [B] 3 x 3, అప్పుడు చివరి మాతృక [A] * [B] 4 x 3 అవుతుంది.
3. 3 మొదటి మూలకం విలువను కనుగొనండి. ఈ కథనాన్ని చదవండి లేదా కింది ప్రాథమిక దశలను గుర్తుంచుకోండి:
   • తుది మాతృక [A] [B] యొక్క మొదటి మూలకాన్ని (మొదటి వరుస, మొదటి నిలువు వరుస) కనుగొనడానికి, మాతృక [A] యొక్క మొదటి వరుస మూలకాల యొక్క చుక్క ఉత్పత్తిని మరియు మాతృక [B యొక్క మొదటి కాలమ్ మూలకాలను లెక్కించండి ]. 2 x 2 మాతృక విషయంలో, డాట్ ఉత్పత్తి ఈ క్రింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది: ${ ప్రదర్శన శైలి a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$.
   • మా ఉదాహరణలో: ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { ఫ్రాక్ {-2} {13}} & { ఫ్రాక్ {7} {13}} ముగింపు {pmatrix}}}$... అందువలన, తుది మాతృక యొక్క మొదటి మూలకం మూలకం:
     ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
     ${ displaystyle = 3 + -4}$
     ${ displaystyle = -1}$
4. 4 తుది మాతృకలోని ప్రతి మూలకాన్ని కనుగొనడానికి డాట్ ఉత్పత్తులను లెక్కించడం కొనసాగించండి. ఉదాహరణకు, రెండవ వరుసలో ఉన్న మూలకం మరియు మొదటి కాలమ్ మాతృక [A] మరియు మాతృక [B] యొక్క మొదటి నిలువు వరుస యొక్క రెండవ వరుస యొక్క చుక్క ఉత్పత్తికి సమానం. మిగిలిన వస్తువులను మీరే కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. మీరు ఈ క్రింది ఫలితాలను పొందాలి:
   • ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { ఫ్రాక్ {-2} {13}} & { ఫ్రాక్ {7} {13}} ముగింపు {pmatrix}} = { ప్రారంభం {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 ముగింపు {pmatrix}}}$
   • మీరు మరొక పరిష్కారాన్ని కనుగొనవలసి వస్తే: ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} ముగింపు {pmatrix}} * { ప్రారంభం {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 ముగింపు {pmatrix}} = { ప్రారంభం {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 ముగింపు {pmatrix}}}$

చిట్కాలు

• మాతృకను స్కేలార్‌గా విభజించవచ్చు; దీని కోసం, మాతృకలోని ప్రతి మూలకం స్కేలార్ ద్వారా విభజించబడింది.
  • ఉదాహరణకు, మాతృక అయితే ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 ముగింపు {pmatrix}}}$ 2 ద్వారా భాగిస్తే, మీరు మాతృకను పొందుతారు ${ displaystyle { ప్రారంభం {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 ముగింపు {pmatrix}}}$

హెచ్చరికలు

• మాతృక లెక్కల విషయానికి వస్తే కాలిక్యులేటర్ ఎల్లప్పుడూ ఖచ్చితమైన ఫలితాలను ఇవ్వదు. ఉదాహరణకు, వస్తువు చాలా చిన్న సంఖ్య (2E వంటిది) అని కాలిక్యులేటర్ పేర్కొంటే, విలువ చాలావరకు సున్నా.

అదనపు కథనాలు

మాత్రికలను ఎలా గుణించాలి 3x3 మాతృక యొక్క విలోమాన్ని ఎలా కనుగొనాలి 3X3 మాతృక యొక్క నిర్ణాయకాన్ని ఎలా కనుగొనాలి క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట లేదా కనిష్టాన్ని ఎలా కనుగొనాలి ఫ్రీక్వెన్సీని ఎలా లెక్కించాలి వర్గ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి కొలత టేప్ లేకుండా ఎత్తును ఎలా కొలవాలి ఒక సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని మానవీయంగా ఎలా కనుగొనాలి మిల్లీలీటర్లను గ్రాములుగా ఎలా మార్చాలి బైనరీ నుండి దశాంశానికి ఎలా మార్చాలి పై విలువను ఎలా లెక్కించాలి దశాంశ నుండి బైనరీకి ఎలా మార్చాలి సంభావ్యతను ఎలా లెక్కించాలి నిమిషాలను గంటలుగా ఎలా మార్చాలి