విషయము

• దశలు
• పద్ధతి 4 లో 1: హారం లో మోనోమియల్
• 4 వ పద్ధతి 2: హారం లో ద్విపద
• 4 లో 3 వ పద్ధతి: రివర్స్ ఎక్స్‌ప్రెషన్
• 4 లో 4 వ పద్ధతి: క్యూబిక్ రూట్ హారం

గణితంలో, భిన్నం యొక్క హారం లో మూలాన్ని లేదా అహేతుక సంఖ్యను వదిలివేయడం ఆచారం కాదు. హారం రూట్ అయితే, రూట్ వదిలించుకోవడానికి కొంత భాగాన్ని లేదా వ్యక్తీకరణ ద్వారా భిన్నాన్ని గుణించండి. ఆధునిక కాలిక్యులేటర్లు హారం లో మూలాలతో పనిచేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి, అయితే విద్యా కార్యక్రమానికి విద్యార్థులు హారం లోని అహేతుకతను వదిలించుకోగలగాలి.

దశలు

పద్ధతి 4 లో 1: హారం లో మోనోమియల్

1. 1 భిన్నం నేర్చుకోండి. హారం లో మూలం లేకపోతే భిన్నం సరిగ్గా వ్రాయబడుతుంది. హారం ఒక చతురస్రం లేదా మరేదైనా మూలాన్ని కలిగి ఉంటే, రూట్ వదిలించుకోవడానికి మీరు న్యూమోరేటర్ మరియు హారం కొంత మోనోమియల్‌తో గుణించాలి. దయచేసి న్యూమరేటర్‌లో రూట్ ఉండవచ్చు - ఇది సాధారణమైనది.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}}$
   • ఇక్కడ హారం రూట్ కలిగి ఉంది ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 హారం యొక్క మూలం ద్వారా న్యూమరేటర్ మరియు హారం గుణించండి. హారం మోనోమియల్ కలిగి ఉంటే, అటువంటి భిన్నాన్ని హేతుబద్ధం చేయడం చాలా సులభం. న్యూమోరేటర్ మరియు హారం ఒకే మోనోమియల్‌తో గుణించండి (అంటే, మీరు భాగాన్ని 1 ద్వారా గుణిస్తారు).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • మీరు కాలిక్యులేటర్‌లో పరిష్కారం కోసం వ్యక్తీకరణను నమోదు చేస్తున్నట్లయితే, వాటిని వేరు చేయడానికి ప్రతి భాగం చుట్టూ కుండలీకరణాలను ఉంచాలని నిర్ధారించుకోండి.
3. 3 భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి (వీలైతే). మా ఉదాహరణలో, సంఖ్యా మరియు హారం 7 ద్వారా భాగించడం ద్వారా దీనిని సంక్షిప్తీకరించవచ్చు.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { ఫ్రాక్ {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

4 వ పద్ధతి 2: హారం లో ద్విపద

1. 1 భిన్నం నేర్చుకోండి. దాని హారం రెండు మోనోమియల్స్ యొక్క మొత్తం లేదా వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటే, వాటిలో ఒకటి రూట్ కలిగి ఉంటే, అహేతుకతను వదిలించుకోవడానికి అటువంటి ద్విపద ద్వారా భిన్నాన్ని గుణించడం అసాధ్యం.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}}$
   • దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, భిన్నాన్ని రాయండి ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$ఎక్కడ మోనోమియల్ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ లేదా ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$ మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ విషయంలో: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b b {2}}$... అందువలన, మోనోమియల్ ${ displaystyle 2ab}$ ఇప్పటికీ మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది (ఒకవేళ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ లేదా ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$ మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది).
   • మన ఉదాహరణను చూద్దాం.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • మీరు హారం లోని మోనోమియల్‌ని వదిలించుకోలేరని మీరు చూస్తారు ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 హారం లోని ద్విపద యొక్క ద్విపద సంయోగం ద్వారా సంఖ్య మరియు హారం గుణించండి. సంయోగ ద్విపద అంటే ఒకే మోనోమియల్‌తో కూడిన ద్విపద, కానీ వాటి మధ్య వ్యతిరేక గుర్తు ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, బినోమ్ ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ ద్విపదకు సంయోగం ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • ఈ పద్ధతి యొక్క అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోండి. భిన్నాన్ని మళ్లీ పరిగణించండి ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... హారం లోని ద్విపదకు ద్విపద సంయోగం ద్వారా సంఖ్య మరియు హారం గుణించాలి: ${ displaystyle (a + b) (a -b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... అందువల్ల, మూలాలను కలిగి ఉన్న ఏకశిలాలు లేవు. మోనోమియల్స్ కాబట్టి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$ చతురస్రంగా ఉంటాయి, మూలాలు తొలగించబడతాయి.
3. 3 భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి (వీలైతే). న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలో ఉమ్మడి అంశం ఉంటే, దాన్ని రద్దు చేయండి. మా విషయంలో, 4 - 2 = 2, ఇది భిన్నాన్ని తగ్గించడానికి ఉపయోగపడుతుంది.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2-{ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

4 లో 3 వ పద్ధతి: రివర్స్ ఎక్స్‌ప్రెషన్

1. 1 సమస్యను పరిశీలించండి. మీరు రూట్‌ని కలిగి ఉన్న ఒక విలోమ వ్యక్తీకరణను కనుగొనవలసి వస్తే, మీరు ఫలిత భిన్నాన్ని హేతుబద్ధం చేయాలి (మరియు అప్పుడు మాత్రమే దాన్ని సరళీకృతం చేయండి). ఈ సందర్భంలో, మొదటి లేదా రెండవ విభాగాలలో వివరించిన పద్ధతిని ఉపయోగించండి (పనిని బట్టి).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 వ్యతిరేక వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి. దీన్ని చేయడానికి, ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ ద్వారా 1 ని విభజించండి; ఒక భిన్నం ఇచ్చినట్లయితే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం మార్చుకోండి. ఏదైనా వ్యక్తీకరణ హారం 1 లో ఒక భిన్నం అని గుర్తుంచుకోండి.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}}$
3. 3 రూట్ వదిలించుకోవడానికి కొన్ని వ్యక్తీకరణ ద్వారా న్యూమరేటర్ మరియు హారం గుణించండి. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే వ్యక్తీకరణ ద్వారా గుణించడం ద్వారా, మీరు భాగాన్ని 1 ద్వారా గుణిస్తారు, అనగా భిన్నం విలువ మారదు. మా ఉదాహరణలో, మాకు ద్విపద ఇవ్వబడింది, కాబట్టి సంయోగం ద్విపద ద్వారా సంఖ్యా మరియు హారాన్ని గుణించండి.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి (వీలైతే). మా ఉదాహరణలో, 4 - 3 = 1, కాబట్టి భిన్నం యొక్క హారం లోని వ్యక్తీకరణ పూర్తిగా రద్దు చేయబడుతుంది.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • సమాధానం ఈ ద్విపదకు ద్విపద సంయోగం. ఇది కేవలం యాదృచ్చికం.

4 లో 4 వ పద్ధతి: క్యూబిక్ రూట్ హారం

1. 1 భిన్నం నేర్చుకోండి. ఈ సమస్య చాలా అరుదుగా ఉన్నప్పటికీ, క్యూబ్ మూలాలను కలిగి ఉండవచ్చు. వివరించిన పద్ధతి ఏదైనా డిగ్రీ మూలాలకు వర్తిస్తుంది.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 మూలాన్ని శక్తిగా తిరిగి వ్రాయండి. ఇక్కడ మీరు న్యూమోరేటర్ మరియు హారం కొంత మోనోమియల్ లేదా ఎక్స్‌ప్రెషన్‌తో గుణించలేరు, ఎందుకంటే హేతుబద్ధీకరణ కొద్దిగా భిన్నమైన రీతిలో జరుగుతుంది.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 భిన్నం యొక్క సంఖ్యా మరియు హారాన్ని కొంత శక్తితో గుణించండి, తద్వారా హారం లోని ఘాతాంకం 1 అవుతుంది. మా ఉదాహరణలో, భాగాన్ని గుణించండి ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... డిగ్రీలు గుణించినప్పుడు, వాటి సూచికలు జోడించబడతాయని గుర్తుంచుకోండి: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • డిగ్రీ n యొక్క ఏదైనా మూలాలకు ఈ పద్ధతి వర్తిస్తుంది. ఒక భిన్నం ఇస్తే ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, సంఖ్య మరియు హారం ద్వారా గుణించండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... అందువలన, హారం లోని ఘాతాంకం 1 అవుతుంది.
4. 4 భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి (వీలైతే).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • అవసరమైతే, సమాధానంలో మూలాన్ని వ్రాయండి. మా ఉదాహరణలో, ఘాతాన్ని రెండు కారకాలుగా గుర్తించండి: ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 1/3}$ మరియు ${ displaystyle 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$