విషయము

• దశలు
• పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: ఫ్యాక్టరింగ్ బినోమియల్స్
• పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి బైనమియల్స్ ఫ్యాక్టరింగ్
• 3 వ భాగం 3: సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడం
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

ద్విపద (ద్విపద) అనేది రెండు పదాలతో కూడిన గణిత వ్యక్తీకరణ, వీటి మధ్య ప్లస్ లేదా మైనస్ గుర్తు ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ యాక్స్ + బి}$... మొదటి సభ్యుడు వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉంటారు, మరియు రెండవది దానిని కలిగి ఉంటుంది లేదా చేర్చదు. బైనామియల్‌ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం అనేది గుణించినప్పుడు, దాన్ని పరిష్కరించడానికి లేదా సరళీకృతం చేయడానికి అసలైన ద్విపదను ఉత్పత్తి చేసే పదాలను కనుగొనడం.

దశలు

పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: ఫ్యాక్టరింగ్ బినోమియల్స్

1. 1 ఫ్యాక్టరింగ్ ప్రక్రియ యొక్క ప్రాథమికాలను అర్థం చేసుకోండి. బైనామియల్‌ని ఫ్యాక్టర్ చేసేటప్పుడు, అసలు బైనమియల్ యొక్క ప్రతి పదం యొక్క భాగాన్ని విభజించే అంశం బ్రాకెట్ నుండి బయటకు తీయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 6 వ సంఖ్య పూర్తిగా 1, 2, 3, 6. ద్వారా భాగించబడుతుంది. అందువలన, సంఖ్య 6 యొక్క భాజకాలు 1, 2, 3, 6 సంఖ్యలు.
   • విభజనలు 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • ఏదైనా సంఖ్య యొక్క భాజకాలు 1 మరియు సంఖ్య కూడా. ఉదాహరణకు, 3 యొక్క భాగాలు 1 మరియు 3.
   • పూర్ణాంక భాజకాలు పూర్ణాంకాలు మాత్రమే కావచ్చు. 32 సంఖ్యను 3.564 లేదా 21.4952 ద్వారా విభజించవచ్చు, కానీ మీకు పూర్ణాంకం కాదు, దశాంశ భిన్నం వస్తుంది.
2. 2 ఫ్యాక్టరింగ్ ప్రక్రియను సులభతరం చేయడానికి ద్విపద నిబంధనలను ఆర్డర్ చేయండి. ద్విపద అనేది రెండు పదాల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం, వీటిలో కనీసం ఒక వేరియబుల్ ఉంటుంది. కొన్నిసార్లు వేరియబుల్స్ ఒక శక్తికి పెంచబడతాయి, ఉదాహరణకు, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2}}$ లేదా ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... ద్విపద నిబంధనలను ఘాతాల ఆరోహణ క్రమంలో ఆర్డర్ చేయడం మంచిది, అంటే, అతి చిన్న ఘాతాంకం ఉన్న పదం మొదట వ్రాయబడింది, మరియు అతిపెద్దది - చివరిది. ఉదాహరణకి:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 6 + 3 టి}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • ముందు ఉన్న మైనస్ గుర్తును గమనించండి 2. ఒక పదం తీసివేయబడితే, దాని ముందు ఒక మైనస్ గుర్తు రాయండి.
3. 3 రెండు పదాలలో గొప్ప సాధారణ విభజన (GCD) ని కనుగొనండి. GCD అనేది బైనమియల్ సభ్యులు ఇద్దరూ విభజించబడే అతిపెద్ద సంఖ్య. దీన్ని చేయడానికి, ద్విపదలో ప్రతి పదం యొక్క భాగాన్ని కనుగొని, ఆపై గొప్ప సాధారణ భాగాన్ని ఎంచుకోండి. ఉదాహరణకి:
   • ఒక పని:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • భాగాకులు 3: 1, 3
     • విభజనలు 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 బైనమియల్‌లో ప్రతి పదాన్ని గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ (జిసిడి) ద్వారా విభజించండి. GCD ని గుర్తించడానికి దీన్ని చేయండి. ద్విపదలోని ప్రతి సభ్యుడు తగ్గుతాడని గమనించండి (ఎందుకంటే ఇది విభజించదగినది), కానీ GCD కుండలీకరణం నుండి మినహాయించబడితే, తుది వ్యక్తీకరణ అసలైన దానికి సమానంగా ఉంటుంది.
   • ఒక పని:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD ని కనుగొనండి: 3
   • ప్రతి ద్విపద పదాన్ని gcd ద్వారా విభజించండి:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 కుండలీకరణాల నుండి భాగాన్ని తరలించండి. ఇంతకు ముందు, మీరు ద్విపద యొక్క రెండు పదాలను భాగిణి 3 ద్వారా విభజించి పొందారు ${ displaystyle t + 2}$... కానీ మీరు 3 ని వదిలించుకోలేరు - ప్రారంభ మరియు చివరి వ్యక్తీకరణల విలువలు సమానంగా ఉండాలంటే, మీరు కుండలీకరణాల వెలుపల 3 ఉంచాలి మరియు కుండలీకరణాలలో విభజన ఫలితంగా పొందిన వ్యక్తీకరణను వ్రాయాలి. ఉదాహరణకి:
   • ఒక పని:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD ని కనుగొనండి: 3
   • ప్రతి ద్విపద పదాన్ని gcd ద్వారా విభజించండి:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • ఫలిత వ్యక్తీకరణ ద్వారా భాజకాన్ని గుణించండి:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • సమాధానం: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 మీ సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయండి. ఇది చేయుటకు, బ్రాకెట్లలోని ప్రతి పదాన్ని బ్రాకెట్‌ల ముందు ఉన్న పదాన్ని గుణించండి. మీరు అసలు ద్విపదను పొందినట్లయితే, పరిష్కారం సరైనది. ఇప్పుడు సమస్యను పరిష్కరించండి ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • సభ్యులను ఆదేశించండి:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • GCD ని కనుగొనండి:${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 6}$
   • ప్రతి ద్విపద పదాన్ని gcd ద్వారా విభజించండి:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • ఫలిత వ్యక్తీకరణ ద్వారా భాజకాన్ని గుణించండి:${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 6 (3 + 2 టి)}$
   • సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయండి:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి బైనమియల్స్ ఫ్యాక్టరింగ్

1. 1 ద్విపదను సరళీకృతం చేయడానికి మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి కారకం. మొదటి చూపులో, కొన్ని సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అసాధ్యం అనిపిస్తుంది (ముఖ్యంగా సంక్లిష్ట ద్విపదలతో). ఉదాహరణకు, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... ఈ సమీకరణంలో శక్తులు ఉన్నాయి, కాబట్టి ముందుగా వ్యక్తీకరణకు కారకం.
   • ఒక పని:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • ద్విపదలో ఇద్దరు సభ్యులు ఉన్నారని గుర్తుంచుకోండి. వ్యక్తీకరణలో మరిన్ని నిబంధనలు ఉంటే, బహుపదాలను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోండి.
2. 2 సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా కొంత మోనోమియల్‌ని జోడించండి లేదా తీసివేయండి, తద్వారా సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు సున్నా ఉంటుంది. కారకం విషయంలో, సమీకరణాల పరిష్కారం సున్నా ద్వారా గుణించిన ఏదైనా వ్యక్తీకరణ సున్నాకి సమానం అనే మార్పులేని వాస్తవంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కాబట్టి, మనం సమీకరణాన్ని సున్నాకి సమానం చేస్తే, దాని కారకాలు ఏవైనా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. సమీకరణం యొక్క ఒక వైపును 0 కి సెట్ చేయండి.
   • ఒక పని:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • సున్నాకి సెట్ చేయండి:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 ఫలిత బిన్ కారకం. మునుపటి విభాగంలో వివరించిన విధంగా దీన్ని చేయండి. గొప్ప సాధారణ కారకాన్ని (GCD) కనుగొనండి, ద్విపద యొక్క రెండు పదాలను దాని ద్వారా విభజించండి, ఆపై కారకాన్ని కుండలీకరణాల నుండి బయటకు తరలించండి.
   • ఒక పని:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • సున్నాకి సెట్ చేయండి:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • కారకం:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 ప్రతి కారకాన్ని సున్నాకి సెట్ చేయండి. ఫలిత వ్యక్తీకరణలో, 2y 4 - y ద్వారా గుణించబడుతుంది మరియు ఈ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం. సున్నాతో గుణించిన ఏదైనా వ్యక్తీకరణ (లేదా పదం) సున్నా కనుక, 2y లేదా 4 - y 0. ఫలితంగా వచ్చే ఏకవర్గం మరియు ద్విపదను సున్నాకి సెట్ చేసి "y" ని కనుగొనండి.
   • ఒక పని:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • సున్నాకి సెట్ చేయండి:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • కారకం:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • రెండు కారకాలను 0 కి సెట్ చేయండి:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 తుది సమాధానం (లేదా సమాధానాలు) కనుగొనడానికి ఫలిత సమీకరణాలను పరిష్కరించండి. ప్రతి కారకం సున్నాకి సమానం కాబట్టి, సమీకరణం బహుళ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. మా ఉదాహరణలో:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 మీ సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, కనుగొన్న విలువలను అసలు సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. సమానత్వం నిజమైతే, నిర్ణయం సరైనది. కనుగొనబడిన విలువలను "y" కి బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మా ఉదాహరణలో, y = 0 మరియు y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$ఇది సరైన నిర్ణయం
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$మరియు ఇది సరైన నిర్ణయం

3 వ భాగం 3: సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడం

1. 1 వేరియబుల్ పవర్‌కి పెంచినప్పటికీ, వేరియబుల్ ఉన్న టర్మ్ కూడా ఫ్యాక్టరైజ్ చేయబడవచ్చని గుర్తుంచుకోండి. కారకం చేసేటప్పుడు, ద్విపదలోని ప్రతి సభ్యుడిని సమగ్రంగా విభజించే ఒక మోనోమియల్‌ను మీరు కనుగొనాలి. ఉదాహరణకు, మోనోమియల్ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {4}}$ కారకం చేయవచ్చు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x * x * x * x}$... అంటే, ద్విపదలోని రెండవ పదం "x" వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉంటే, "x" ని బ్రాకెట్‌ల నుండి బయటకు తీయవచ్చు. కాబట్టి, వేరియబుల్స్‌ను పూర్ణాంకాలుగా పరిగణించండి. ఉదాహరణకి:
   • ద్విపద సభ్యులు ఇద్దరూ ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ "t" ని కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి "t" ను కుండలీకరణం నుండి బయటకు తీయవచ్చు: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • అలాగే, శక్తికి పెంచబడిన వేరియబుల్ బ్రాకెట్ నుండి బయటకు తీయవచ్చు. ఉదాహరణకు, ద్విపదలోని ఇద్దరు సభ్యులు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2} + x ^ {4}}$ కలిగి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2}}$, కాబట్టి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2}}$ బ్రాకెట్ నుండి బయటకు తీయవచ్చు: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 ద్విపద పొందడానికి ఇలాంటి పదాలను జోడించండి లేదా తీసివేయండి. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడింది ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... మొదటి చూపులో, ఇది బహుపది, కానీ వాస్తవానికి, ఈ వ్యక్తీకరణను ద్విపదగా మార్చవచ్చు. సారూప్య పదాలను జోడించండి: 6 మరియు 14 (వేరియబుల్ కలిగి ఉండవు), మరియు 2x మరియు 3x (ఒకే వేరియబుల్ "x" కలిగి ఉంటాయి). ఈ సందర్భంలో, కారకం ప్రక్రియ సరళీకృతం చేయబడుతుంది:
   • అసలు వ్యక్తీకరణ:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • సభ్యులను ఆదేశించండి:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • ఇలాంటి నిబంధనలను జోడించండి:${ displaystyle 5x + 20}$
   • GCD ని కనుగొనండి:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • కారకం:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 ఖచ్చితమైన చతురస్రాల వ్యత్యాసం. ఒక పరిపూర్ణ చతురస్రం అంటే ఒక వర్గం మూలం ఒక పూర్ణాంకం, ఉదాహరణకు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ మరియు కూడా ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... ద్విపద అనేది ఖచ్చితమైన చతురస్రాల వ్యత్యాసం అయితే, ఉదాహరణకు, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, అప్పుడు అది సూత్రం ద్వారా కారకం చేయబడుతుంది:
   • చతురస్రాల సూత్రం:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • ఒక పని:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • చదరపు మూలాలను సంగ్రహించండి:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • కనుగొన్న విలువలను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 పూర్తి ఘనాల మధ్య వ్యత్యాసం. ద్విపద అనేది పూర్తి ఘనాల తేడా అయితే, ఉదాహరణకు, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a ^ {3} -b ^ {3}}$, అప్పుడు అది ఒక ప్రత్యేక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కారకం చేయబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ద్విపదలోని ప్రతి సభ్యుడి నుండి క్యూబ్ రూట్‌ను సేకరించడం మరియు కనుగొన్న విలువలను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం.
   • ఘనాల మధ్య వ్యత్యాసం కోసం సూత్రం:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • ఒక పని:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • క్యూబిక్ మూలాలను సంగ్రహించండి:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • కనుగొన్న విలువలను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 పూర్తి ఘనాల మొత్తానికి కారకం. ఖచ్చితమైన చతురస్రాల మొత్తం కాకుండా, పూర్తి ఘనాల మొత్తం, ఉదాహరణకు, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a ^ {3} + b ^ {3}}$, ప్రత్యేక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కారకం చేయవచ్చు. ఇది ఘనాల మధ్య వ్యత్యాసానికి సూత్రాన్ని పోలి ఉంటుంది, కానీ సంకేతాలు తిరగబడ్డాయి. సూత్రం చాలా సులభం - దాన్ని ఉపయోగించడానికి, సమస్యలోని పూర్తి ఘనాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
   • ఘనాల మొత్తానికి సూత్రం:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • ఒక పని:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • క్యూబిక్ మూలాలను సంగ్రహించండి:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • కనుగొన్న విలువలను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

చిట్కాలు

• కొన్నిసార్లు ద్విసభ్య సభ్యులకు సాధారణ విభజన ఉండదు. కొన్ని పనులలో, సభ్యులు సరళీకృత రూపంలో ప్రదర్శించబడతారు.
• మీరు వెంటనే GCD ని కనుగొనలేకపోతే, చిన్న సంఖ్యలతో విభజించడం ద్వారా ప్రారంభించండి. ఉదాహరణకు, 32 మరియు 16 సంఖ్యల GCD 16 అని మీరు చూడకపోతే, రెండు సంఖ్యలను 2 ద్వారా భాగించండి. మీకు 16 మరియు 8 వస్తుంది; ఈ సంఖ్యలను 8 ద్వారా భాగించవచ్చు. ఇప్పుడు మీరు 2 మరియు 1 పొందుతారు; ఈ సంఖ్యలను తగ్గించలేము. అందువల్ల, ఒక పెద్ద సంఖ్య (8 మరియు 2 తో పోలిస్తే) ఉన్నట్లు స్పష్టమవుతుంది, ఇది ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యల యొక్క సాధారణ విభజన.
• ఆరవ-ఆర్డర్ పదాలు (6 యొక్క ఘాతాంకంతో, ఉదాహరణకు x) రెండూ ఖచ్చితమైన చతురస్రాలు మరియు ఖచ్చితమైన ఘనాలని గమనించండి. అందువలన, ఆరవ -ఆర్డర్ పదాలతో ఉన్న ద్విపదలకు, ఉదాహరణకు, x - 64, చతురస్రాల వ్యత్యాసం మరియు ఘనాల వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాలను (ఏ క్రమంలోనైనా) అన్వయించవచ్చు. అయితే ద్విపదతో మరింత సరిగ్గా కుళ్ళిపోవడానికి ముందుగా చతురస్రాల వ్యత్యాసానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం మంచిది.

హెచ్చరికలు

• బైనామియల్, ఇది పరిపూర్ణ చతురస్రాల మొత్తం, కారకం కాదు.