విషయము

• దశలు
• పద్ధతి 1 లో 3: ఒక సమీకరణానికి కారకం
• పద్ధతి 2 లో 3: వర్గ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం
• విధానం 3 ఆఫ్ 3: స్క్వేర్ పూర్తి చేయడం
• చిట్కాలు

చతుర్భుజ సమీకరణం అనేది ఒక సమీకరణం, దీనిలో ఒక వేరియబుల్ యొక్క అతిపెద్ద శక్తి 2. చతుర్భుజ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మూడు ప్రధాన మార్గాలు ఉన్నాయి: వీలైతే, వర్గ సమీకరణాన్ని కారకం చేయండి, చతురస్ర సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి లేదా చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయండి. ఇదంతా ఎలా జరిగిందో మీరు తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా? చదువు.

దశలు

పద్ధతి 1 లో 3: ఒక సమీకరణానికి కారకం

1. 1 అన్ని సారూప్య అంశాలను జోడించండి మరియు వాటిని సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు బదిలీ చేయండి. ఇది మొదటి అడుగు, అర్థం ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2}}$ ఈ సందర్భంలో, ఇది సానుకూలంగా ఉండాలి. అన్ని విలువలను జోడించండి లేదా తీసివేయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2}}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ మరియు స్థిరంగా, ప్రతిదీ ఒక భాగానికి బదిలీ చేయడం మరియు మరొకటి 0 ని వదిలివేయడం. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 వ్యక్తీకరణకు కారకం. దీన్ని చేయడానికి, మీరు విలువలను ఉపయోగించాలి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2}}$ (3), స్థిరమైన విలువలు (-4), అవి తప్పనిసరిగా గుణించాలి మరియు ఫారం -11. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ కేవలం రెండు కారకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి: ${ displaystyle 3x}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$కాబట్టి వాటిని కుండలీకరణాల్లో వ్రాయవచ్చు: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • తరువాత, 4 యొక్క కారకాలను ప్రత్యామ్నాయంగా, గుణించినప్పుడు, -11x ఇచ్చే కలయికను మేము కనుగొన్నాము. మీరు 4 మరియు 1, లేదా 2 మరియు 2 కలయికను ఉపయోగించవచ్చు, ఎందుకంటే రెండూ ఇవ్వబడతాయి 4. విలువలు ప్రతికూలంగా ఉండాలని గుర్తుంచుకోండి, ఎందుకంటే మన దగ్గర -4 ఉంది.
   • ట్రయల్ మరియు ఎర్రర్ ద్వారా, మీరు కలయికను పొందుతారు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (3x + 1) (x-4)}$... గుణించేటప్పుడు, మనకు లభిస్తుంది ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$... కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా ${ displaystyle -12x}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$, మేము మధ్య పదం పొందుతాము ${ displaystyle -11x}$మేము వెతుకుతున్నది. వర్గ సమీకరణం కారకం.
   • ఉదాహరణకు, అనుచితమైన కలయికను ప్రయత్నిద్దాం: (${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... కలపడం, మేము పొందుతాము ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$... కారకాలు -2 మరియు 2 -4 కు గుణించినప్పటికీ, మధ్య పదం పనిచేయదు, ఎందుకంటే మేము పొందాలనుకుంటున్నాము ${ displaystyle -11x}$, కాని కాదు ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 కుండలీకరణాలలో ప్రతి వ్యక్తీకరణను సున్నాకి (ప్రత్యేక సమీకరణాలుగా) సమానం చేయండి. ఈ విధంగా మనం రెండు అర్థాలను కనుగొంటాము ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$దీని కోసం మొత్తం సమీకరణం సున్నాకి సమానం, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (3x + 1) (x-4)}$ = 0. ఇప్పుడు అది కుండలీకరణాలలో ప్రతి వ్యక్తీకరణను సున్నాకి సమానం చేయడానికి మిగిలి ఉంది. ఎందుకు? విషయం ఏమిటంటే ఉత్పత్తి కనీసం సున్నాకి సమానమైనప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం. గా ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (3x + 1) (x-4)}$ సున్నా, అప్పుడు (3x + 1) లేదా (x - 4) సున్నా. వ్రాయండి ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ మరియు ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 ప్రతి సమీకరణాన్ని విడిగా పరిష్కరించండి. వర్గ సమీకరణంలో, x కి రెండు అర్థాలు ఉన్నాయి. సమీకరణాలను పరిష్కరించండి మరియు x విలువలను వ్రాయండి:
   • 3x + 1 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
     • 3x = -1 ..... తీసివేయడం ద్వారా
     • 3x / 3 = -1/3 ..... విభజించడం ద్వారా
     • x = -1/3 ..... సరళీకరణ తర్వాత
   • సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి x - 4 = 0
     • x = 4 ..... తీసివేయడం ద్వారా
   • x = (-1/3, 4) ..... సాధ్యమయ్యే విలువలు, అనగా x = -1/3 లేదా x = 4.
5. 5 ఈ విలువను (3x + 1) (x - 4) = 0 లోకి ప్లగ్ చేయడం ద్వారా x = -1/3 ని తనిఖీ చేయండి:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... సరళీకరణ తర్వాత
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... గుణకారం తర్వాత
   • 0 = 0, కాబట్టి x = -1/3 సరైన సమాధానం.
6. 6 ఈ విలువను (3x + 1) (x - 4) = 0 లోకి ప్లగ్ చేయడం ద్వారా x = 4 ని తనిఖీ చేయండి:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... సరళీకరణ తర్వాత
   • (13) (0) = 0 ..... గుణకారం తర్వాత
   • 0 = 0, కాబట్టి x = 4 సరైన సమాధానం.
   • అందువలన, రెండు పరిష్కారాలు సరైనవి.

పద్ధతి 2 లో 3: వర్గ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం

1. 1 అన్ని నిబంధనలను కలపండి మరియు సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు వ్రాయండి. విలువను సేవ్ చేయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2}}$ అనుకూల. డిగ్రీలను తగ్గించే క్రమంలో నిబంధనలను వ్రాయండి, తద్వారా పదం ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {2}}$ మొదట స్పెల్లింగ్, తరువాత ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ ఆపై స్థిరాంకం:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని వ్రాయండి. ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 వర్గ సమీకరణంలో a, b మరియు c విలువలను నిర్ణయించండి. వేరియబుల్ a x అనే పదం యొక్క గుణకం బి - సభ్యుడు x, c - స్థిరంగా. సమీకరణం 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, మరియు c = -8. దాన్ని వ్రాయు.
4. 4 సమీకరణంలో a, b మరియు c కోసం విలువలను ప్లగ్ చేయండి. మూడు వేరియబుల్స్ విలువలను తెలుసుకోవడం, మీరు వాటిని ఈ క్రింది విధంగా సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయవచ్చు:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 దాన్ని లెక్కించండి. విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, లాభాలు మరియు నష్టాలను సరళీకృతం చేయండి మరియు మిగిలిన పదాలను గుణించండి లేదా వర్గీకరించండి:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 వర్గమూలాన్ని సరళీకృతం చేయండి. స్క్వేర్ రూట్ స్క్వేర్ అయితే, మీకు ఒక పూర్ణాంకం వస్తుంది. కాకపోతే, దానిని సరళమైన రూట్ విలువకు సరళీకరించండి. సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే, మరియు అది ఖచ్చితంగా ప్రతికూలంగా ఉండాలని మీకు ఖచ్చితంగా తెలుసు, అప్పుడు మూలాలు సంక్లిష్టంగా ఉంటాయి. ఈ ఉదాహరణలో √ (121) = 11. మీరు x = (5 +/- 11) / 6 అని వ్రాయవచ్చు.
7. 7 సానుకూల మరియు ప్రతికూల పరిష్కారాలను కనుగొనండి. మీరు స్క్వేర్ రూట్ గుర్తును తీసివేస్తే, మీరు పాజిటివ్ మరియు నెగటివ్ x విలువలను కనుగొనే వరకు కొనసాగించవచ్చు. (5 +/- 11) / 6 కలిగి, మీరు వ్రాయవచ్చు:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 సానుకూల మరియు ప్రతికూల విలువలను కనుగొనండి. కేవలం లెక్కించండి:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 సరళీకరించు. దీన్ని చేయడానికి, రెండింటినీ గొప్ప సాధారణ కారకంగా విభజించండి. మొదటి భిన్నాన్ని 2 తో భాగించండి, రెండవది 6, x కనుగొనబడింది.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

విధానం 3 ఆఫ్ 3: స్క్వేర్ పూర్తి చేయడం

1. 1 అన్ని నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించండి.a లేదా x తప్పనిసరిగా పాజిటివ్‌గా ఉండాలి. ఇది ఇలా జరుగుతుంది:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • ఈ సమీకరణంలో a: 2, బి: -12,c: -9.
2. 2 బదిలీ సభ్యుడు c (శాశ్వత) మరొక వైపు. స్థిరాంకం అనేది వేరియబుల్స్ లేకుండా సంఖ్యా విలువను మాత్రమే కలిగి ఉన్న సమీకరణంలోని పదం.దానిని కుడి వైపుకు తరలించండి:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 రెండు భాగాలను కారకం ద్వారా విభజించండి a లేదా x. X కి గుణకం లేకపోతే, అది ఒకదానికి సమానం మరియు ఈ దశను దాటవేయవచ్చు. మా ఉదాహరణలో, మేము సభ్యులందరినీ 2 ద్వారా విభజిస్తాము:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 విభజించు బి 2 ద్వారా, చదరపు మరియు రెండు వైపులా జోడించండి. మా ఉదాహరణలో బి సమానం -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 రెండు వైపులా సరళీకరించండి. (X-3) (x-3), లేదా (x-3) పొందడానికి ఎడమవైపు ఉన్న నిబంధనలను స్క్వేర్ చేయండి. 9/2 + 9, లేదా 9/2 + 18/2, అంటే 27/2 చేయడానికి నిబంధనలను కుడివైపు జోడించండి.
6. 6 రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించండి. (X-3) యొక్క వర్గమూలం కేవలం (x-3). 27/2 యొక్క వర్గమూలాన్ని ± √ (27/2) అని వ్రాయవచ్చు. అందువలన, x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 రాడికల్ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి మరియు x ని కనుగొనండి. Lif √ (27/2) ను సరళీకృతం చేయడానికి, సంఖ్యలు 27 మరియు 2 లలో ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని లేదా వాటి కారకాలను కనుగొనండి. 27 లో 9 యొక్క పూర్తి చతురస్రం ఉంది, ఎందుకంటే 9 x 3 = 27. రూట్ సైన్ నుండి 9 ని తీసివేయడానికి, దాని నుండి రూట్ తీసుకోండి మరియు రూట్ సైన్ నుండి 3 ని తీసివేయండి. రూట్ సైన్ కింద భిన్నం యొక్క అంకెల్లో 3 ని వదిలివేయండి, ఎందుకంటే ఈ కారకాన్ని సంగ్రహించలేము, మరియు దిగువన 2 ని కూడా వదిలివేయండి. తరువాత, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి స్థిరమైన 3 ని కుడి వైపుకు తరలించి, x కోసం రెండు పరిష్కారాలను వ్రాయండి:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

చిట్కాలు

• రూట్ సైన్ కింద ఉన్న సంఖ్య పూర్తి చతురస్రం కాకపోతే, చివరి కొన్ని దశలు కొద్దిగా భిన్నంగా నిర్వహించబడతాయి. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:
• మీరు గమనిస్తే, రూట్ సైన్ అదృశ్యం కాలేదు. ఈ విధంగా, సంఖ్యాశాస్త్రంలోని పదాలను కలపడం సాధ్యం కాదు. అప్పుడు ప్లస్ లేదా మైనస్‌ను విభజించడంలో అర్థం లేదు. బదులుగా, మేము ఏదైనా సాధారణ కారకాలను విభజిస్తాము - కానీ మాత్రమే స్థిరాంకానికి సాధారణ కారకం అయితే మరియు రూట్ గుణకం.