విషయము

• దశలు

త్రికోణమితి సమీకరణం "x" (లేదా ఏదైనా ఇతర వేరియబుల్) వేరియబుల్ యొక్క ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను కలిగి ఉంటుంది. త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అనేది ఫంక్షన్ (లు) మరియు సమీకరణం మొత్తాన్ని సంతృప్తిపరిచే "x" విలువను కనుగొనడం.

• త్రికోణమితి సమీకరణాలకు పరిష్కారాలు డిగ్రీలు లేదా రేడియన్‌లలో వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఉదాహరణలు:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 డిగ్రీలు; x = 37.12 డిగ్రీలు; x = 178.37 డిగ్రీలు.

• గమనిక: రేడియన్‌లలో వ్యక్తీకరించబడిన కోణాల నుండి మరియు డిగ్రీలలో వ్యక్తీకరించబడిన కోణాల నుండి త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలు సమానంగా ఉంటాయి. త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను వివరించడానికి, అలాగే ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు అసమానతల పరిష్కారం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయడానికి ఒక వ్యాసార్థంతో సమానమైన త్రిభుజాకార వృత్తం ఉపయోగించబడుతుంది.
• త్రికోణమితి సమీకరణాల ఉదాహరణలు:
  • పాపం x + పాపం 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2 పాపం 2x + cos x = 1.

1. ఒక వ్యాసార్థంతో ఒక త్రిభుజాకార వృత్తం (యూనిట్ వృత్తం).
   • ఇది ఒక వ్యాసార్థంతో సమానమైన ఒక వృత్తం మరియు పాయింట్ O. మధ్యలో యూనిట్ సర్కిల్ వేరియబుల్ "x" యొక్క 4 ప్రాథమిక త్రికోణమితి విధులను వివరిస్తుంది, ఇక్కడ "x" అనేది X అక్షం యొక్క అపసవ్య దిశలో సానుకూల దిశ నుండి కొలుస్తారు.
   • "X" యూనిట్ సర్కిల్‌లో కొంత కోణం అయితే, అప్పుడు:
   • క్షితిజ సమాంతర అక్షం OAx F (x) = cos x ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తుంది.
   • నిలువు అక్షం OBy F (x) = sin x అనే ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తుంది.
   • నిలువు అక్షం AT ఫంక్షన్ F (x) = టాన్ x ని నిర్వచిస్తుంది.
   • క్షితిజ సమాంతర అక్షం BU ఫంక్షన్ F (x) = ctg x ని నిర్వచిస్తుంది.

• ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి యూనిట్ సర్కిల్ కూడా ఉపయోగించబడుతుంది ("x" యొక్క విభిన్న స్థానాలు దానిపై పరిగణించబడతాయి).

దశలు

1. 1 త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే భావన.
   • త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, దానిని ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలకు మార్చండి. త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం చివరికి నాలుగు ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వస్తుంది.
2. 2 ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.
   • ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలలో 4 రకాలు ఉన్నాయి:
   • పాపం x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అనేది యూనిట్ సర్కిల్‌లోని విభిన్న x స్థానాలను చూడటం మరియు మార్పిడి పట్టిక (లేదా కాలిక్యులేటర్) ఉపయోగించి ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణ 1. పాపం x = 0.866. మార్పిడి పట్టిక (లేదా కాలిక్యులేటర్) ఉపయోగించి, మీరు సమాధానం పొందుతారు: x = π / 3. యూనిట్ సర్కిల్ మరొక సమాధానం ఇస్తుంది: 2π / 3. గుర్తుంచుకోండి: అన్ని త్రికోణమితి విధులు ఆవర్తనంగా ఉంటాయి, అంటే వాటి విలువలు పునరావృతమవుతాయి. ఉదాహరణకు, పాపం x మరియు cos x యొక్క ఆవర్తనం 2πn, మరియు tg x మరియు ctg x యొక్క ఆవర్తనం πn. అందువల్ల, సమాధానం ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • ఉదాహరణ 2.cos x = -1/2. మార్పిడి పట్టిక (లేదా కాలిక్యులేటర్) ఉపయోగించి, మీరు సమాధానం పొందుతారు: x = 2π / 3. యూనిట్ సర్కిల్ మరొక సమాధానం ఇస్తుంది: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • ఉదాహరణ 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • సమాధానం: x = π / 4 + .n.
   • ఉదాహరణ 4. ctg 2x = 1.732.
   • సమాధానం: x = π / 12 + .n.
3. 3 త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించే పరివర్తనాలు.
   • త్రికోణమితి సమీకరణాలను మార్చడానికి, బీజగణిత పరివర్తనాలు (కారకం, సజాతీయ పదాల తగ్గింపు మొదలైనవి) మరియు త్రికోణమితి గుర్తింపులు ఉపయోగించబడతాయి.
   • ఉదాహరణ 5. త్రికోణమితి గుర్తింపులను ఉపయోగించి, పాపం x + sin 2x + sin 3x = 0 సమీకరణం 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. సమీకరణంగా రూపాంతరం చెందింది కింది ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించండి: cos x = 0; పాపం (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 ఫంక్షన్ల యొక్క తెలిసిన విలువలు నుండి కోణాలను కనుగొనడం.
   • త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులను నేర్చుకునే ముందు, ఫంక్షన్ల యొక్క తెలిసిన విలువల నుండి కోణాలను ఎలా కనుగొనాలో మీరు నేర్చుకోవాలి. ఇది కన్వర్షన్ టేబుల్ లేదా కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి చేయవచ్చు.
   • ఉదాహరణ: cos x = 0.732. కాలిక్యులేటర్ సమాధానం x = 42.95 డిగ్రీలు ఇస్తుంది. యూనిట్ సర్కిల్ అదనపు కోణాలను ఇస్తుంది, దీని కొసైన్ కూడా 0.732.
5. 5 యూనిట్ సర్కిల్‌పై పరిష్కారాన్ని పక్కన పెట్టండి.
   • మీరు యూనిట్ సర్కిల్‌లోని త్రికోణమితి సమీకరణానికి పరిష్కారాలను వాయిదా వేయవచ్చు. యూనిట్ సర్కిల్‌లోని త్రికోణమితి సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలు సాధారణ బహుభుజి యొక్క శీర్షాలు.
   • ఉదాహరణ: యూనిట్ సర్కిల్‌లోని x = π / 3 + πn / 2 పరిష్కారాలు చదరపు శీర్షాలు.
   • ఉదాహరణ: యూనిట్ సర్కిల్‌లోని x = π / 4 + πn / 3 పరిష్కారాలు సాధారణ షడ్భుజి యొక్క శీర్షాలను సూచిస్తాయి.
6. 6 త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు.
   • ఇచ్చిన ట్రిగ్ సమీకరణం కేవలం ఒక ట్రిగ్ ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటే, ఆ సమీకరణాన్ని ప్రాథమిక ట్రిగ్ సమీకరణంగా పరిష్కరించండి.ఇచ్చిన సమీకరణం రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను కలిగి ఉంటే, అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి 2 పద్ధతులు ఉన్నాయి (దాని పరివర్తన అవకాశాన్ని బట్టి).
     • విధానం 1.
   • ఈ సమీకరణాన్ని రూప సమీకరణంగా మార్చండి: f (x) * g (x) * h (x) = 0, ఇక్కడ f (x), g (x), h (x) ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలు.
     
     
   • ఉదాహరణ 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • పరిష్కారం పాపం 2x = 2 * sin x * cos x అనే డబుల్ యాంగిల్ ఫార్ములా ఉపయోగించి, పాపం 2x ని భర్తీ చేయండి.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. ఇప్పుడు రెండు ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించండి: cos x = 0 మరియు (sin x + 1) = 0.
   • ఉదాహరణ 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • పరిష్కారం: త్రికోణమితి గుర్తింపులను ఉపయోగించి, ఈ సమీకరణాన్ని రూప సమీకరణంగా మార్చండి: cos 2x (2cos x + 1) = 0. ఇప్పుడు రెండు ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించండి: cos 2x = 0 మరియు (2cos x + 1) = 0.
   • ఉదాహరణ 8. పాపం x - పాపం 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • పరిష్కారం: త్రికోణమితి గుర్తింపులను ఉపయోగించి, ఈ సమీకరణాన్ని రూప సమీకరణంగా మార్చండి: -కోస్ 2x * (2 సిన్ x + 1) = 0. ఇప్పుడు రెండు ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించండి: cos 2x = 0 మరియు (2 సిన్ x + 1) = 0
     • విధానం 2.
   • ఇచ్చిన త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని కేవలం ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ ఉన్న సమీకరణానికి మార్చండి. అప్పుడు ఈ త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌ను కొన్ని తెలియని వాటితో భర్తీ చేయండి, ఉదాహరణకు, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, మొదలైనవి).
   • ఉదాహరణ 9.3 పాపం ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4 సిన్ x + 7 (0 x 2π).
   • పరిష్కారం ఈ సమీకరణంలో, (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) (గుర్తింపు ద్వారా) తో భర్తీ చేయండి. రూపాంతరం చెందిన సమీకరణం:
   • 3 సిన్ ^ 2 x - 2 + 2 సిన్ ^ 2 x - 4 సిన్ x - 7 = 0. పాపం x ని t తో భర్తీ చేయండి. ఇప్పుడు సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. ఇది రెండు మూలాలతో కూడిన వర్గ సమీకరణం: t1 = -1 మరియు t2 = 9/5. రెండవ రూట్ t2 ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పరిధిని సంతృప్తిపరచదు (-1 పాపం x 1). ఇప్పుడు నిర్ణయించుకోండి: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • ఉదాహరణ 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • పరిష్కారం Tg x ని t తో భర్తీ చేయండి. అసలు సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా మళ్లీ వ్రాయండి: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. ఇప్పుడు t ని కనుగొని, ఆపై t = tg x కోసం x ని కనుగొనండి.
7. 7 ప్రత్యేక త్రికోణమితి సమీకరణాలు.
   • నిర్దిష్ట పరివర్తనాలు అవసరమయ్యే అనేక ప్రత్యేక త్రికోణమితి సమీకరణాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణలు:
   • a * పాపం x + b * cos x = c; a (పాపం x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఆవర్తనం.
   • ముందు చెప్పినట్లుగా, అన్ని త్రికోణమితి విధులు ఆవర్తనంగా ఉంటాయి, అనగా, వాటి విలువలు ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధి తర్వాత పునరావృతమవుతాయి. ఉదాహరణలు:
     • ఫంక్షన్ వ్యవధి f (x) = sin x 2π.
     • ఫంక్షన్ వ్యవధి f (x) = టాన్ x π కి సమానం.
     • ఫంక్షన్ వ్యవధి f (x) = sin 2x is.
     • ఫంక్షన్ f (x) = cos (x / 2) కాలం 4π.
   • సమస్యలో కాలం పేర్కొనబడితే, ఈ వ్యవధిలో "x" విలువను లెక్కించండి.
   • గమనిక: త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అంత తేలికైన పని కాదు మరియు తరచుగా లోపాలకు దారితీస్తుంది. కాబట్టి మీ సమాధానాలను జాగ్రత్తగా తనిఖీ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఇచ్చిన సమీకరణం R (x) = 0. ప్లాట్ చేయడానికి గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించవచ్చు. అలాంటి సందర్భాలలో, పరిష్కారాలు దశాంశ భిన్నాలుగా ప్రదర్శించబడతాయి (అంటే π 3.14 ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది).