విషయము

• దశలు
• చిట్కాలు

అక్షం + bx + c లేదా a (x - h) + k ఫారమ్ యొక్క చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పరబోలా (U- ఆకారపు వక్రరేఖ). అటువంటి సమీకరణాన్ని రూపొందించడానికి, మీరు పారాబోలా యొక్క శీర్షం, దాని దిశ మరియు X మరియు Y అక్షాలతో ఖండన బిందువులను కనుగొనాలి. మీకు సాపేక్షంగా సరళ వర్గ సమీకరణం ఇవ్వబడితే, మీరు "x యొక్క విభిన్న విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు "అందులోకి," y "యొక్క సంబంధిత విలువలను కనుగొని గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి ...

దశలు

1. 1 వర్గ సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో మరియు ప్రామాణికం కాని రూపంలో వ్రాయవచ్చు. మీరు చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని రూపొందించడానికి ఏవైనా సమీకరణాలను ఉపయోగించవచ్చు (ప్లాటింగ్ పద్ధతి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది). నియమం ప్రకారం, సమస్యలలో, వర్గ సమీకరణాలు ప్రామాణిక రూపంలో ఇవ్వబడ్డాయి, అయితే ఈ ఆర్టికల్ రెండు రకాలైన సమీకరణ సమీకరణాన్ని రాయడం గురించి మీకు తెలియజేస్తుంది.
   • ప్రామాణిక రూపం: f (x) = ax + bx + c, ఇక్కడ a, b, c నిజమైన సంఖ్యలు మరియు ≠ 0.
     • ఉదాహరణకు, ప్రామాణిక రూపం యొక్క రెండు సమీకరణాలు: f (x) = x + 2x + 1 మరియు f (x) = 9x + 10x -8.
   • ప్రామాణికం కాని రూపం: f (x) = a (x - h) + k, ఇక్కడ a, h, k నిజమైన సంఖ్యలు మరియు ≠ 0.
     • ఉదాహరణకు, ప్రామాణికం కాని రూపం యొక్క రెండు సమీకరణాలు: f (x) = 9 (x - 4) + 18 మరియు -3 (x - 5) + 1.
   • ఏ విధమైన చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పన్నాగం చేయడానికి, మీరు ముందుగా కోఆర్డినేట్‌లను (h, k) కలిగి ఉన్న పారాబోలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనాలి. ప్రామాణిక రూపం యొక్క సమీకరణాలలో పరబోలా యొక్క శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సూత్రాల ద్వారా లెక్కించబడతాయి: h = -b / 2a మరియు k = f (h); ప్రామాణికం కాని రూపం యొక్క సమీకరణాలలో పారాబోలా యొక్క శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నేరుగా సమీకరణాల నుండి పొందవచ్చు.
2. 2 గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి, మీరు a, b, c (లేదా a, h, k) గుణకాల సంఖ్యా విలువలను కనుగొనాలి. చాలా సమస్యలలో, గుణకాల యొక్క సంఖ్యా విలువలతో వర్గ సమీకరణాలు ఇవ్వబడ్డాయి.
   • ఉదాహరణకు, ప్రామాణిక సమీకరణంలో f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • ఉదాహరణకు, ప్రామాణికం కాని సమీకరణంలో f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ప్రామాణిక సమీకరణంలో h ని లెక్కించండి (ప్రామాణికం కాని వాటిలో ఇది ఇప్పటికే ఇవ్వబడింది): h = -b / 2a.
   • మా ప్రామాణిక సమీకరణ ఉదాహరణలో, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • ప్రామాణికం కాని సమీకరణం యొక్క మా ఉదాహరణలో, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 ప్రామాణిక సమీకరణంలో k ని లెక్కించండి (ప్రామాణికం కాని దానిలో ఇది ఇప్పటికే ఇవ్వబడింది). గుర్తుంచుకోండి k = f (h), అంటే, "x" కి బదులుగా కనుగొనబడిన h విలువను అసలు సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మీరు k ని కనుగొనవచ్చు.
   • మీరు h = -4 (ప్రామాణిక సమీకరణం కోసం) అని కనుగొన్నారు. K ని లెక్కించడానికి, ఈ విలువను "x" కోసం ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • ప్రామాణికం కాని సమీకరణంలో, k = 12.
5. 5 కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో కోఆర్డినేట్‌లతో (h, k) ఒక శీర్షాన్ని గీయండి. h అనేది X- అక్షం వెంట మరియు k అనేది Y- అక్షం వెంట పన్నాగం చేయబడింది. ఒక పరబోలా పైభాగం అత్యల్ప బిందువు (పరబోలా పైకి చూపిస్తుంటే) లేదా అత్యధిక బిందువు (పరబోలా క్రిందికి చూపిస్తే).
   • మా ప్రామాణిక సమీకరణ ఉదాహరణలో, శీర్షం అక్షాంశాలను కలిగి ఉంటుంది (-4, 7). కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఈ పాయింట్‌ని గీయండి.
   • మా అనుకూల సమీకరణం యొక్క ఉదాహరణలో, శీర్షం అక్షాంశాలను కలిగి ఉంటుంది (5, 12). కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఈ పాయింట్‌ని గీయండి.
6. 6 పరబోలా యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షాన్ని గీయండి (ఐచ్ఛికం). సమరూపత యొక్క అక్షం Y అక్షానికి సమాంతరంగా పారాబోలా యొక్క శిఖరం గుండా వెళుతుంది (అంటే ఖచ్చితంగా నిలువుగా ఉంటుంది). సమరూపత యొక్క అక్షం పారాబోలాను సగానికి విభజిస్తుంది (అంటే, పరబోలా ఈ అక్షం గురించి అద్దం-సుష్టంగా ఉంటుంది).
   • మా ఉదాహరణ ప్రామాణిక సమీకరణంలో, సమరూపత యొక్క అక్షం Y అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖ మరియు పాయింట్ (-4, 7) గుండా వెళుతుంది. ఈ రేఖ పరబోలాలో భాగం కానప్పటికీ, ఇది పరబోలా యొక్క సమరూపత గురించి ఒక ఆలోచనను ఇస్తుంది.
7. 7 పారబోలా దిశను నిర్ణయించండి - పైకి లేదా క్రిందికి. దీన్ని చేయడం చాలా సులభం.కోఎఫీషియంట్ "a" పాజిటివ్ అయితే, పారాబోలా పైకి దర్శకత్వం వహిస్తుంది, మరియు కోఎఫీషియంట్ "a" నెగటివ్ అయితే, పారాబోలా క్రిందికి మళ్ళించబడుతుంది.
   • ప్రామాణిక సమీకరణం యొక్క మా ఉదాహరణలో, f (x) = 2x + 16x + 39, a = 2 (పాజిటివ్ కోఎఫీషియంట్) నుండి, పారాబోలా పైకి చూపుతోంది.
   • ప్రామాణికం కాని సమీకరణం f (x) = 4 (x - 5) + 12 యొక్క మా ఉదాహరణలో, a = 4 (పాజిటివ్ కోఎఫీషియంట్) నుండి, పరాబోలా కూడా పైకి దర్శకత్వం వహించబడుతుంది.
8. 8 అవసరమైతే, x- ఇంటర్‌సెప్ట్‌ని గుర్తించి ప్లాట్ చేయండి. పారాబొలా గీసేటప్పుడు ఈ పాయింట్లు మీకు చాలా సహాయపడతాయి. రెండు, ఒకటి లేదా ఏదీ ఉండకపోవచ్చు (పారాబోలా పైకి దర్శకత్వం వహించినట్లయితే మరియు దాని శిఖరం X- అక్షం పైన ఉంటే, లేదా పారాబొలా క్రిందికి దర్శకత్వం వహిస్తే మరియు దాని శీర్షం X- అక్షం క్రింద ఉంటే). X- అక్షంతో ఖండన బిందువుల కోఆర్డినేట్‌లను లెక్కించడానికి, కింది వాటిని చేయండి:
   • సమీకరణాన్ని సున్నాకి సెట్ చేయండి: f (x) = 0 మరియు దాన్ని పరిష్కరించండి. ఈ పద్ధతి సాధారణ వర్గ సమీకరణాలతో పనిచేస్తుంది (ముఖ్యంగా ప్రామాణికం కానివి), కానీ సంక్లిష్ట సమీకరణాలకు చాలా కష్టంగా ఉంటుంది. మా ఉదాహరణలో:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. X- అక్షంతో పరబోలా యొక్క ఖండన బిందువులు కోఆర్డినేట్‌లు (11,0) మరియు (13,0) కలిగి ఉంటాయి.
   • ప్రామాణిక-రూప చతురస్రాకార సమీకరణం: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), ఇక్కడ dx × fx = గొడ్డలి, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c అప్పుడు ప్రతి ద్విపదను 0 కి సెట్ చేయండి మరియు "x" కోసం విలువలను కనుగొనండి. ఉదాహరణకి:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • ఈ సందర్భంలో, x + 1 = 0 x = -1 వద్ద కోఆర్డినేట్‌లతో (-1,0) x- అక్షంతో పారాబోలా యొక్క ఖండన యొక్క ఒకే బిందువు ఉంటుంది.
   • మీరు సమీకరణాన్ని కారకం చేయలేకపోతే, క్వాడ్రాటిక్ ఫార్ములాను ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరించండి: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
     • ఉదాహరణకు: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10)) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
     • x = (-1 +/- 14.18) /- 10
     • x = (13.18 / -10) మరియు (-15.18 / -10). X అక్షంతో పారాబోలా యొక్క ఖండన బిందువులు కోఆర్డినేట్‌లు (-1,318,0) మరియు (1,518,0) కలిగి ఉంటాయి.
     • మా ఉదాహరణలో, ప్రామాణిక రూపం 2x + 16x + 39 యొక్క సమీకరణాలు:
     • x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39)) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
     • ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడం అసాధ్యం కనుక, ఈ సందర్భంలో పారాబోలా X- అక్షాన్ని కలుసుకోదు.
9. 9 అవసరమైన విధంగా y- ఇంటర్‌సెప్ట్‌ని గుర్తించండి మరియు ప్లాట్ చేయండి. ఇది చాలా సులభం - అసలు సమీకరణంలో x = 0 ప్లగ్ చేయండి మరియు "y" కోసం విలువను కనుగొనండి. Y- ఇంటర్‌సెప్ట్ ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది. గమనిక: ప్రామాణిక రూపం యొక్క సమీకరణాలలో, ఖండన బిందువు అక్షాంశాలను (0, s) కలిగి ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణకు, చతురస్రాకార సమీకరణం 2x + 16x + 39 యొక్క పరబోలా Y = అక్షంతో బిందువు వద్ద కోఆర్డినేట్‌లతో (0, 39) కలుస్తుంది, ఎందుకంటే c = 39. అయితే దీనిని లెక్కించవచ్చు:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, అంటే, ఈ చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క పరబోలా Y- అక్షాన్ని బిందువు వద్ద కోఆర్డినేట్‌లతో (0, 39) కలుస్తుంది.
   • ప్రామాణికం కాని సమీకరణం 4 (x-5) + 12 యొక్క మా ఉదాహరణలో, y- ఇంటర్‌సెప్ట్ కింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, అంటే, ఈ చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క పరబోలా Y- అక్షాన్ని బిందువు వద్ద కోఆర్డినేట్‌లతో (0, 112) కలుస్తుంది.
10. 10 మీరు పారాబోలా యొక్క శిఖరం, దాని దిశ మరియు X మరియు Y అక్షాలతో ఖండన బిందువులను కనుగొన్నారు (మరియు ప్లాట్ చేశారు). మీరు ఈ పాయింట్ల నుండి పారాబోలాస్‌ను నిర్మించవచ్చు లేదా అదనపు పాయింట్లను కనుగొని ప్లాట్ చేయవచ్చు మరియు అప్పుడు మాత్రమే పారాబోలాను నిర్మించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, సంబంధిత y విలువలను లెక్కించడానికి అసలు సమీకరణంలో బహుళ x విలువలను (శీర్షానికి ఇరువైపులా) ప్లగ్ చేయండి.
    • సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్దాం x + 2x + 1. X- అక్షంతో ఈ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన బిందువు కోఆర్డినేట్‌లతో (-1,0) ఉన్న పాయింట్ అని మీకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఒకవేళ పారాబొలా X- అక్షంతో కలిసే ఒక బిందువు మాత్రమే ఉంటే, ఇది X- అక్షంపై పారాబొలా యొక్క శీర్షం. ఈ సందర్భంలో, ఒక సాధారణ పారాబొలాను నిర్మించడానికి ఒక పాయింట్ సరిపోదు. కాబట్టి కొన్ని అదనపు పాయింట్లను కనుగొనండి.
      • X = 0, x = 1, x = -2, x = -3 అనుకుందాం.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లు: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లు: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లు: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లు: (-3,4).
      • కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఈ పాయింట్‌లను గీయండి మరియు పారాబోలా గీయండి (పాయింట్‌లను U- కర్వ్‌తో కనెక్ట్ చేయండి). పారాబొలా ఖచ్చితంగా సుష్టంగా ఉందని దయచేసి గమనించండి - పారాబొలా యొక్క ఒక శాఖలోని ఏ బిందువు అయినా పరబోలా యొక్క మరొక శాఖపై ప్రతిబింబిస్తుంది (సమరూప అక్షానికి సంబంధించి). ఇది మీ సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది, ఎందుకంటే మీరు పరబోలా యొక్క రెండు శాఖలలోని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు.

చిట్కాలు

• పాక్షిక సంఖ్యలను రౌండ్ చేయండి (ఇది ఉపాధ్యాయుడి అవసరం అయితే) - మీరు సరైన పారాబొలాను ఎలా నిర్మిస్తారు.
• F (x) = ax + bx + c లో గుణకాలు b లేదా c సున్నాకి సమానం అయితే, సమీకరణంలో ఈ గుణకాలతో నిబంధనలు లేవు.ఉదాహరణకు, 12x + 0x + 6 12x + 6 అవుతుంది ఎందుకంటే 0x 0.