విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• 5 యొక్క 1 వ భాగం: బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక నియమాలను నేర్చుకోవడం
• 5 యొక్క 2 వ భాగం: వేరియబుల్స్ అర్థం చేసుకోవడం
• 5 యొక్క 3 వ భాగం: తొలగించడం ద్వారా సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
• 5 యొక్క 4 వ భాగం: మీ గణిత నైపుణ్యాలను మెరుగుపరుచుకోండి
• 5 యొక్క 5 వ భాగం: అధునాతన విషయాలను అన్వేషించడం
• చిట్కాలు

మాధ్యమిక మరియు ఉన్నత విద్యలో గణితంలో దాదాపు ఏ భాగానైనా అభివృద్ధి చెందడానికి బీజగణితం నేర్చుకోవడం చాలా ముఖ్యం. గణితంలోని ప్రతి స్థాయి పునాదిపై నిర్మించబడింది మరియు దానితో, ప్రతి గణిత స్థాయి ముఖ్యంగా ముఖ్యమైనది. ఏదేమైనా, చాలా ప్రాథమిక గణిత నైపుణ్యాలు కూడా ప్రారంభకులకు మొదటిసారి ఎదుర్కొన్నప్పుడు గ్రహించడం కష్టం. మీరు ప్రాథమిక బీజగణిత అంశాలతో పోరాడుతుంటే, చింతించకండి. కొద్దిగా వివరణ, కొన్ని సరళమైన ఉదాహరణలు మరియు మీ నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచడానికి కొన్ని చిట్కాలతో, మీరు త్వరలో బీజగణితంలో మాస్టర్ అవుతారు.

అడుగు పెట్టడానికి

5 యొక్క 1 వ భాగం: బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక నియమాలను నేర్చుకోవడం

1. ప్రాథమిక గణిత నైపుణ్యాలను సమీక్షించండి. బీజగణితం నేర్చుకోవటానికి మీరు అదనంగా, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు విభజన వంటి ప్రాథమిక నైపుణ్యాలను తెలుసుకోవాలి. మీరు బీజగణితాన్ని ప్రారంభించడానికి ముందు ఈ గణిత నైపుణ్యాలు ప్రాథమిక పాఠశాలలో నేర్చుకోవడం చాలా అవసరం. మీరు ఈ నైపుణ్యాలను స్వాధీనం చేసుకోకపోతే, బీజగణితంలో ఉన్న మరింత క్లిష్టమైన అంశాలను నేర్చుకోవడం కష్టం. ఈ కార్యకలాపాలపై మీకు రిఫ్రెషర్ అవసరమైతే, అంకగణితం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలపై వ్యాసాల కోసం వికీహౌ చూడండి.
   • బీజగణితం బాగా చేయగలిగేలా మానసిక అంకగణితంలో చాలా మంచిగా ఉండవలసిన అవసరం లేదు. సాధారణ మొత్తాలను చేయడం ద్వారా సమయాన్ని ఆదా చేయడానికి తరచుగా మీరు గణిత తరగతి సమయంలో కాలిక్యులేటర్‌తో పనిచేయడానికి అనుమతించబడతారు. ఏదైనా సందర్భంలో, మీరు కాలిక్యులేటర్ లేకుండా అంకగణితం చేయగలగాలి, ఒకవేళ మీరు దానిని ఉపయోగించడానికి అనుమతించకపోతే.
2. కార్యకలాపాల క్రమాన్ని తెలుసుకోండి. గణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు గమ్మత్తైన విషయాలలో ఒకటి ఎక్కడ ప్రారంభించాలో తెలుసుకోవడం. అదృష్టవశాత్తూ, మీరు ఈ సమస్యలను పరిష్కరించే ఒక నిర్దిష్ట క్రమం ఉంది: మొదట కుండలీకరణాల్లోని పదాలు, తరువాత ఘాతాంకాలు / శక్తులు, తరువాత గుణకారం, విభజన, అదనంగా మరియు చివరికి వ్యవకలనం. కార్యకలాపాల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి ఒక సులభ జ్ఞాపకం, "వైఫల్యాలను ఎలా వదిలించుకోవాలి" (లేదా HMWVDOA అనే ​​ఎక్రోనిం). కార్యకలాపాల క్రమాన్ని వర్తింపజేయడానికి వ్యాసాల కోసం వికీహౌ చూడండి. రిమైండర్‌గా, ఇక్కడ మళ్ళీ కార్యకలాపాల క్రమం ఉంది:
   • హెచ్.బారెల్స్
   • ఎం.ఎనిమిది పెంచండి
   • డబ్ల్యూ.రూట్ లాగడం
   • వి.గుణించాలి
   • డి.elen
   • ఓలెక్కింపు
   • aలాగడం
   • గణితంలో కార్యకలాపాల క్రమం ముఖ్యమైనది, ఎందుకంటే తప్పు క్రమం వేరే సమాధానం కనుగొనటానికి కారణమవుతుంది. ఉదాహరణకు, మీకు 8 + 2 × 5 సమస్య ఉంటే, మరియు మీరు మొదట 2 నుండి 8 వరకు జోడిస్తే, మీకు 10 × 5 = వస్తుంది50 ప్రతిస్పందనగా. మీరు మొదట 2 ను 5 తో గుణిస్తే, అది 8 + 10 = ను అనుసరిస్తుంది18. రెండవ సమాధానం మాత్రమే సరైనది.
3. ప్రతికూల సంఖ్యలను ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోండి. బీజగణితంలో ప్రతికూల సంఖ్యలను ఉపయోగించడం సర్వసాధారణం, కాబట్టి బీజగణితం వైపు వెళ్ళే ముందు ప్రతికూల సంఖ్యలను ఎలా జోడించాలి, తీసివేయాలి, గుణించాలి మరియు విభజించాలో సమీక్షించడం మంచిది. మీరు గుర్తుంచుకోవలసిన ప్రతికూల సంఖ్యలతో పని చేసే కొన్ని ప్రాథమిక అంశాలు క్రింద ఉన్నాయి - మరింత సమాచారం కోసం, ప్రతికూల సంఖ్యల అదనంగా, వ్యవకలనం, విభజన మరియు గుణకారంపై వికీహౌ కథనాలను చూడండి.
   • సంఖ్య రేఖలో, ఒక సంఖ్య యొక్క ప్రతికూల సంస్కరణ సానుకూల వైపు ఉన్నట్లుగా సున్నాకి దూరంగా ఉంటుంది, కానీ వ్యతిరేక దిశలో ఉంటుంది.
   • రెండు ప్రతికూల సంఖ్యలను జోడించడం మొత్తాన్ని చేస్తుంది మరింత ప్రతికూల (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంఖ్యలు పెద్దవి అవుతున్నాయి, కానీ సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉన్నందున ఇది తక్కువ సంఖ్య)
   • రెండు ప్రతికూల సంకేతాలు ఒకదానికొకటి రద్దు చేస్తాయి - ప్రతికూల సంఖ్యను తీసివేయడం అనేది సానుకూల సంఖ్యను జోడించడానికి సమానం.
   • రెండు ప్రతికూల సంఖ్యలను గుణించడం లేదా విభజించడం సానుకూల సమాధానం ఇస్తుంది.
   • సానుకూల సంఖ్య మరియు ప్రతికూల సంఖ్యను గుణించడం లేదా విభజించడం ప్రతికూల జవాబును ఉత్పత్తి చేస్తుంది.
4. దీర్ఘ సమస్యలను ఎలా నిర్వహించాలో తెలుసుకోండి. సాధారణ బీజగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడం చాలా సులభం అయితే, మరింత క్లిష్టమైన సమస్యలు పూర్తి కావడానికి చాలా చర్యలు తీసుకోవచ్చు. తప్పులను నివారించడానికి, మీరు సమస్యను పరిష్కరించడంలో ఒక అడుగు ముందుకు వచ్చిన వెంటనే, ప్రతిసారీ కనీసం కొత్త లైన్‌లో ప్రారంభించండి. మీరు సమాన చిహ్నం యొక్క రెండు వైపులా ఉన్న పదాలతో పోలికతో వ్యవహరిస్తుంటే, ఈ అక్షరాలను ("=") ఒకదానికొకటి క్రింద వ్రాయడానికి ప్రయత్నించండి. ఆ విధంగా, మీ గణనలో ఏదైనా లోపం గుర్తించడం చాలా సులభం అవుతుంది.
   • ఉదాహరణకు, 9/3 - 5 + 3 × 4 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము మా సమస్యను ఇలా ఆదేశిస్తాము:

     9/3 - 5 + 3 × 4

     9/3 - 5 + 12

     3 - 5 + 12

     3 + 7

     10

5 యొక్క 2 వ భాగం: వేరియబుల్స్ అర్థం చేసుకోవడం

1. సంఖ్యలు లేని చిహ్నాల కోసం చూడండి. బీజగణితంలో, మీరు మీ గణిత సమస్యలలో అక్షరాలు మరియు చిహ్నాలతో వ్యవహరిస్తారు, కేవలం సంఖ్యలకు బదులుగా. వీటిని వేరియబుల్స్ అంటారు. వేరియబుల్స్ వారు కనిపించినంత కష్టం కాదు - అవి తెలియని విలువలతో సంఖ్యలను సూచించే మార్గాలు. బీజగణితంలో వేరియబుల్స్ యొక్క కొన్ని సాధారణ ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి:
   • X, y, z, a, b మరియు c వంటి అక్షరాలు
   • తీటా లేదా θ వంటి గ్రీకు అక్షరాలు
   • అది గమనించవద్దు అన్నీ చిహ్నాలు తెలియని వేరియబుల్స్. ఉదాహరణకు, పై లేదా π, ఎల్లప్పుడూ సమానం (గుండ్రంగా) 3.1459.
2. వేరియబుల్స్ "తెలియని" సంఖ్యలుగా ఆలోచించండి. పైన సూచించినట్లుగా, వేరియబుల్స్ సాధారణంగా తెలియని విలువలతో ఉన్న సంఖ్యలు. ఇంకా చెప్పాలంటే, ఉంది ఒక సంఖ్య ఇది సమీకరణం పని చేయడానికి వేరియబుల్ స్థానంలో పడుతుంది. సాధారణంగా, బీజగణిత సమస్య యొక్క ఉద్దేశ్యం ఆ వేరియబుల్ ఏమిటో గుర్తించడం - మీరు కనుగొనటానికి ప్రయత్నిస్తున్న "మర్మమైన సంఖ్య" గా భావించండి.
   • ఉదాహరణకు, 2x + 3 = 11 సమీకరణంలో, x వేరియబుల్. X ని భర్తీ చేయగల ఒక నిర్దిష్ట విలువ ఉందని దీని అర్థం, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు 11 కి సమానంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే 2 × 4 + 3 = 11, ఈ సందర్భంలో, x =4.
   • బీజగణిత సమస్యలలో ప్రశ్న గుర్తుతో వాటిని మార్చడం వేరియబుల్స్ అర్థం చేసుకోవడానికి సులభమైన మార్గం. ఉదాహరణకు, 2 + 3 + x = 9 సమీకరణాన్ని 2 + 3 + గా తిరిగి వ్రాయండి ?= 9. ఉద్దేశ్యం ఏమిటో చూడటానికి ఇది ఒక సరళమైన మార్గం - 9 ను సమాధానంగా పొందడానికి 2 + 3 = 5 కు ఏ సంఖ్యను జోడించాలో మనం గుర్తించాలి. సమాధానం మళ్ళీ 4, కోర్సు యొక్క.
3. వేరియబుల్ అనేకసార్లు కనిపిస్తే, వేరియబుల్స్ సరళీకృతం చేయండి. ఒకే వేరియబుల్ ఒక సమీకరణంలో చాలాసార్లు కనిపిస్తే మీరు ఏమి చేస్తారు? ఇది ఒక గమ్మత్తైన పరిస్థితిలా అనిపించినప్పటికీ, మీరు సాధారణ సంఖ్యలను ఎలా పరిగణిస్తారో అదే విధంగా మీరు వేరియబుల్స్‌కు చికిత్స చేయవచ్చు - మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మీరు ఒకేలా ఉండే వేరియబుల్స్‌ను మాత్రమే మిళితం చేసినంత వరకు మీరు జోడించవచ్చు, తీసివేయవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, x + x = 2x, కానీ x + y 2xy కి సమానం కాదు.
   • ఉదాహరణకు, 2x + 1x = 9 సమీకరణాన్ని చూడండి. ఈ సందర్భంలో, మేము 2x మరియు 1x లను కలిపి, తద్వారా మనకు 3x = 9 లభిస్తుంది. 3 x 3 = 9 నుండి, మనకు ఇప్పుడు x = అని తెలుసు3.
   • మీరు ఒకదానికొకటి సమానమైన వేరియబుల్స్ మాత్రమే జోడించగలరని మళ్ళీ గమనించండి. 2x + 1y = 9 సమీకరణంలో, మేము 2x మరియు 1y లను కలపలేము, ఎందుకంటే ఇవి రెండు వేర్వేరు వేరియబుల్స్.
   • ఒక వేరియబుల్ మరొకదానికి భిన్నమైన ఘాతాంకం ఉన్నప్పుడు ఇది కూడా నిజం. ఉదాహరణకు: సమీకరణంలో 2x + 3x = 10, 2x మరియు 3x కలపడం సాధ్యం కాదు, ఎందుకంటే x వేరియబుల్స్ వేర్వేరు ఎక్స్పోనెంట్లను కలిగి ఉంటాయి. ఘాతాంకాలను జోడించడం గురించి మరింత సమాచారం కోసం, వికీహౌ చూడండి.

5 యొక్క 3 వ భాగం: తొలగించడం ద్వారా సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

1. సమీకరణంలో వేరియబుల్‌ను వేరుచేయండి. బీజగణితంలో ఒక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధారణంగా వేరియబుల్ ఏమిటో నిర్ణయించడానికి ప్రయత్నిస్తుంది. బీజగణిత సమీకరణాలు సాధారణంగా రెండు వైపులా సంఖ్యలు మరియు / లేదా వేరియబుల్స్ కలిగి ఉంటాయి: x + 2 = 9 × 4. వేరియబుల్ ఏమిటో నిర్ణయించడానికి, మీరు దానిని సమాన చిహ్నం యొక్క ఒక వైపు ఉంచాలి. సమాన చిహ్నం యొక్క మరొక వైపు మిగిలి ఉన్నది సమాధానం.
   • ఉదాహరణలో (x + 2 = 9 × 4), సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున x ను వేరుచేయడానికి, మనం "+ 2" ను వదిలించుకోవాలి. ఇది చేయుటకు, మేము ఈ వైపు నుండి 2 ను తీసివేసి, x = 9 × 4 తో వదిలివేస్తాము. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సమానంగా చేయడానికి, మనం కూడా 2 వైపు నుండి తీసివేయాలి. ఇది x = 9 × 4 - 2 తో మనలను వదిలివేస్తుంది. కార్యకలాపాల క్రమం ప్రకారం, మేము మొదట గుణించాలి, తరువాత తీసివేస్తాము మరియు x = 36 - 2 = సమాధానం పొందుతాము34.
2. తీసివేయడం ద్వారా అదనంగా తొలగించండి (మరియు దీనికి విరుద్ధంగా). మేము పైన చూసినట్లుగా, సమాన చిహ్నం యొక్క ఒక వైపున x ను వేరుచేయడం సాధారణంగా దాని ప్రక్కన ఉన్న సంఖ్యలను వదిలించుకోవడానికి ప్రయత్నించడం. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా "వ్యతిరేక" ఆపరేషన్ చేయడం ద్వారా మీరు దీన్ని చేస్తారు. ఉదాహరణకు, x + 3 = 0 సమీకరణంలో, మేము రెండు వైపులా "- 3" ను ఉంచాము, ఎందుకంటే x పక్కన "+ 3" ఉంది. ఇది x ను వేరుచేసి, సమాన చిహ్నం యొక్క మరొక వైపున "-3" ను పొందుతుంది, ఇలా ఉంటుంది: x = -3.
   • సాధారణంగా, అదనంగా మరియు వ్యవకలనం "వ్యతిరేకం" - ఒకటి మార్గం పనిచేస్తుంది. క్రింద చూడగలరు:

     జోడించేటప్పుడు, తీసివేయడం. ఉదాహరణ: x + 9 = 3 x = 3 - 9

     తీసివేసేటప్పుడు, జోడించడం. ఉదాహరణ: x - 4 = 20 x = 20 + 4

3. విభజించడం ద్వారా గుణకారం తొలగించండి (మరియు దీనికి విరుద్ధంగా). గుణకారం మరియు విభజన అదనంగా మరియు వ్యవకలనం కంటే పని చేయడానికి కొంచెం ఉపాయాలు, కానీ అవి ఒకే "వ్యతిరేక" సంబంధాన్ని పంచుకుంటాయి. మీరు ఒక వైపు "× 3" ను చూస్తే, మీరు రెండు వైపులా 3 ద్వారా విభజించడం ద్వారా దాన్ని తొలగించవచ్చు.
   • గుణకారం మరియు విభజనతో, మీరు వ్యతిరేక ఆపరేషన్ చేయాలి ప్రతిదీ సమాన సంకేతం యొక్క మరొక వైపు, అది ఒకటి కంటే ఎక్కువ సంఖ్య ఉన్నప్పటికీ. క్రింద చూడగలరు:

     గుణించేటప్పుడు, విభజించేటప్పుడు. ఉదాహరణ: 6x = 14 + 2 → x = (14 + 2)/6

     విభజించేటప్పుడు, గుణించాలి. ఉదాహరణ: x / 5 = 25 x = 25 × 5

4. చదరపు మూలాలను తీసుకొని ఘాతాంకాలను తొలగించండి (మరియు దీనికి విరుద్ధంగా). బీజగణితంలో ఘాతాంకాలు ఒక అధునాతన అంశం - దానితో ఏమి చేయాలో మీకు తెలియకపోతే, ఎక్స్పోనెంట్లపై అనుభవశూన్యుడు యొక్క వికీహౌ కథనాన్ని చదవండి. ఘాతాంకం యొక్క "వ్యతిరేకం" ఆ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం. ఉదాహరణకు, ఘాతాంకానికి వ్యతిరేకం వర్గమూలం (√), ఘాతాంకానికి వ్యతిరేకం క్యూబ్ రూట్ (√), మొదలైనవి.
   • ఇది కొంచెం గందరగోళంగా ఉంటుంది, కానీ ఈ సందర్భాలలో మీరు ఒక ఘాతాంకంతో వ్యవహరించేటప్పుడు రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని తీసుకుంటారు. మరోవైపు, చదరపు మూలంతో వ్యవహరించేటప్పుడు మీరు రెండు వైపులా ఘాతాంకం కూడా తీసుకుంటారు. క్రింద చూడగలరు:

     ఘాతాంకాల కోసం, వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి. ఉదాహరణ: x = 49 x =√49

     మూలాల కోసం, ఘాతాంకం తీసుకోండి. ఉదాహరణ: √x = 12 x =12

5 యొక్క 4 వ భాగం: మీ గణిత నైపుణ్యాలను మెరుగుపరుచుకోండి

1. వ్యాయామాలు స్పష్టంగా చేయడానికి చిత్రాలను ఉపయోగించండి. మీరు బీజగణిత సమస్యను ప్రదర్శించలేకపోతే, సమీకరణాన్ని వివరించడానికి గ్రాఫ్‌లు లేదా చిత్రాలను ఉపయోగించండి. మీరు వాటిని కలిగి ఉంటే వస్తువుల సమూహాన్ని (బ్లాక్స్ లేదా నాణేలు వంటివి) కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
   • ఉదాహరణకు, బాక్సులను (☐) ఉపయోగించి x + 2 = 3 సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం

     x + 2 = 3

     ☒+☐☐=☐☐☐

     ఈ సమయంలో, రెండు వైపులా 2 పెట్టెలను (☐☐) తొలగించడం ద్వారా రెండు వైపుల నుండి 2 ను తీసివేయండి:

     ☒+☐☐-☐☐=☐☐☐-☐☐

     =, లేదా x =1

   • మరొక ఉదాహరణ: 2x = 4

     ☒☒=☐☐☐☐

     ఈ సమయంలో, మేము రెండు వైపులా రెండుగా విభజిస్తాము, ప్రతి వైపు బాక్సులను రెండు గ్రూపులుగా విభజిస్తాము:

     ☒|☒=☐☐|☐☐

     =, లేదా x =2

2. "లాజిక్ తనిఖీలు" ఉపయోగించండి (ముఖ్యంగా సమస్యల విషయానికి వస్తే). మీరు ఒక సమస్యను బీజగణిత సమీకరణంగా మార్చాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, సాధారణ విలువలను వేరియబుల్స్‌లో చేర్చడం ద్వారా మీ సూత్రాన్ని తనిఖీ చేయండి. X = 0 ఉన్నప్పుడు మీ సమీకరణం సరైనదేనా? X = 1 ఉన్నప్పుడు? X = -1 ఉన్నప్పుడు? మీరు p = d / 6 అని అర్ధం చెప్పినప్పుడు p = 6d వంటి వాటిని గుర్తించేటప్పుడు చిన్న తప్పులు చేయడం చాలా సులభం, కానీ మీరు ముందుకు వెళ్ళే ముందు మీరు చేసిన పనిని తనిఖీ చేస్తే మీరు వాటిని వెంటనే కనుగొంటారు.
   • ఉదాహరణకు: మనకు ఫుట్‌బాల్ మైదానం వెడల్పు కంటే 30 మీటర్ల పొడవు ఉందని అనుకుందాం. దీన్ని సూచించడానికి మేము l = w + 30 సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము. W కోసం సాధారణ విలువలను నమోదు చేయడం ద్వారా మనం ఈ సమీకరణాన్ని పరీక్షించవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఫీల్డ్ w = 10 మీటర్ల వెడల్పు ఉంటే, అది 10 + 30 = 40 మీటర్ల పొడవు ఉంటుంది. ఇది 30 మీటర్ల వెడల్పు ఉంటే, అది 30 + 30 = 60 మీటర్ల పొడవు ఉంటుంది. ఇది తార్కికంగా అనిపిస్తుంది - ఫీల్డ్ విస్తరించేటప్పుడు ఎక్కువ సమయం వస్తుందని మేము ఆశిస్తున్నాము, కాబట్టి ఈ సమీకరణం సహేతుకమైన పరిష్కారంగా కనిపిస్తుంది.
3. సమాధానాలు ఎల్లప్పుడూ గణితంలో పూర్ణాంకాలు కాదని గుర్తుంచుకోండి. బీజగణితం మరియు ఇతర గణితాలలో సమాధానాలు ఎల్లప్పుడూ గుండ్రని, సులభమైన సంఖ్యలు కాదు. అవి తరచుగా దశాంశాలు, భిన్నాలు లేదా అహేతుక సంఖ్యలు. ఈ సంక్లిష్టమైన సమాధానాలను కనుగొనడానికి ఒక కాలిక్యులేటర్ మీకు సహాయపడుతుంది, కానీ మీ గురువు మిమ్మల్ని ఖచ్చితంగా సమాధానం ఇవ్వమని అడగవచ్చు, వికృతమైన దశాంశ స్థానం కాదు.
   • ఉదాహరణకు, మేము బీజగణిత సమీకరణాన్ని x = 1250 కు తగ్గించాము. మేము 1250 ను కాలిక్యులేటర్‌లోకి ప్రవేశిస్తే, మనకు దశాంశ స్థానాల భారీ స్ట్రింగ్ లభిస్తుంది (ఎందుకంటే కాలిక్యులేటర్ యొక్క స్క్రీన్‌కు పరిమిత స్థలం ఉంది, దీనికి పూర్తి సమాధానం చూపించలేము). ఈ సందర్భంలో, మేము జవాబును 1250 గా ప్రదర్శించవచ్చు లేదా శాస్త్రీయ సంజ్ఞామానంలో వ్రాయడం ద్వారా జవాబును సరళీకృతం చేయవచ్చు.
4. బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక విషయాల గురించి మీకు కొంచెం తెలిసి ఉంటే, కారకాలను ప్రయత్నించండి. బీజగణితంలో ఉపాయమైన నైపుణ్యాలలో ఒకటి కారకం - సంక్లిష్ట సమీకరణాలను సరళమైన రూపంలో వ్రాయడానికి సత్వరమార్గం. బీజగణితంలో కారకం చాలా అధునాతనమైన అంశం, కాబట్టి మీకు కష్టమైన అంశం అనిపిస్తే పైన లింక్ చేసిన కథనాన్ని చూడండి. సమీకరణాలను కారకం చేయడంలో మీకు సహాయపడే కొన్ని చిట్కాలు క్రింద ఉన్నాయి:
   • గొడ్డలి + బా కారకం యొక్క సమీకరణాలు a (x + b) లోకి. ఉదాహరణ: 2x + 4 = 2 (x + 2)
   • Cx ((a / c) x + (b / c)) కు గొడ్డలి + bx కారకం యొక్క సమీకరణాలు, ఇక్కడ c అనేది a మరియు b లకు పూర్తిగా సరిపోయే అతిపెద్ద సంఖ్య. ఉదాహరణ: 3y + 12y = 3y (y + 4)
   • X + bx + c కారకం (x + y) (x + z) కు సమీకరణాలు ఇక్కడ y × z = c మరియు yx + zx = bx. ఉదాహరణ: x + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).
5. ప్రాక్టీస్, ప్రాక్టీస్, ప్రాక్టీస్! బీజగణితం (మరియు గణితంలోని ఏదైనా ఇతర శాఖ) నేర్చుకోవడంలో పురోగతికి చాలా కృషి మరియు పునరావృతం అవసరం. చింతించకండి - తరగతిలో శ్రద్ధ చూపడం ద్వారా, మీ ఇంటి పనులన్నీ చేయడం ద్వారా మరియు అవసరమైనప్పుడు మీ గురువు లేదా ఇతర విద్యార్థుల నుండి సహాయం కోరడం ద్వారా, బీజగణితం చివరికి రెండవ స్వభావం అవుతుంది.
6. మోసపూరిత విషయాలతో మీకు సహాయం చేయమని మీ గురువును అడగండి. మీరు పదార్థాన్ని నేర్చుకోవడం కష్టమైతే, చింతించకండి - మీరు దానిని మీ స్వంతంగా నేర్చుకోవలసిన అవసరం లేదు. ప్రశ్నలతో మీకు సహాయం చేసిన మొదటి వ్యక్తి మీ గురువు. తరగతి తరువాత, మర్యాదగా ఉపాధ్యాయుని సహాయం కోసం అడగండి. మంచి ఉపాధ్యాయులు సాధారణంగా మీరు తరగతి తర్వాత వారి వద్దకు వచ్చినప్పుడు మళ్ళీ ఒక అంశాన్ని వివరించడానికి ఇష్టపడతారు మరియు మీకు అదనపు ప్రాక్టీస్ మెటీరియల్‌ను కూడా అందించగలరు.
   • కొన్ని కారణాల వల్ల మీ గురువు మీకు సహాయం చేయలేకపోతే, పాఠశాలలో శిక్షణ కోసం ఎంపికల గురించి వారిని అడగండి. బీజగణితంలో రాణించటానికి మీకు అదనపు సమయం మరియు శ్రద్ధ ఇచ్చే అదనపు పాఠశాలలు చాలా పాఠశాలల్లో ఉన్నాయి. గుర్తుంచుకోండి, అందుబాటులో ఉన్న ఉచిత సహాయాన్ని ఉపయోగించడం సిగ్గుపడవలసిన విషయం కాదు - ఇది మీ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మీరు తగినంత స్మార్ట్ అని సూచన!

5 యొక్క 5 వ భాగం: అధునాతన విషయాలను అన్వేషించడం

1. సమీకరణాన్ని ఎలా గ్రాఫ్ చేయాలో తెలుసుకోండి. బీజగణితంలో గ్రాఫ్‌లు విలువైన సాధనాలు ఎందుకంటే అవి సులభంగా అర్థం చేసుకోగలిగే చిత్రాలలో సంఖ్యలు అవసరమయ్యే ఆలోచనలను సూచించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. సాధారణంగా, బీజగణితంతో ప్రారంభించేటప్పుడు, గ్రాఫ్‌లు రెండు వేరియబుల్స్ (సాధారణంగా x మరియు y) తో సమీకరణాలకు పరిమితం చేయబడతాయి మరియు x- అక్షం మరియు y- అక్షంతో సాధారణ 2-D గ్రాఫ్‌లో ప్రదర్శించబడతాయి. ఈ సమీకరణాలతో, మీరు చేయాల్సిందల్లా x కోసం విలువను నమోదు చేసి, ఆపై గ్రాఫ్‌లోని ఒక బిందువుకు అనుగుణంగా ఉండే రెండు సంఖ్యలను పొందడానికి y (లేదా దీనికి విరుద్ధంగా) కోసం పరిష్కరించండి.
   • ఉదాహరణకు, y = 3x సమీకరణంలో, మేము x కోసం 2 ను ఎంటర్ చేస్తాము మరియు మనకు y = 6 ను సమాధానంగా పొందుతాము. ఇది పాయింట్‌ను సూచిస్తుంది (2,6) (సున్నా పాయింట్ యొక్క కుడి వైపున రెండు పాయింట్లు మరియు 6 పైకి) సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్‌లో భాగం.
   • Y = mx + b రూపం యొక్క సమీకరణాలు (ఇక్కడ m మరియు b సంఖ్యలు) ప్రత్యేక బీజగణితం యొక్క ప్రాథమికాలలో. ఈ సమీకరణాలు ఎల్లప్పుడూ ఒక వాలు m కలిగి ఉంటాయి మరియు y = b పాయింట్ వద్ద y అక్షాన్ని దాటుతాయి.
2. అసమానతలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోండి. సమీకరణానికి సమాన సంకేతం లేనప్పుడు మీరు ఏమి చేస్తారు? మీరు లేకపోతే చేసేదానితో పోలిస్తే ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, అది అవుతుంది. అసమానతల కోసం, మీరు>> ("కంటే ఎక్కువ") మరియు ("కంటే తక్కువ") వంటి సంకేతాలను ఎదుర్కొంటే, సమీకరణాన్ని అదే విధంగా పరిష్కరించండి. మీకు లభించే సమాధానం మీ వేరియబుల్ కంటే చిన్నది లేదా పెద్దది.
   • ఉదాహరణకు, 3> 5x - 2 సమీకరణంలో, మేము దానిని సాధారణ సమీకరణం వలె పరిష్కరిస్తాము:

     3> 5x - 2

     5> 5x

     1> x, లేదా x 1.

   • ఇది సూచిస్తుంది 1 కంటే తక్కువ సంఖ్య x కి సరైనది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, x 0, -1, -2, మొదలైనవి కావచ్చు. మేము x కోసం సమీకరణంలోకి ఈ సంఖ్యలను నమోదు చేస్తే, మనకు ఎల్లప్పుడూ 3 కన్నా తక్కువ సమాధానం లభిస్తుంది.
3. వర్గ లేదా చదరపు సమీకరణాలను పరిష్కరించండి. చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిష్కరించడం చాలా మంది ప్రారంభకులు పొరపాట్లు చేసే బీజగణిత అంశం. ఇవి గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి = 0 రూపం యొక్క సమీకరణాలు, ఇక్కడ ఎ, బి మరియు సి సంఖ్యలు (తప్ప 0 ఉండకూడదు). మేము ఈ సమీకరణాలను x = [- b +/- √ (b - 4ac)] / 2a సూత్రంతో పరిష్కరిస్తాము. జాగ్రత్తగా ఉండండి - +/- అంటే మీరు రెండింటికి సమాధానాలను కనుగొనవలసి ఉంటుంది గా తీసివేయండి, తద్వారా ఈ రకమైన వ్యాయామాలకు రెండు సమాధానాలు సాధ్యమవుతాయి.
   • ఒక ఉదాహరణ: 3x + 2x -1 = 0 అనే వర్గ సూత్రాన్ని పరిష్కరించడం.

     x = [- బి +/- (బి - 4ac)] / 2 ఎ

     x = [- 2 +/- √ (2 - 4 (3) (- 1))] / 2 (3)

     x = [- 2 +/- (4 - (-12))] / 6

     x = [- 2 +/- (16)] / 6

     x = [- 2 +/- 4] / 6

     x =-1 మరియు 1/3

4. సమీకరణాల వ్యవస్థతో ప్రయోగం. ఒకే సమయంలో బహుళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గమ్మత్తైనదిగా అనిపించవచ్చు, కానీ మీరు సాధారణ బీజగణిత సమీకరణాలతో పని చేస్తున్నప్పుడు, అది అంత కష్టం కాదు. ఈ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గణిత ఉపాధ్యాయులు తరచుగా గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగిస్తారు. మీరు రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలతో పనిచేస్తే, గ్రాఫ్‌లోని పాయింట్లను చూడటం ద్వారా మీరు పరిష్కారాన్ని కనుగొంటారు, ఇక్కడ రెండు సమీకరణాల పంక్తులు కలుస్తాయి.
   • ఉదాహరణకు: మేము y = 3x - 2 మరియు y = -x - 6 సమీకరణాల వ్యవస్థతో వ్యవహరిస్తున్నామని అనుకుందాం. ఈ రెండు పంక్తులను గ్రాఫ్‌లో గీస్తే, మనకు నిటారుగా పైకి వెళ్లే పంక్తి లభిస్తుంది మరియు తక్కువ వెళుతుంది నిటారుగా డౌన్. ఎందుకంటే ఈ పంక్తులు పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి (-1,-5), అది వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం.
   • దీన్ని తనిఖీ చేయడానికి, సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలలో జవాబును చేర్చండి - సరైన సమాధానం రెండు సమీకరణాలకు "పని" చేయాలి.

     y = 3x - 2

     -5=3(-1) - 2

     -5=-3 - 2

     -5=-5

     y = -x - 6

     -5=-(-1) - 6

     -5=1 - 6

     -5=-5

   • రెండు సమీకరణాలు "సరైనవి", కాబట్టి మా సమాధానం సరైనది!

చిట్కాలు

• బీజగణితం ఆన్‌లైన్‌లో నేర్చుకోవాలనుకునే వ్యక్తుల కోసం టన్నుల సంఖ్యలో వనరులు ఉన్నాయి. "బీజగణితం సహాయం" వంటి సెర్చ్ ఇంజిన్‌లో సరళమైన శోధన మీకు డజన్ల కొద్దీ గొప్ప ఫలితాలను ఇస్తుంది. వికీహో యొక్క మఠం వర్గాన్ని కూడా చూడండి. అక్కడ మీరు చాలా సమాచారాన్ని కనుగొంటారు, కాబట్టి వెంటనే ప్రారంభించండి!
• బీజగణిత ప్రారంభకులకు గొప్ప సైట్ khanacademy.com. ఈ ఉచిత సైట్ బీజగణితంతో సహా భారీ అంశాలపై సులభంగా అనుసరించగల పాఠాలను అందిస్తుంది. చాలా సరళమైన నుండి విశ్వవిద్యాలయ స్థాయి విషయాల వరకు ప్రతిదానిపై వీడియోలు ఉన్నాయి, కాబట్టి ఖాన్ అకాడమీని సద్వినియోగం చేసుకోవడానికి వెనుకాడరు మరియు ఈ సైట్ మీకు అందించే అన్ని సహాయం!
• గుర్తుంచుకోండి, బీజగణితం నేర్చుకోవడానికి ఉత్తమ వనరులు మీకు ఇప్పటికే తెలిసిన వ్యక్తులు. తరగతిలో ఉన్న అంశాలతో మీకు సహాయం అవసరమైతే ఒకే తరగతికి హాజరయ్యే స్నేహితులు లేదా ఇతర విద్యార్థులతో సంప్రదించండి.