విషయము

• దశలు
• సలహా

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం అనేది ఒక-వేరియబుల్ బహుపది, ఇక్కడ 2 ఆ వేరియబుల్ యొక్క అత్యధిక ఘాతాంకం. వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మూడు ప్రధాన మార్గాలు ఉన్నాయి: 1) వీలైతే సమీకరణాన్ని కారకాలుగా మార్చండి, 2) చతురస్రాకార సూత్రాన్ని వాడండి లేదా 3) చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయండి. ఈ మూడు పద్ధతులతో ఎలా ప్రావీణ్యం పొందాలో తెలుసుకోవడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి.

దశలు

3 యొక్క పద్ధతి 1: కారకాలగా సమీకరణాల విశ్లేషణ

1. 

   అన్ని ఒకే నిబంధనలను జోడించి, వాటిని సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించండి. కారకాల విశ్లేషణలో మొదటి దశ దాని నిబంధనలన్నింటినీ ఒక వైపుకు ఉంచడం, తద్వారా అవి సానుకూల సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటాయి. నిబంధనలను కలపడానికి, అన్ని నిబంధనలు, ఏదైనా పదాలు మరియు స్థిరాంకాలు (నిబంధనలు పూర్ణాంకాలు) జోడించండి లేదా తీసివేయండి, వాటిని ఒక వైపుకు మార్చండి మరియు మరొక వైపు ఏమీ ఉంచవద్దు. అప్పుడు మీరు సమాన చిహ్నం యొక్క మరొక వైపు "0" అని వ్రాయవచ్చు. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:

2. 

   
   
   వ్యక్తీకరణను కారకంగా విశ్లేషించండి. వ్యక్తీకరణకు కారకం కావడానికి, మీరు (3) అనే పదం యొక్క కారకాలను మరియు స్థిరమైన (-4) యొక్క కారకాలను ఉపయోగించాలి, వాటిని గుణించి, ఆపై దానిని సెంటర్ టర్మ్ (-11) కు జోడించాలి. . దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • ఒకే ఒక కారకం సెట్ ఉన్నందున, మరియు, మీరు దీన్ని కుండలీకరణాల్లో తిరిగి వ్రాయవచ్చు :.
   • తరువాత, గుణించినప్పుడు -11x చేసే కలయికను కనుగొనడానికి 4 యొక్క కారకాలను కలపడానికి తగ్గింపును ఉపయోగించండి. మీరు 4 మరియు 1 లేదా 2 మరియు 2 లను ఉపయోగించవచ్చు ఎందుకంటే అవి రెండూ 4 యొక్క ఉత్పత్తిని కలిగి ఉంటాయి. మన పదం -4 ఎందుకంటే ఒక కారకం ప్రతికూలంగా ఉండాలి అని గుర్తుంచుకోండి.
   • పరీక్షా పద్ధతిలో, మేము కారకాల కలయికను తనిఖీ చేస్తాము. మేము గుణకారం అమలు చేసినప్పుడు, మేము పొందుతాము. నిబంధనలను జోడించండి మరియు, మేము లక్ష్యంగా పెట్టుకున్న ఖచ్చితమైన మధ్య పదం. కాబట్టి మేము చతురస్రాకార ఫంక్షన్‌ను కారకం చేసాము.
   • ఈ పరీక్షకు ఉదాహరణగా, దీని యొక్క తప్పు (తప్పు) కలయికను పరిశీలిద్దాం: =. ఈ నిబంధనలను కలిపి, మేము పొందుతాము. -2 మరియు 2 ఉత్పత్తులు -4 కు సమానమైనవని నిజం అయినప్పటికీ, ఈ మధ్య ఉన్న పదం సరైనది కాదు, ఎందుకంటే మనకు ఇది అవసరం, కాదు.

3. 

   
   
   కుండలీకరణాల్లోని ప్రతి వ్యక్తీకరణ సున్నాగా ఉండనివ్వండి వ్యక్తిగత సమీకరణాలుగా. అక్కడ నుండి, దాని యొక్క రెండు విలువలను కనుగొనండి, మొత్తం సమీకరణాన్ని సున్నా = 0 కి సమానంగా చేస్తుంది. ఇప్పుడు, మీరు సమీకరణాన్ని కారకం చేసిన తర్వాత, మీరు వ్యక్తీకరణను కుండలీకరణాల్లో సున్నాతో జతచేయాలి. ఎందుకు? ఎందుకంటే సున్నా ఉత్పత్తి కోసం, మనకు "సూత్రం, చట్టం లేదా ఆస్తి" ఉంది, అది ఒక అంశం సున్నాగా ఉండాలి. అందువల్ల, కుండలీకరణాల్లో కనీసం ఒక విలువ, సున్నాగా ఉండాలి; అంటే (3x + 1) లేదా (x - 4) సున్నా అయి ఉండాలి. కాబట్టి మనకు గాని ఉంది.

4. 

   
   
   ఈ ప్రతి "సున్నా" సమీకరణాలను స్వతంత్రంగా పరిష్కరించండి. చతురస్రాకార సమీకరణానికి రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి. వేరియబుల్‌ను వేరు చేసి, దాని రెండు పరిష్కారాలను తుది ఫలితంగా వ్రాయడం ద్వారా వేరియబుల్ x కోసం ప్రతి పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి. ఇక్కడ ఎలా ఉంది:
   • 3x + 1 = 0 పరిష్కరించండి
     • రెండు వైపులా తీసివేయండి: 3x = -1 .....
     • భుజాలను విభజించండి: 3x / 3 = -1/3 .....
     • కుదించు: x = -1/3 .....
   • X - 4 = 0 పరిష్కరించండి
     • రెండు వైపులా తీసివేయండి: x = 4 .....
   • మీ స్వంత పరిష్కారాలను రాయండి: x = (-1/3, 4) ....., అంటే x = -1/3, లేదా x = 4 రెండూ సరైనవి.

5. 

   X = -1/3 ని తనిఖీ చేయండి (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   వ్యక్తీకరణకు బదులుగా, మనకు ఉంది (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... కుదించు: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... గుణకారం జరుపుము, మనకు లభిస్తుంది (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... కుడి, x = -1/3 దీనికి పరిష్కారం సమీకరణం.

6. 

   X = 4 ని తనిఖీ చేయండి (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   వ్యక్తీకరణకు బదులుగా, మనకు ఉంది (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... కుదించు, మనకు లభిస్తుంది: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... గుణకారం జరుపుము: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... కుడి, x = 4 సమీకరణానికి పరిష్కారం.
   • కాబట్టి ఈ రెండు పరిష్కారాలు ఒక్కొక్కటిగా "పరీక్షించబడ్డాయి", మరియు రెండూ సమస్యను పరిష్కరిస్తాయని మరియు రెండు వేర్వేరు నిజమైన పరిష్కారాలు అని నిర్ధారించవచ్చు.
   ప్రకటన

3 యొక్క పద్ధతి 2: వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి

1. 

   అన్ని ఒకే నిబంధనలను జోడించి వాటిని సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించండి. అన్ని పదాలను సమాన చిహ్నం యొక్క ఒక వైపుకు కదిలిస్తుంది, తద్వారా ఈ పదం సానుకూల చిహ్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది. పదాలను అవరోహణ క్రమంలో తిరిగి వ్రాయండి, అంటే ఈ పదం మొదట వస్తుంది, తరువాత వస్తుంది మరియు చివరికి స్థిరంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ ఎలా ఉంది:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   మీ వర్గ సూత్రాన్ని వ్రాసుకోండి. అంటే:

3. 

   వర్గ సమీకరణంలో a, b మరియు c యొక్క విలువలను నిర్ణయించండి. అవుట్ a x యొక్క గుణకం, బి x మరియు యొక్క గుణకం సి స్థిరంగా ఉంటుంది. 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, మరియు c = -8 అనే సమీకరణంతో. దయచేసి కాగితంపై రాయండి.

4. 

   A, b మరియు c యొక్క విలువలను సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయండి. పై మూడు వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలు ఇప్పుడు మీకు తెలుసు, మీరు వాటిని ఈ విధంగా సమీకరణంలో ఉంచవచ్చు:
   • {-b +/- (బి - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   లెక్కలు జరుపుము. మీరు సంఖ్యలను భర్తీ చేసిన తర్వాత, సానుకూల లేదా ప్రతికూల సంకేతాలను తగ్గించడానికి మిగిలిన గణనను చేయండి, మిగిలిన నిబంధనలను గుణించండి లేదా చతురస్రం చేయండి. ఇక్కడ ఎలా ఉంది:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   వర్గమూలాన్ని కుదించండి. రాడికల్ సైన్ కింద ఒక ఖచ్చితమైన చతురస్రం ఉంటే, మీకు పూర్ణాంకం లభిస్తుంది. ఇది ఖచ్చితమైన చతురస్రం కాకపోతే, దానిని దాని సరళమైన రాడికల్ రూపానికి తగ్గించండి. ఇది ప్రతికూలంగా ఉంటే, మరియు అది ప్రతికూలంగా ఉండాలని మీరు ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నారు, పరిష్కారం చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది. ఈ ఉదాహరణలో, √ (121) = 11. మేము వ్రాయగలము: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   సానుకూల మరియు ప్రతికూల పరిష్కారాల కోసం పరిష్కరించండి. మీరు వర్గమూలాన్ని తీసివేస్తే, x యొక్క సానుకూల మరియు ప్రతికూల పరిష్కారాలను కనుగొనే వరకు మీరు కొనసాగించవచ్చు. ఇప్పుడు మీకు (5 +/- 11) / 6 ఉంది, మీరు రెండు ఎంపికలను వ్రాయవచ్చు:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   సానుకూల మరియు ప్రతికూల పరిష్కారాలను కనుగొనండి. మేము గణన చేయవలసి ఉంది:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   కుదించు. మీ సమాధానాలను తగ్గించడానికి, మీరు లెక్కింపు మరియు మోడల్ రెండింటినీ వారి గొప్ప సాధారణ విభజన ద్వారా విభజించాలి. మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం 2 ద్వారా మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం మరియు హారం 6 ద్వారా విభజించండి మరియు మీరు x ను కనుగొన్నారు.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   ప్రకటన

3 యొక్క విధానం 3: చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయండి

1. 

   అన్ని నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించండి. అని నిర్ధారించుకోండి a లేదా x కు సానుకూల సంకేతం ఉంది. ఇక్కడ ఎలా ఉంది:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • ఈ సమీకరణంలో, a సమాన 2, బి సమానం -12 మరియు సి -9 కు సమానం.

2. 

   ముందుకు వెళ్ళిపోవటం సి లేదా మరొక వైపుకు స్థిరంగా ఉంటుంది. స్థిరాంకాలు వేరియబుల్స్ లేని సంఖ్యా పదాలు. సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలించండి:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   గుణకాల ద్వారా రెండు వైపులా విభజించండి a లేదా x యొక్క గుణకం. X కి ముందు పదం లేకపోతే, దాని గుణకం 1 మరియు మీరు ఈ దశను దాటవేయవచ్చు. మా విషయంలో, మీరు సమీకరణంలోని అన్ని పదాలను 2 ద్వారా విభజించాలి, ఇలా:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   భాగస్వామ్యం చేయండి బి రెండు ద్వారా, దాన్ని చతురస్రం చేసి ఫలితాన్ని రెండు వైపులా జోడించండి. ఈ ఉదాహరణలో, బి సమానం -6. మేము ఈ క్రింది వాటిని చేస్తాము:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   రెండు వైపులా కుదించండి. ఎడమ చేతికి కారకం చేయడానికి, మనకు (x-3) (x-3), లేదా (x-3) ఉంది. 9/2 + 9, లేదా 9/2 + 18/2 పొందడానికి కుడి వైపు జోడించి, 2/27 పొందండి.

6. 

   రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని కనుగొనండి. (X-3) యొక్క వర్గమూలం (x-3). మీరు 27/2 యొక్క వర్గమూలాన్ని ± √ (27/2) గా వ్యక్తీకరించవచ్చు. కాబట్టి, x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   రాడికల్ గుర్తును కుదించండి మరియు x ను కనుగొనండి. ± √ (27/2) ను తగ్గించడానికి, మేము 27, 2 లోపు ఒక చతురస్రాన్ని లేదా దానిలోని ఒక కారకాన్ని కనుగొంటాము. ఖచ్చితమైన చదరపు 9 27 లో ఉంది, ఎందుకంటే 9x3 = 27. రాడికల్ గుర్తు నుండి 9 ను తొలగించడానికి, మేము దానిని బయటకు తీసి, రాడికల్ గుర్తుకు అదనంగా 3, దాని వర్గమూలం వ్రాస్తాము. లెక్కింపులో మిగిలిన 3 కారకాన్ని అవుట్పుట్ చేయలేము, కాబట్టి ఇది రాడికల్ గుర్తు క్రింద ఉంది. అదే సమయంలో, మేము భిన్నం యొక్క నమూనాలో 2 ను కూడా వదిలివేస్తాము. తరువాత, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున స్థిరమైన 3 ని కుడి వైపుకు తరలించి, రెండు పరిష్కారాలను రాయండి:
   • x = 3 + (6) / 2
   • x = 3 - (6) / 2)
   ప్రకటన

సలహా

• చూడగలిగినట్లుగా, రాడికల్ సంకేతం పూర్తిగా కనిపించదు. అందువల్ల, లెక్కింపులోని పదాలు సంచితంగా ఉండకూడదు (ఎందుకంటే అవి ఒకే ఆస్తి యొక్క నిబంధనలు కావు). కాబట్టి, ప్లస్-లేదా-మైనస్ విభజన అర్థరహితం. బదులుగా, మేము అన్ని సాధారణ కారకాలను విభజించవచ్చు కానీ జస్ట్ స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు మరియు ఏదైనా రాడికల్ యొక్క గుణకాలు కూడా ఆ కారకాన్ని కలిగి ఉంటాయి.
• రాడికల్ సంకేతం ఖచ్చితమైన చతురస్రం కాకపోతే, చివరి కొన్ని దశలు కొద్దిగా భిన్నంగా తీసుకోవచ్చు. వంటివి:
• "B" అనేది సమాన సంఖ్య అయితే, సూత్రం ఇలా ఉంటుంది: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.