విషయము

• దశలు
• 4 వ పద్ధతి 1: రాడికల్ వ్యక్తీకరణలను విభజించడం
• 4 వ పద్ధతి 2: రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌కు కారకం
• 4 లో 3 వ పద్ధతి: స్క్వేర్ రూట్‌లను గుణించడం
• 4 లో 4 వ పద్ధతి: ఒక వర్గమూలం ద్విపద ద్వారా విభజన
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

చదరపు మూలాలను విభజించడం భిన్నాన్ని సులభతరం చేస్తుంది. చదరపు మూలాలను కలిగి ఉండటం పరిష్కారాన్ని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేస్తుంది, కానీ కొన్ని నియమాలు భిన్నాలతో పని చేయడం చాలా సులభం చేస్తాయి. గుర్తుంచుకోవలసిన ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే కారకాలు కారకాల ద్వారా విభజించబడ్డాయి మరియు రాడికల్ వ్యక్తీకరణలు రాడికల్ వ్యక్తీకరణల ద్వారా. అలాగే, వర్గమూలం హారం లో ఉంటుంది.

దశలు

4 వ పద్ధతి 1: రాడికల్ వ్యక్తీకరణలను విభజించడం

1. 1 భిన్నాన్ని వ్రాయండి. వ్యక్తీకరణ భిన్నం కాకపోతే, దాన్ని ఆ విధంగా తిరిగి వ్రాయండి. ఇది చదరపు మూలాలను విభజించే ప్రక్రియను అనుసరించడం సులభం చేస్తుంది. క్షితిజ సమాంతర బార్ విభజన గుర్తును సూచిస్తుందని గుర్తుంచుకోండి.
   • ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడింది ${ displaystyle { sqrt {144}} div { sqrt {36}}}$, ఇలా తిరిగి వ్రాయండి: ${ displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}}}}$.
2. 2 ఒక మూల చిహ్నాన్ని ఉపయోగించండి. భిన్నం యొక్క సంఖ్యా మరియు హారం రెండూ చదరపు మూలాలను కలిగి ఉంటే, పరిష్కార ప్రక్రియను సరళీకృతం చేయడానికి వాటి మూల వ్యక్తీకరణలను ఒక మూల సంకేతం క్రింద వ్రాయండి. రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ అనేది రూట్ సైన్ కింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ (లేదా కేవలం సంఖ్య).
   • ఉదాహరణకు, భిన్నం ${ displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}}}}$ ఇలా వ్రాయవచ్చు: ${ displaystyle { sqrt { frac {144} {36}}}}$.
3. 3 రాడికల్ వ్యక్తీకరణను విభజించండి. ఒక సంఖ్యను మరొకదానితో భాగించండి (ఎప్పటిలాగే), ఫలితాన్ని రూట్ సైన్ కింద రాయండి.
   • ఉదాహరణకి, ${ displaystyle { frac {144} {36}} = 4}$, కాబట్టి: ${ displaystyle { sqrt { frac {144} {36}}} = { sqrt {4}}}$.
4. 4 సరళీకరించు రాడికల్ వ్యక్తీకరణ (అవసరమైతే). రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ లేదా దాని కారకాలలో ఒకటి ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయితే, ఆ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి. పూర్తి చతురస్రం అంటే కొన్ని పూర్ణాంకాల చతురస్రం. ఉదాహరణకు, 25 ఒక ఖచ్చితమైన చతురస్రం ఎందుకంటే ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 5 రెట్లు 5 = 25}$.
   • ఉదాహరణకు, 4 ఖచ్చితమైన చతురస్రం ఎందుకంటే ${ ప్రదర్శన శైలి 2 సార్లు 2 = 4}$... ఈ విధంగా:
     ${ displaystyle { sqrt {4}}}$
     ${ displaystyle = { sqrt {2 times 2}}}$
     ${ displaystyle = 2}$
     కాబట్టి: ${ displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}} = { sqrt {4}} = 2}$.

4 వ పద్ధతి 2: రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌కు కారకం

1. 1 భిన్నాన్ని వ్రాయండి. వ్యక్తీకరణ భిన్నం కాకపోతే, దాన్ని ఆ విధంగా తిరిగి వ్రాయండి. ఇది వర్గీకరణ మూలాలను విభజించే ప్రక్రియను అనుసరించడం సులభం చేస్తుంది, ప్రత్యేకించి ఒక రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను ఫ్యాక్టర్ చేసేటప్పుడు. క్షితిజ సమాంతర బార్ విభజన గుర్తును సూచిస్తుందని గుర్తుంచుకోండి.
   • ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడింది ${ displaystyle { sqrt {8}} div { sqrt {36}}}$, ఇలా తిరిగి వ్రాయండి: ${ displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}}}}$.
2. 2 వ్యాపించి ప్రతి రాడికల్ వ్యక్తీకరణ యొక్క కారకాలుగా. రూట్ సైన్ కింద ఉన్న సంఖ్య ఏదైనా పూర్ణాంకం వలె కారకం చేయబడుతుంది. మూల సంకేతం కింద కారకాలను వ్రాయండి.
   • ఉదాహరణకి:
     ${ displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}} = { frac { sqrt {2 times 2 times 2}} { sqrt {6 times 6}}}}$
3. 3 సరళీకరించు భిన్నం యొక్క సంఖ్య మరియు హారం. ఇది చేయుటకు, రూట్ సైన్ కింద నుండి పూర్తి చతురస్రాలు అయిన కారకాలను తీసుకోండి. పూర్తి చతురస్రం అంటే కొన్ని పూర్ణాంకాల చతురస్రం. రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ యొక్క కారకం రూట్ సంకేతానికి ముందు కారకంగా మారుతుంది.
   • ఉదాహరణకి:
     ${ displaystyle { frac { sqrt {{ రద్దు {2 రెట్లు 2 సార్లు}} 2}} { sqrt { రద్దు {6 సార్లు 6}}}}}$
     ${ displaystyle { frac {2 { sqrt {2}}} {6}}}$
     ఈ విధంగా, ${ displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {6}}}$
4. 4 హారం లోని మూలాన్ని వదిలించుకోండి (హారం హేతుబద్ధం చేయండి). గణితంలో, మూలాన్ని హారం లో వదిలివేయడం ఆచారం కాదు. భిన్నంలో హారం లో చదరపు మూలం ఉంటే, దాన్ని వదిలించుకోండి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు వదిలించుకోవాలనుకుంటున్న స్క్వేర్ రూట్ ద్వారా న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిని గుణించండి.
   • ఉదాహరణకు, భిన్నం ఇవ్వబడింది ${ displaystyle { frac {6 { sqrt {2}}} { sqrt {3}}}}}$, సంఖ్య మరియు హారం ద్వారా గుణించండి ${ displaystyle { sqrt {3}}}$హారం లోని మూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి:
     ${ displaystyle { frac {6 { sqrt {2}}} { sqrt {3}}} times { frac { sqrt {3}} { sqrt {3}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {6 { sqrt {2}} times { sqrt {3}}} {{ sqrt {3}} times { sqrt {3}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {6 { sqrt {6}}} { sqrt {9}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {6 { sqrt {6}}} {3}}}$.
5. 5 ఫలిత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి (అవసరమైతే). కొన్నిసార్లు భిన్నం యొక్క సంఖ్యా మరియు హారం సరళీకృతం చేయగల (తగ్గించబడిన) సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి. మీరు ఏదైనా భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేసినట్లుగా, న్యూమరేటర్ మరియు హారం లోని మొత్తం సంఖ్యలను సరళీకృతం చేయండి.
   • ఉదాహరణకి, ${ displaystyle { frac {2} {6}}}$ కు సులభతరం చేస్తుంది ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$; ఈ విధంగా ${ displaystyle { frac {2 { sqrt {2}}} {6}}}$ కు సులభతరం చేస్తుంది ${ displaystyle { frac {1 { sqrt {2}}} {3}}}$ = ${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {3}}}$.

4 లో 3 వ పద్ధతి: స్క్వేర్ రూట్‌లను గుణించడం

1. 1 కారకాలను సరళీకృతం చేయండి. కారకం మూల సంకేతానికి ముందు ఉన్న సంఖ్య. కారకాలను సరళీకృతం చేయడానికి, వాటిని విభజించండి లేదా తగ్గించండి (రాడికల్ వ్యక్తీకరణలను తాకవద్దు).
   • ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడింది ${ displaystyle { frac {4 { sqrt {32}}} {6 { sqrt {16}}}}}}$, మొదట సరళీకరించండి ${ displaystyle { frac {4} {6}}}$... న్యూమరేటర్ మరియు హారం 2 ద్వారా విభజించవచ్చు. అందువలన, కారకాలు రద్దు చేయబడతాయి:${ displaystyle { frac {4} {6}} = { frac {2} {3}}}$.
2. 2 సరళీకరించు చదరపు మూలాలు. ఒకవేళ న్యూమరేటర్ హారం ద్వారా సమానంగా విభజించబడితే, అలా చేయండి; లేకపోతే, ఇతర వ్యక్తీకరణల వలె రాడికల్ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.
   • ఉదాహరణకు, 32 ను 16 ద్వారా సమానంగా విభజించవచ్చు, కాబట్టి:${ displaystyle { sqrt { frac {32} {16}}} = { sqrt {2}}}$
3. 3 సరళీకృత కారకాలను సరళీకృత మూలాల ద్వారా గుణించండి. హారాన్ని రూట్‌లో ఉంచకపోవడమే ఉత్తమమని గుర్తుంచుకోండి, కాబట్టి ఈ మూలం ద్వారా భిన్నం యొక్క సంఖ్య మరియు హారం రెండింటినీ గుణించండి.
   • ఉదాహరణకి, ${ displaystyle { frac {2} {3}} times { sqrt {2}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {3}}}$.
4. 4 అవసరమైతే హారం లోని మూలాన్ని వదిలించుకోండి (హారం హేతుబద్ధం చేయండి). గణితంలో, మూలాన్ని హారం లో వదిలివేయడం ఆచారం కాదు.అందువల్ల, మీరు వదిలించుకోవాలనుకుంటున్న స్క్వేర్ రూట్ ద్వారా న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిని గుణించండి.
   • ఉదాహరణకు, భిన్నం ఇవ్వబడింది ${ displaystyle { frac {4 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}}$, సంఖ్య మరియు హారం ద్వారా గుణించండి ${ displaystyle { sqrt {7}}}$హారం లోని మూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి:
     ${ displaystyle { frac {4 { sqrt {3}}} { sqrt {7}}} times { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {4 { sqrt {3}} times { sqrt {7}}} {{ sqrt {7}} times { sqrt {7}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {4 { sqrt {21}}} { sqrt {49}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {4 { sqrt {21}}} {7}}}$

4 లో 4 వ పద్ధతి: ఒక వర్గమూలం ద్విపద ద్వారా విభజన

1. 1 హారం ద్విపద (ద్విపద) అని నిర్ధారించండి. హారం డివైజర్ (వ్యక్తీకరణ లేదా రేఖకు దిగువన ఉన్న సంఖ్య). ద్విపద (ద్విపద) అనేది రెండు ఏకవచనాలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ. స్క్వేర్ రూట్ బినోమియల్ సమస్య ఉన్నప్పుడే ఈ పద్ధతి వర్తిస్తుంది.
   • ఉదాహరణకు, భిన్నం ఇవ్వబడింది ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}}}}$, హారం ఒక ద్విపదను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే వ్యక్తీకరణ ${ displaystyle 5 + { sqrt {2}}}$ రెండు మోనోమియల్స్ ఉన్నాయి.
2. 2 ద్విపదకు సంబంధించిన వ్యక్తీకరణను కనుగొనండి. సంయోగ ద్విపద అంటే ఒకే మోనోమియల్స్‌తో కూడిన ద్విపద, కానీ వాటి మధ్య వ్యతిరేక గుర్తు ఉంటుంది. సంయోగ ద్విపదలను గుణించడం వలన హారం లోని రూట్ తొలగిపోతుంది.
   • ఉదాహరణకి, ${ displaystyle 5 + { sqrt {2}}}$ మరియు ${ displaystyle 5 - { sqrt {2}}}$ సంయోగ ద్విపదలు ఎందుకంటే అవి ఒకే మోనోమియల్స్ కలిగి ఉంటాయి, కానీ వాటి మధ్య వ్యతిరేక సంకేతాలతో ఉంటాయి.
3. 3 హారం లోని ద్విపదకు ద్విపద సంయోగం ద్వారా సంఖ్య మరియు హారం గుణించాలి. ఇది వర్గ మూలాన్ని తొలగిస్తుంది, ఎందుకంటే సంయోగ ద్విపదాల ఉత్పత్తి ప్రతి ద్విపద పదం యొక్క చతురస్రాల వ్యత్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది. అంటే ${ displaystyle (a -b) (a + b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$.
   • ఉదాహరణకి:
     ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {1 (5 - { sqrt {2}})} {(5 + { sqrt {2}}) (5 - { sqrt {2}})}}}$
     ${ displaystyle = { frac {5 - { sqrt {2}}} {(5 ^ {2} - ({ sqrt {2}}) ^ {2}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {5 + { sqrt {2}}} {25-2}}}$
     ${ displaystyle = { frac {5 + { sqrt {2}}} {23}}}$
     ఈ విధంగా, ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}} = { frac {5 + { sqrt {2}}} {23}}}$.

చిట్కాలు

• చాలా కాలిక్యులేటర్లకు భిన్నాలతో ఎలా పని చేయాలో తెలుసు. న్యూమరేటర్‌లో సంఖ్యను నమోదు చేయండి, భిన్నం కీని నొక్కండి, ఆపై హారం లో సంఖ్యను నమోదు చేయండి. "=" నొక్కండి మరియు కాలిక్యులేటర్ స్వయంచాలకంగా భిన్నాన్ని సులభతరం చేస్తుంది (తగ్గిస్తుంది).
• చదరపు మూలాలతో పనిచేసేటప్పుడు, మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నంగా మార్చడం మంచిది.
• మూలాలను కలపడం మరియు తీసివేయడం కాకుండా, వాటిని విభజించేటప్పుడు, రాడికల్ వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయలేము (పూర్తి చతురస్రాల కారణంగా); వాస్తవానికి, దీన్ని అస్సలు చేయకపోవడం చాలా మంచిది.

హెచ్చరికలు

• భిన్నం యొక్క వ్యత్యాసంలో మూలాన్ని ఎప్పుడూ వదిలివేయవద్దు - దాన్ని సరళీకృతం చేయండి లేదా హేతుబద్ధీకరించండి.
• దశాంశ భిన్నం మరియు మిశ్రమ సంఖ్య రూట్ ముందు ఉంచబడవు. వాటిని భిన్నాలుగా మార్చండి మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.
• భిన్నం యొక్క హారం లేదా అంకెలో దశాంశాన్ని వ్రాయవద్దు; లేకపోతే, మీరు ఒక భిన్నంలో భిన్నాన్ని పొందుతారు.
• హారం రెండు మోనోమియల్స్ మొత్తాన్ని లేదా వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటే, హారం లోని మూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి ఈ డబ్బాను దాని సంయోగ ద్విపద ద్వారా గుణించండి.