విషయము

• దశలు
• 3 వ భాగం 1: ఒక పద్ధతిని నిర్వచించడం
• పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: డివైసిబుల్ ఫ్యాక్టరింగ్
• పార్ట్ 3 ఆఫ్ 3: లాంగ్ డివిజన్
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

బహుపదిని సంఖ్యల మాదిరిగానే విభజించవచ్చు: కారకం ద్వారా లేదా దీర్ఘ విభజన ద్వారా. ఉపయోగించిన పద్ధతి బహుపది రకం మరియు విభజించే రకం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది.

దశలు

3 వ భాగం 1: ఒక పద్ధతిని నిర్వచించడం

1. 1 డివైడర్ రకాన్ని నిర్ణయించండి. డివైజర్ (మీరు విభజించే బహుపది) డివిడెండ్‌తో పోల్చబడుతుంది (మీరు విభజించే బహుపది) మరియు తగిన విభజన పద్ధతి నిర్ణయించబడుతుంది.
   • డివైజర్ ఒక మోనోమియల్ అయితే, ఇది వేరియబుల్ లేదా ఇంటర్‌సెప్ట్ యొక్క కోఎఫీషియంట్ (వేరియబుల్ లేకుండా కోఎఫీషియంట్), మీరు బహుశా డివైజర్‌ని ఫ్యాక్టర్ చేయవచ్చు మరియు ఫ్యాక్టర్స్ మరియు డివైజర్‌లలో ఒకదాన్ని క్యాన్సిల్ చేయవచ్చు. "ఫ్యాక్టరింగ్ ఎ డివిజిబుల్" విభాగాన్ని చూడండి.
   • డివైజర్ ద్విపద (రెండు పదాలతో కూడిన బహుపది) అయితే, మీరు బహుశా డివిడెండ్‌ని పరిగణించవచ్చు మరియు కారకాలలో ఒకదాన్ని మరియు డివైజర్‌ని రద్దు చేయవచ్చు.
   • డివైజర్ త్రికోణం (మూడు పదాలతో కూడిన బహుపది) అయితే, మీరు బహుశా డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ రెండింటినీ పరిగణించవచ్చు, ఆపై సాధారణ కారకాన్ని లేదా దీర్ఘ విభజనను రద్దు చేయవచ్చు.
   • డివైజర్ మూడు పదాల కంటే ఎక్కువ ఉన్న బహుపదార్థం అయితే, మీరు ఎక్కువగా దీర్ఘ విభజనను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. లాంగ్ డివిజన్ విభాగాన్ని చూడండి.
2. 2 డివిడెండ్ రకాన్ని నిర్ణయించండి. డివైజర్ రకం మీకు విభజన పద్ధతిని చెప్పకపోతే, డివిడెండ్ రకాన్ని నిర్ణయించండి.
   • డివిడెండ్ మూడు లేదా అంతకంటే తక్కువ పదాలను కలిగి ఉంటే, మీరు బహుశా డివిడెండ్‌ను పరిగణించవచ్చు మరియు కారకాలు మరియు డివైజర్‌లలో ఒకదాన్ని రద్దు చేయవచ్చు.
   • డివిడెండ్‌లో ముగ్గురు కంటే ఎక్కువ మంది సభ్యులు ఉంటే, మీరు ఎక్కువగా లాంగ్ డివిజన్‌ని ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది.

పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: డివైసిబుల్ ఫ్యాక్టరింగ్

1. 1 డివైజర్ మరియు డివిడెండ్ కోసం సాధారణ కారకాన్ని కనుగొనండి. అది ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే, మీరు దాన్ని బ్రాకెట్ చేసి, దాన్ని తగ్గించవచ్చు.
   • ఉదాహరణ. ద్విపదలో 3x - 9 ని 3 ద్వారా భాగించేటప్పుడు, బ్రాకెట్ల వెలుపల 3 ఉంచండి: 3 (x - 3). అప్పుడు బయటి కుండలీకరణాలు 3 మరియు భాగాన్ని (3) రద్దు చేయండి. సమాధానం: x - 3.
   • ఉదాహరణ: ద్విపదలో 24x - 18x ను 6x ద్వారా విభజించేటప్పుడు, బ్రాకెట్ల వెలుపల 6x ఉంచండి: 6x (4x - 3). అప్పుడు కుండలీకరణాలు 6x మరియు భాగాన్ని (6x) రద్దు చేయండి. సమాధానం: 4x - 3.
2. 2 సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించి డివిడెండ్ కారకం కాగలదా అని నిర్ణయించండి. డివైజర్‌కు సమానమైన కారకాలు ఉంటే, మీరు వాటిని రద్దు చేయవచ్చు. సంక్షిప్త గుణకారం కోసం ఇక్కడ కొన్ని సూత్రాలు ఉన్నాయి:
   • చతురస్రాల వ్యత్యాసం. ఇది అక్షం ద్విపద - b, ఇక్కడ a మరియు b విలువలు ఖచ్చితమైన చతురస్రాలు (అంటే, మీరు ఈ సంఖ్యల వర్గమూలాన్ని సేకరించవచ్చు). ఈ ద్విపద రెండు కారకాలుగా కుళ్ళిపోతుంది: (గొడ్డలి + బి) (గొడ్డలి - బి).
   • పూర్తి చతురస్రం. ఇది అక్షం + 2abx + b రూపం యొక్క త్రికోణం, దీనిని రెండు కారకాలుగా విడదీయవచ్చు: (ax + b) (ax + b) లేదా (ax + b) అని వ్రాయబడింది. రెండవ పదం ఒక మైనస్ ముందు ఉంటే, ఈ త్రికోణం ఇలా విస్తరించబడుతుంది: (గొడ్డలి - బి) (గొడ్డలి - బి).
   • ఘనాల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం. ఇది అక్షం + b లేదా గొడ్డలి - b యొక్క రూపం యొక్క ద్విపద, ఇక్కడ a మరియు b విలువలు పూర్తి ఘనాలగా ఉంటాయి (అనగా, మీరు ఈ సంఖ్యల నుండి క్యూబ్ మూలాన్ని సేకరించవచ్చు). ఘనాల మొత్తం కుళ్ళిపోతుంది: (గొడ్డలి + బి) (గొడ్డలి - abx + b). ఘనాల మధ్య వ్యత్యాసం కుళ్ళిపోతుంది: (గొడ్డలి - బి) (గొడ్డలి + abx + b).
3. 3 డివిడెండ్‌ను గుర్తించడానికి ట్రయల్ మరియు ఎర్రర్‌ని ఉపయోగించండి. డివిడెండ్‌కి సంక్షిప్త గుణకార సూత్రం వర్తించదని మీకు అనిపిస్తే, డివిడెండ్‌ను ఇతర మార్గాల్లో విస్తరించడానికి ప్రయత్నించండి. మొదట, డివిడెండ్ యొక్క రెండవ పదం యొక్క గుణకాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని, అంతరాయ కారకాలను కనుగొనండి.
   • ఉదాహరణ. డివిడెండ్ x - 3x - 10 అయితే, కారకం 3 ని పరిగణనలోకి తీసుకొని, అంతరాయ 10 యొక్క కారకాలను కనుగొనండి.
   • సంఖ్య 10 ను క్రింది కారకాలుగా విభజించవచ్చు: 1 మరియు 10 లేదా 2 మరియు 5. 10 కి ముందు మైనస్ ఉన్నందున, 10 యొక్క కారకాలలో ఒక ముందు కూడా మైనస్ కనిపించాలి.
   • గుణకం 3 అనేది 5-2, కాబట్టి మేము కారకాలు 5 మరియు 2. ఎంచుకుంటాము 3 కి ముందు మైనస్ ఉన్నందున, 5 కి ముందు కూడా మైనస్ ఉండాలి. అందువలన, డివిడెండ్ కారకాలుగా కుళ్ళిపోతుంది: (x - 5) (x + 2). డివైజర్ ఈ రెండు కారకాలలో ఒకదానికి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు వాటిని రద్దు చేయవచ్చు.

పార్ట్ 3 ఆఫ్ 3: లాంగ్ డివిజన్

1. 1 డివిడెండ్ మరియు డివైజర్‌ను కాలమ్‌గా విభజించినప్పుడు మీరు సాధారణ సంఖ్యలను వ్రాసిన విధంగానే వ్రాయండి.
   • ఉదాహరణ. X + 11 x + 10 ని x +1 ద్వారా భాగించండి.
2. 2 డివిడెండ్ యొక్క మొదటి పదాన్ని డివైజర్ యొక్క మొదటి పదంతో భాగించండి. ఫలితాన్ని వ్రాయండి.
   • ఉదాహరణ. X (డివిడెండ్ యొక్క మొదటి పదం) ను x (డివైజర్ యొక్క మొదటి పదం) తో భాగించండి. ఫలితాన్ని వ్రాయండి: x.
3. 3 డివైజర్ ద్వారా మునుపటి దశ (x) నుండి ఫలితాన్ని గుణించండి. డివిడెండ్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ నిబంధనల ప్రకారం గుణకారం ఫలితాన్ని వ్రాయండి.
   • ఉదాహరణ. X + x పొందడానికి x ని x + 1 ద్వారా గుణించండి. డివిడెండ్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ నిబంధనల ప్రకారం ఈ ద్విపదను వ్రాయండి.
4. 4 డివిడెండ్ నుండి ఫలితాన్ని (మునుపటి దశ నుండి) తీసివేయండి. ముందుగా, డివిడెండ్ నుండి గుణకారం ఫలితాన్ని (మునుపటి దశలో పొందినది) తీసివేసి, ఆపై ఉచిత పదాన్ని తీసివేయండి.
   • ద్విపద x + x సంకేతాలను రివర్స్ చేసి - x - x అని వ్రాయండి. డివిడెండ్‌లోని మొదటి రెండు పదాల నుండి ఈ ద్విపదను తీసివేయడం 10x ఇస్తుంది. డివిడెండ్ యొక్క ఉచిత పదాన్ని కూల్చివేసిన తరువాత, మీరు బినోమియల్ 10x + 10 (ఇంటర్మీడియట్ బినోమియల్) పొందుతారు.
5. 5 మునుపటి మూడు దశలను ఇంటర్మీడియట్ ద్విపదతో పునరావృతం చేయండి (మునుపటి దశలో పొందబడింది). మీరు దాని మొదటి టర్మ్‌ను డివైజర్ యొక్క మొదటి టర్మ్‌తో భాగిస్తారు మరియు మొదటి డివిజన్ ఫలితానికి పక్కన ఫలితాన్ని వ్రాస్తారు. అప్పుడు ఈ రెండవ డివిజన్ ఫలితాన్ని భాగిణి ద్వారా గుణించండి మరియు గుణకారం ఫలితాన్ని ఇంటర్మీడియట్ ద్విపద నుండి తీసివేయండి.
   • 10x / x = 10 నుండి, మొదటి డివిజన్ (x) ఫలితం తర్వాత "+10" అని వ్రాయండి.
   • 10 ని x +1 ద్వారా గుణించడం ద్వారా, మీరు ద్విపద 10x + 10. ఈ ద్విపద సంకేతాలను ( - 10x - 10) మార్చుకుని, తదనుగుణంగా ఇంటర్మీడియట్ ద్విపద కింద రాయండి.
   • ఇంటర్మీడియట్ ద్విపద నుండి మునుపటి దశలో పొందిన ద్విపదను తీసివేయండి మరియు మీకు 0. అందుతుంది. సరళమైన ఉదాహరణగా).

చిట్కాలు

• సుదీర్ఘ విభజన తర్వాత మీకు శేషం లభిస్తే, మీరు దానిని పాక్షిక పదంగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, x + 11 x + 10 కి బదులుగా మీకు x + 11 x + 12 ఇవ్వబడితే, ఈ త్రికోణాన్ని x + 1 ద్వారా భాగిస్తే మీకు మిగిలినది లభిస్తుంది 2. కాబట్టి, సమాధానం (కోషియంట్) రూపంలో వ్రాయండి: x + 10 + (2 / (x +1)).
• ఇచ్చిన బహుపదికి తగిన క్రమం యొక్క వేరియబుల్ ఉన్న సభ్యుడు లేనట్లయితే, ఉదాహరణకు, 3x + 9x + 18 మొదటి ఆర్డర్ యొక్క వేరియబుల్‌తో సభ్యుడిని కలిగి ఉండకపోతే, మీరు తప్పిపోయిన పదాన్ని 0 గుణకంతో జోడించవచ్చు ( మా ఉదాహరణలో, ఇది 0x) విభజన సమయంలో నిబంధనలను సరిగ్గా ఉంచడం. ఈ కదలిక ఈ బహుపది విలువను మార్చదు.

హెచ్చరికలు

• కాలమ్‌లో విభజన చేసినప్పుడు, నిబంధనలను తీసివేసేటప్పుడు లోపాలను నివారించడానికి నిబంధనలను సరిగ్గా వ్రాయండి (ఒకే క్రమంలోని నిబంధనలను ఒకదానికొకటి కింద వ్రాయండి).
• పాక్షిక పదం ఉన్న డివిజన్ ఫలితాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, ఎల్లప్పుడూ ప్లస్ గుర్తుతో భిన్నమైన పదానికి ముందు ఉండాలి.