విషయము

• దశలు
• 5 వ పద్ధతి 1: పాలీహెడ్రాన్‌లో శీర్షాల సంఖ్యను కనుగొనండి
• 5 యొక్క పద్ధతి 2: సరళ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క డొమైన్ యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనడం
• 5 యొక్క పద్ధతి 3: సమరూపత యొక్క అక్షం ద్వారా పారాబోలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనడం
• 5 లో 4 వ పద్ధతి: పూర్తి స్క్వేర్ యొక్క కాంప్లిమెంట్ ఉపయోగించి ఒక పారాబోలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనడం
• 5 లో 5 వ పద్ధతి: ఒక సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పారాబోలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనండి
• మీకు ఏమి కావాలి

గణితంలో, మీరు అగ్రస్థానాన్ని కనుగొనవలసిన అనేక సమస్యలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, ఒక పాలీహెడ్రాన్ యొక్క శీర్షం, ఒక శీర్షం లేదా అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క డొమైన్ యొక్క అనేక శీర్షాలు, ఒక పారాబోలా యొక్క శీర్షం లేదా చతురస్రాకార సమీకరణం. ఈ వ్యాసం వివిధ సమస్యలలో అగ్రస్థానాన్ని ఎలా కనుగొనాలో మీకు చూపుతుంది.

దశలు

5 వ పద్ధతి 1: పాలీహెడ్రాన్‌లో శీర్షాల సంఖ్యను కనుగొనండి

1. 1 యూలర్ సిద్ధాంతం. సిద్ధాంతం ఏ పాలిటోప్‌లో అయినా, దాని అంచుల సంఖ్యతో పాటు దాని ముఖాల సంఖ్య మరియు దాని శీర్షాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ రెండుగా ఉంటుంది.
   • యూలర్ సిద్ధాంతాన్ని వివరించే సూత్రం: F + V - E = 2
     • F అనేది ముఖాల సంఖ్య.
     • V అనేది శీర్షాల సంఖ్య.
     • E అనేది పక్కటెముకల సంఖ్య.
2. 2 శీర్షాల సంఖ్యను కనుగొనడానికి ఫార్ములాను మళ్లీ వ్రాయండి. ముఖాల సంఖ్య మరియు పాలీహెడ్రాన్ అంచుల సంఖ్యను బట్టి, యూలర్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మీరు శీర్షాల సంఖ్యను త్వరగా కనుగొనవచ్చు.
   • V = 2 - F + E
3. 3 మీరు ఇచ్చే విలువలను ఈ ఫార్ములాలో ప్లగ్ చేయండి. ఇది మీకు పాలిహెడ్రాన్‌లోని శీర్షాల సంఖ్యను ఇస్తుంది.
   • ఉదాహరణ: 6 ముఖాలు మరియు 12 అంచులు కలిగిన పాలీహెడ్రాన్ యొక్క శీర్షాల సంఖ్యను కనుగొనండి.
     • V = 2 - F + E
     • V = 2 - 6 + 12
     • V = -4 + 12
     • V = 8

5 యొక్క పద్ధతి 2: సరళ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క డొమైన్ యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనడం

1. 1 సరళ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం (ప్రాంతం) ప్లాట్ చేయండి. కొన్ని సందర్భాల్లో, మీరు గ్రాఫ్‌లో సరళ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క కొన్ని లేదా అన్ని శీర్షాలను చూడవచ్చు. లేకపోతే, మీరు బీజగణితంలో శీర్షాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది.
   • గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, మీరు మొత్తం గ్రాఫ్‌ను చూడవచ్చు మరియు శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనవచ్చు.
2. 2 అసమానతలను సమీకరణాలుగా మార్చండి. అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి (అంటే "x" మరియు "y" కనుగొనండి), మీరు అసమానత సంకేతాలకు బదులుగా "సమాన" గుర్తును ఉంచాలి.
   • ఉదాహరణ: అసమానతల వ్యవస్థ ఇవ్వబడింది:
     • y x
     • y> - x + 4
   • అసమానతలను సమీకరణాలుగా మార్చండి:
     • y = x
     • y = - x + 4
3. 3 ఇప్పుడు ఒక సమీకరణంలో ఏదైనా వేరియబుల్‌ను వ్యక్తపరచండి మరియు దానిని మరొక సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయండి. మా ఉదాహరణలో, y సమీకరణం నుండి y సమీకరణాన్ని రెండవ సమీకరణంలోకి చేర్చండి.
   • ఉదాహరణ:
     • y = x
     • y = - x + 4
   • Y = x x 4 లో y = x ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
     • x = - x + 4
4. 4 వేరియబుల్స్‌లో ఒకదాన్ని కనుగొనండి. ఇప్పుడు మీకు ఒకే ఒక వేరియబుల్, x తో సమీకరణం ఉంది, ఇది సులభంగా కనుగొనవచ్చు.
   • ఉదాహరణ: x = - x + 4
     • x + x = 4
     • 2x = 4
     • 2x / 2 = 4/2
     • x = 2
5. 5 మరొక వేరియబుల్ కనుగొనండి. ఏదైనా సమీకరణాలలో కనుగొనబడిన విలువ "x" ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు "y" విలువను కనుగొనండి.
   • ఉదాహరణ: y = x
     • y = 2
6. 6 పైభాగాన్ని కనుగొనండి. శీర్షం కనుగొనబడిన విలువలు "x" మరియు "y" లకు సమానమైన అక్షాంశాలను కలిగి ఉంది.
   • ఉదాహరణ: ఇచ్చిన అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క శీర్షం పాయింట్ O (2,2).

5 యొక్క పద్ధతి 3: సమరూపత యొక్క అక్షం ద్వారా పారాబోలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనడం

1. 1 సమీకరణానికి కారకం. వర్గ సమీకరణాన్ని గుర్తించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. విస్తరణ ఫలితంగా, మీరు రెండు ద్విపదలను పొందుతారు, అవి గుణించినప్పుడు, అసలైన సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది.
   • ఉదాహరణ: వర్గ సమీకరణం ఇవ్వబడింది
     • 3x2 - 6x - 45
     • ముందుగా, సాధారణ కారకాన్ని బ్రాకెట్ చేయండి: 3 (x2 - 2x - 15)
     • గుణకాలు "a" మరియు "c" గుణించండి: 1 * (-15) = -15.
     • రెండు సంఖ్యలను కనుగొనండి, వాటి గుణకారం -15, మరియు వాటి మొత్తం గుణకం "b" (b = -2) కు సమానం: 3 * (-5) = -15; 3 - 5 = -2.
     • కనుగొన్న విలువలను సమీకరణం ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15) లో ప్లగ్ చేయండి.
     • అసలు సమీకరణాన్ని విస్తరించండి: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
2. 2 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ (ఈ సందర్భంలో, పారాబోలా) అబ్సిస్సాను దాటిన పాయింట్ (ల) ను కనుగొనండి. గ్రాఫ్ f (x) = 0 వద్ద X- అక్షాన్ని దాటుతుంది.
   • ఉదాహరణ: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
     • x +3 = 0
     • x - 5 = 0
     • x = -3; x = 5
     • అందువలన, సమీకరణం యొక్క మూలాలు (లేదా X- అక్షంతో ఖండన పాయింట్లు): A (-3, 0) మరియు B (5, 0)
3. 3 సమరూపత యొక్క అక్షాన్ని కనుగొనండి. ఫంక్షన్ యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షం రెండు మూలాల మధ్య మధ్యలో ఉండే బిందువు గుండా వెళుతుంది. ఈ సందర్భంలో, శీర్షం సమరూపత అక్షం మీద ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణ: x = 1; ఈ విలువ -3 మరియు +5 మధ్యలో ఉంటుంది.
4. 4 అసలు సమీకరణంలో x విలువను ప్లగ్ చేసి y విలువను కనుగొనండి. ఈ "x" మరియు "y" విలువలు పరబోలా యొక్క శీర్షం యొక్క అక్షాంశాలు.
   • ఉదాహరణ: y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
5. 5 మీ సమాధానం వ్రాయండి.
   • ఉదాహరణ: ఈ వర్గ సమీకరణం యొక్క శీర్షం పాయింట్ O (1, -48)

5 లో 4 వ పద్ధతి: పూర్తి స్క్వేర్ యొక్క కాంప్లిమెంట్ ఉపయోగించి ఒక పారాబోలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనడం

1. 1 అసలు సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయండి: y = a (x - h) ^ 2 + k, అయితే శీర్షం బిందువు వద్ద కోఆర్డినేట్‌లతో (h, k) ఉంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, మీరు పూర్తి చతురస్రానికి అసలైన చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని భర్తీ చేయాలి.
   • ఉదాహరణ: y = - x ^ 2 - 8x - 15 అనే క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది.
2. 2 మొదటి రెండు పదాలను పరిగణించండి. మొదటి టర్మ్ యొక్క కోఎఫీషియంట్ కారకం (అంతరాయం విస్మరించబడింది).
   • ఉదాహరణ: -1 (x ^ 2 + 8x) - 15.
3. 3 ఉచిత పదం (-15) ని రెండు సంఖ్యలుగా విస్తరించండి, తద్వారా వాటిలో ఒకటి కుండలీకరణాలలో వ్యక్తీకరణను పూర్తి చతురస్రానికి పూర్తి చేస్తుంది. సంఖ్యలలో ఒకటి తప్పనిసరిగా రెండవ పదం యొక్క సగం గుణకం యొక్క వర్గానికి సమానంగా ఉండాలి (కుండలీకరణాలలో వ్యక్తీకరణ నుండి).
   • ఉదాహరణ: 8/2 = 4; 4 * 4 = 16; కాబట్టి
     • -1 (x ^ 2 + 8x + 16)
     • -15 = -16 + 1
     • y = -1 (x ^ 2 + 8x + 16) + 1
4. 4 సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయండి. బ్రాకెట్లలో వ్యక్తీకరణ పూర్తి చతురస్రం కాబట్టి, మీరు ఈ సమీకరణాన్ని కింది రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు (అవసరమైతే, బ్రాకెట్‌ల వెలుపల అదనంగా లేదా తీసివేత కార్యకలాపాలు నిర్వహించండి):
   • ఉదాహరణ: y = -1 (x + 4) ^ 2 + 1
5. 5 శీర్షం యొక్క అక్షాంశాలను కనుగొనండి. Y = a (x - h) ^ 2 + k ఫారం యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు (h, k) అని గుర్తుంచుకోండి.
   • k = 1
   • h = -4
   • అందువలన, అసలు ఫంక్షన్ యొక్క శీర్షం O (-4,1) పాయింట్.

5 లో 5 వ పద్ధతి: ఒక సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పారాబోలా యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనండి

1. 1 సూత్రాన్ని ఉపయోగించి "x" కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనండి: x = -b / 2a (రూపం y = ax + 2 + bx + c ఫంక్షన్ కోసం). ఫార్ములాలో "a" మరియు "b" విలువలను ప్లగ్ చేసి, "x" కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనండి.
   • ఉదాహరణ: y = - x ^ 2 - 8x - 15 అనే క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది.
   • x = -b / 2a = - ( - 8) / (2 * ( - 1)) = 8 / ( - 2) = -4
   • x = -4
2. 2 అసలు సమీకరణంలో మీరు కనుగొన్న x విలువను ప్లగ్ చేయండి. అందువలన, మీరు "y" ని కనుగొంటారు. ఈ "x" మరియు "y" విలువలు పరబోలా యొక్క శీర్షం యొక్క అక్షాంశాలు.
   • ఉదాహరణ: y = - x ^ 2 - 8x - 15 = - ( - - 4) - 2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - ( - 32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
     • y = 1
3. 3 మీ సమాధానం వ్రాయండి.
   • ఉదాహరణ: అసలు ఫంక్షన్ యొక్క శీర్షం O (-4,1) పాయింట్.

మీకు ఏమి కావాలి

• కాలిక్యులేటర్
• పెన్సిల్
• కాగితం