విషయము

• దశలు
• పద్ధతి 1 లో 3: తెలియని వైపు ఎలా కనుగొనాలి
• పద్ధతి 2 లో 3: తెలియని కోణాన్ని కనుగొనడం
• పద్ధతి 3 లో 3: నమూనా సమస్యలు
• చిట్కాలు

కొసైన్ సిద్ధాంతం త్రికోణమితిలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. పక్కలు మరియు కోణాలు వంటి తెలియని పరిమాణాలను కనుగొనడానికి క్రమరహిత త్రిభుజాలతో పనిచేసేటప్పుడు ఇది ఉపయోగించబడుతుంది. సిద్ధాంతం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని పోలి ఉంటుంది మరియు గుర్తుంచుకోవడం చాలా సులభం. కొసైన్ సిద్ధాంతం ఏ త్రిభుజంలోనైనా చెబుతుంది ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

దశలు

పద్ధతి 1 లో 3: తెలియని వైపు ఎలా కనుగొనాలి

1. 1 తెలిసిన విలువలను వ్రాయండి. త్రిభుజం యొక్క తెలియని వైపు కనుగొనడానికి, మీరు ఇతర రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణాన్ని తెలుసుకోవాలి.
   • ఉదాహరణకు, XYZ అనే త్రిభుజం ఇవ్వబడింది. YX వైపు 5 సెం.మీ, YZ వైపు 9 సెం.మీ, మరియు Y కోణం 89 °. XZ వైపు అంటే ఏమిటి?
2. 2 కొసైన్ సిద్ధాంత సూత్రాన్ని వ్రాయండి. ఫార్ములా: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, ఎక్కడ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$ - తెలియని పార్టీ, ${ displaystyle cos {C}}$ - తెలియని వైపు ఎదురుగా ఉన్న కోణం యొక్క కొసైన్, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$ - బాగా తెలిసిన రెండు వైపులా.
3. 3 తెలిసిన విలువలను ఫార్ములాలో ప్లగ్ చేయండి. వేరియబుల్స్ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$ తెలిసిన రెండు వైపులా సూచించండి. వేరియబుల్ ${ displaystyle C}$ అనేది పక్కల మధ్య ఉండే కోణం ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$.
   • మా ఉదాహరణలో, XZ వైపు తెలియదు, కాబట్టి ఫార్ములాలో ఇది సూచించబడుతుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$... YX మరియు YZ వైపులా తెలిసినందున, అవి వేరియబుల్స్ ద్వారా సూచించబడతాయి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$... వేరియబుల్ ${ displaystyle C}$ కోణం Y. కాబట్టి, సూత్రం క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 తెలిసిన కోణం యొక్క కొసైన్‌ని కనుగొనండి. కాలిక్యులేటర్‌తో చేయండి. కోణ విలువను నమోదు చేసి, ఆపై క్లిక్ చేయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ COS}$... మీకు శాస్త్రీయ కాలిక్యులేటర్ లేకపోతే, ఆన్‌లైన్ కొసైన్ టేబుల్‌ను కనుగొనండి, ఉదాహరణకు, ఇక్కడ. Yandex లో కూడా, మీరు "X డిగ్రీల కొసైన్" (X కి కోణ విలువను ప్రత్యామ్నాయం) ఎంటర్ చేయవచ్చు, మరియు సెర్చ్ ఇంజిన్ కోణం యొక్క కొసైన్‌ను ప్రదర్శిస్తుంది.
   • ఉదాహరణకు, కొసైన్ 89 ° ≈ 0.01745. కాబట్టి: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 సంఖ్యలను గుణించండి. గుణించండి ${ displaystyle 2ab}$ తెలిసిన కోణం యొక్క కొసైన్ ద్వారా.
   • ఉదాహరణకి:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 తెలిసిన వైపుల చతురస్రాలను మడవండి. గుర్తుంచుకోండి, సంఖ్యను వర్గీకరించడానికి, అది తప్పనిసరిగా గుణించాలి. ముందుగా, సంబంధిత సంఖ్యలను వర్గీకరించండి, ఆపై ఫలిత విలువలను జోడించండి.
   • ఉదాహరణకి:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 రెండు సంఖ్యలను తీసివేయండి. మీరు కనుగొంటారు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ సి ^ {2}}$.
   • ఉదాహరణకి:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ సి ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 ఈ విలువ యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి. దీన్ని చేయడానికి, కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించండి. ఈ విధంగా మీరు తెలియని వైపును కనుగొంటారు.
   • ఉదాహరణకి:
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ సి ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c = 10.2191}$
     కాబట్టి, తెలియని వైపు 10.2191 సెం.మీ.

పద్ధతి 2 లో 3: తెలియని కోణాన్ని కనుగొనడం

1. 1 తెలిసిన విలువలను వ్రాయండి. త్రిభుజం యొక్క తెలియని కోణాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు త్రిభుజం యొక్క మూడు వైపులా తెలుసుకోవాలి.
   • ఉదాహరణకు, ఒక త్రిభుజం RST ఇవ్వబడింది. సైడ్ CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. కోణం S విలువను కనుగొనండి.
2. 2 కొసైన్ సిద్ధాంత సూత్రాన్ని వ్రాయండి. ఫార్ములా: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, ఎక్కడ ${ displaystyle cos {C}}$ - తెలియని కోణం యొక్క కొసైన్, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$ - తెలియని మూలకు ఎదురుగా తెలిసిన వైపు, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$ - మరో రెండు ప్రముఖ పార్టీలు.
3. 3 విలువలను కనుగొనండి a{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}, బి{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b} మరియు c{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}. అప్పుడు వాటిని ఫార్ములాలో ప్లగ్ చేయండి.
   • ఉదాహరణకు, RT వైపు తెలియని కోణం S కి వ్యతిరేకం, కాబట్టి RT వైపు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$ ఫార్ములాలో. ఇతర పార్టీలు రెడీ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$... కాబట్టి, సూత్రం క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 సంఖ్యలను గుణించండి. గుణించండి ${ displaystyle 2ab}$ తెలియని కోణం యొక్క కొసైన్ ద్వారా.
   • ఉదాహరణకి, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 నిటారుగా c{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c} ఒక చతురస్రంలో. అంటే, సంఖ్యను గుణించండి.
   • ఉదాహరణకి, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 చతురస్రాలను మడవండి a{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a} మరియు బి{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}. అయితే ముందుగా, సంబంధిత సంఖ్యలను వర్గీకరించండి.
   • ఉదాహరణకి:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 తెలియని కోణం యొక్క కొసైన్‌ను వేరు చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, మొత్తాన్ని తీసివేయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a ^ {2}}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b ^ {2}}$ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి. అప్పుడు సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపు తెలియని కోణం యొక్క కొసైన్ వద్ద కారకం ద్వారా విభజించండి.
   • ఉదాహరణకు, తెలియని కోణం యొక్క కొసైన్‌ను వేరుచేయడానికి, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి 164 ని తీసివేసి, ఆపై ప్రతి వైపును -160 ద్వారా విభజించండి:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 విలోమ కొసైన్‌ను లెక్కించండి. ఇది తెలియని కోణం విలువను కనుగొంటుంది. కాలిక్యులేటర్‌లో, విలోమ కొసైన్ ఫంక్షన్ సూచించబడుతుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ COS ^ {- 1}}$.
   • ఉదాహరణకు, 0.0125 యొక్క ఆర్కోసిన్ 82.8192. కాబట్టి కోణం S 82.8192 °.

పద్ధతి 3 లో 3: నమూనా సమస్యలు

1. 1 త్రిభుజం యొక్క తెలియని వైపు కనుగొనండి. తెలిసిన వైపులు 20 సెం.మీ మరియు 17 సెం.మీ., వాటి మధ్య కోణం 68 °.
   • మీకు రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణం ఇవ్వబడినందున, మీరు కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. సూత్రాన్ని వ్రాయండి: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • తెలియని వైపు ఉంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$... తెలిసిన విలువలను ఫార్ములాలో ప్లగ్ చేయండి: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • లెక్కించు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c ^ {2}}$, గణిత కార్యకలాపాల క్రమాన్ని గమనించండి:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ సి ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c ^ {2} = 434.2675}$
   • సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి. తెలియని కోణాన్ని మీరు ఈ విధంగా కనుగొంటారు:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c = 20.8391}$
     కాబట్టి, తెలియని వైపు 20.8391 సెం.మీ.
2. 2 త్రిభుజం GHI లో H కోణాన్ని కనుగొనండి. H మూలలో ప్రక్కనే ఉన్న రెండు వైపులా 22 మరియు 16 సెం.మీ. మూలలో H కి ఎదురుగా ఉన్న వైపు 13 సెం.మీ.
   • మూడు వైపులా ఇవ్వబడినందున, కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. సూత్రాన్ని వ్రాయండి: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • తెలియని మూలకు ఎదురుగా ఉన్న వైపు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$... తెలిసిన విలువలను ఫార్ములాలో ప్లగ్ చేయండి: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • ఫలిత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • కొసైన్‌ను వేరు చేయండి:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • విలోమ కొసైన్‌ని కనుగొనండి. మీరు తెలియని కోణాన్ని ఈ విధంగా లెక్కిస్తారు:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     అందువలన, కోణం H 35.7985 °.
3. 3 కాలిబాట పొడవును కనుగొనండి. నది, కొండ మరియు మార్ష్ మార్గాలు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. నది కాలిబాట పొడవు 3 కి.మీ., హిల్ ట్రైల్ పొడవు 5 కి.మీ.; ఈ ట్రైల్స్ ఒకదానితో ఒకటి 135 ° కోణంలో కలుస్తాయి. చిత్తడి కాలిబాట ఇతర మార్గాల రెండు చివరలను కలుపుతుంది. చిత్తడి కాలిబాట పొడవును కనుగొనండి.
   • ట్రయల్స్ ఒక త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. మీరు త్రిభుజం వైపు ఉన్న తెలియని మార్గం యొక్క పొడవును కనుగొనాలి. ఇతర రెండు మార్గాల పొడవు మరియు వాటి మధ్య కోణం ఇవ్వబడినందున, కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
   • సూత్రాన్ని వ్రాయండి: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • తెలియని మార్గం (చిత్తడి) ఇలా సూచించబడుతుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$... తెలిసిన విలువలను ఫార్ములాలో ప్లగ్ చేయండి: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • లెక్కించు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి. తెలియని మార్గం యొక్క పొడవును మీరు ఈ విధంగా కనుగొంటారు:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c = 7.4306}$
     కాబట్టి, చిత్తడి కాలిబాట పొడవు 7.4306 కిమీ.

చిట్కాలు

• సైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం సులభం. అందువల్ల, ఇచ్చిన సమస్యకు దీన్ని వర్తింపజేయవచ్చో లేదో ముందుగా తెలుసుకోండి.