విషయము

• దశలు
• పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: సింప్లిసిటీ పరీక్షలు
• పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: సింప్లిసిటీ టెస్టులు ఎలా పని చేస్తాయి
• 3 వ భాగం 3: చైనీస్ రిమైండర్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం
• చిట్కాలు
• మీకు ఏమి కావాలి

ప్రైమ్ నంబర్లు తమ ద్వారా మాత్రమే విభజించబడే సంఖ్యలు మరియు 1. అన్ని ఇతర సంఖ్యలను మిశ్రమ సంఖ్యలు అంటారు. ఒక సంఖ్య ప్రధానమైనదో లేదో తెలుసుకోవడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి మరియు అవన్నీ వాటి స్వంత ప్రయోజనాలు మరియు అప్రయోజనాలు కలిగి ఉంటాయి. ఒక వైపు, కొన్ని పద్ధతులు చాలా ఖచ్చితమైనవి, కానీ మీరు పెద్ద సంఖ్యలతో వ్యవహరిస్తుంటే అవి చాలా క్లిష్టంగా ఉంటాయి. మరోవైపు, చాలా వేగవంతమైన మార్గాలు ఉన్నాయి, కానీ అవి తప్పు ఫలితాలకు దారి తీయవచ్చు. తగిన పద్ధతి ఎంపిక మీరు ఎంత పెద్ద సంఖ్యలో పనిచేస్తున్నారనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

దశలు

పార్ట్ 1 ఆఫ్ 3: సింప్లిసిటీ పరీక్షలు

గమనిక: అన్ని సూత్రాలలో ఎన్ తనిఖీ చేయవలసిన సంఖ్యను సూచిస్తుంది.

1. 1 డివైజర్ల గణన. విభజన చేస్తే సరిపోతుంది ఎన్ 2 నుండి గుండ్రని విలువ వరకు అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలకు (${ displaystyle { sqrt {n}}}$).
2. 2 ఫెర్మాట్ యొక్క చిన్న సిద్ధాంతం. హెచ్చరిక: కొన్నిసార్లు పరీక్ష అన్ని విలువలకు కూడా మిశ్రమ సంఖ్యలను ప్రైమ్‌గా తప్పుగా గుర్తిస్తుంది.
   • ఒక పూర్ణాంకం ఎంచుకుందాం a2 ≤ a ≤ n - 1.
   • ఒకవేళ a (mod n) = a (mod n) అయితే సంఖ్య బహుశా ప్రధానమైనది. సమానత్వం సంతృప్తి చెందకపోతే, n అనే సంఖ్య మిశ్రమంగా ఉంటుంది.
   • బహుళ విలువల కోసం ఇచ్చిన సమానత్వాన్ని తనిఖీ చేయండి aపరీక్షించబడుతున్న సంఖ్య వాస్తవానికి ప్రధానమైనది అని సంభావ్యతను పెంచడానికి.
3. 3 మిల్లర్-రాబిన్ పరీక్ష. హెచ్చరిక: కొన్నిసార్లు, అరుదుగా, a యొక్క బహుళ విలువలకు, పరీక్ష మిశ్రమ సంఖ్యలను ప్రధానమైనదిగా తప్పుగా గుర్తిస్తుంది.
   • S మరియు d పరిమాణాలను కనుగొనండి ${ displaystyle n-1 = 2 ^ {s} * d}$.
   • ఒక పూర్ణాంకం ఎంచుకోండి a పరిధిలో 2 ≤ a ≤ n - 1.
   • A = +1 (mod n) లేదా -1 (mod n) అయితే, n బహుశా ప్రధానమైనది. ఈ సందర్భంలో, పరీక్ష ఫలితానికి వెళ్లండి. సమానత్వం లేకపోతే, తదుపరి దశకు వెళ్లండి.
   • మీ సమాధానాన్ని స్క్వేర్ చేయండి (${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a ^ {2d}}$). మీకు -1 (mod n) వస్తే, అప్పుడు n బహుశా ఒక ప్రధాన సంఖ్య. ఈ సందర్భంలో, పరీక్ష ఫలితానికి వెళ్లండి. సమానత్వం విఫలమైతే, పునరావృతం చేయండి (${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a ^ {4d}}$ మరియు అందువలన) వరకు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a ^ {2 ^ {s-1} d}}$.
   • ఒకవేళ వేరే సంఖ్యను స్క్వేర్ చేసిన తర్వాత కొన్ని దశలో ఉంటే ${ displaystyle pm 1}$ (mod n), మీకు +1 (mod n) వచ్చింది, కాబట్టి n అనేది మిశ్రమ సంఖ్య. ఒకవేళ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a ^ {2 ^ {s-1} d} neq pm 1}$ (mod n), అప్పుడు n ప్రధానమైనది కాదు.
   • పరీక్ష ఫలితం: n పరీక్షలో ఉత్తీర్ణులైతే, ఇతర విలువల కోసం పునరావృతం చేయండి aవిశ్వాసాన్ని పెంచడానికి.

పార్ట్ 2 ఆఫ్ 3: సింప్లిసిటీ టెస్టులు ఎలా పని చేస్తాయి

1. 1 డివైజర్ల గణన. నిర్వచనం ప్రకారం, సంఖ్య ఎన్ 1 మరియు దాని మినహా 2 మరియు ఇతర పూర్ణాంకాల ద్వారా భాగించబడనట్లయితే మాత్రమే సులభం. అనవసరమైన దశలను తీసివేయడానికి మరియు సమయాన్ని ఆదా చేయడానికి పై ఫార్ములా మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది: ఉదాహరణకు, ఒక సంఖ్యను 3 ద్వారా భాగిస్తుందో లేదో తనిఖీ చేసిన తర్వాత, అది 9 తో భాగిస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదు.
   • ఫ్లోర్ (x) ఫంక్షన్ x ని x కి దగ్గరగా లేదా సమానమైన పూర్ణాంకానికి రౌండ్ చేస్తుంది.
2. 2 మాడ్యులర్ అంకగణితం గురించి తెలుసుకోండి. ఆపరేషన్ "x మోడ్ వై" (మోడ్ అనేది లాటిన్ పదం "మాడ్యులో" యొక్క సంక్షిప్తీకరణ, అంటే "మాడ్యూల్") అంటే "x ద్వారా y ని విభజించి మిగిలిన వాటిని కనుగొనండి." మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మాడ్యులర్ అంకగణితంలో, ఒక నిర్దిష్ట విలువను చేరుకున్న తర్వాత, దీనిని అంటారు మాడ్యూల్, సంఖ్యలు "సున్న" కి మళ్లీ "మలుపు". ఉదాహరణకు, మాడ్యూల్ 12 తో గడియారం లెక్కించబడుతుంది: ఇది 10, 11 మరియు 12 గంటలు చూపిస్తుంది, ఆపై 1 కి తిరిగి వస్తుంది.
   • చాలా కాలిక్యులేటర్‌లకు మోడ్ కీ ఉంటుంది. పెద్ద సంఖ్యల కోసం ఈ ఫంక్షన్‌ను మాన్యువల్‌గా ఎలా లెక్కించాలో ఈ విభాగం ముగింపు మీకు చూపుతుంది.
3. 3 ఫెర్మాట్ యొక్క చిన్న సిద్ధాంతం యొక్క ప్రమాదాల గురించి తెలుసుకోండి. పరీక్ష పరిస్థితులు నెరవేరని అన్ని సంఖ్యలు మిశ్రమంగా ఉంటాయి, కానీ మిగిలిన సంఖ్యలు మాత్రమే బహుశా సరళమైనవి. మీరు తప్పు ఫలితాలను నివారించాలనుకుంటే, శోధించండి ఎన్ "కార్మికేల్ సంఖ్యలు" (ఈ పరీక్షను సంతృప్తిపరిచే మిశ్రమ సంఖ్యలు) మరియు "ఫెర్మాట్ సూడోప్రిమ్ సంఖ్యలు" (ఈ సంఖ్యలు కొన్ని విలువలకు మాత్రమే పరీక్ష పరిస్థితులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి) a).
4. 4 సౌకర్యవంతంగా ఉంటే, మిల్లర్-రాబిన్ పరీక్షను ఉపయోగించండి. మాన్యువల్ లెక్కల కోసం ఈ పద్ధతి గజిబిజిగా ఉన్నప్పటికీ, ఇది తరచుగా కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లలో ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది ఫెర్మాట్ పద్ధతి కంటే ఆమోదయోగ్యమైన వేగం మరియు తక్కువ లోపాలను అందిస్తుంది. Number విలువలు కంటే ఎక్కువ లెక్కలు జరిపితే మిశ్రమ సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్యగా తీసుకోబడదు a... మీరు యాదృచ్ఛికంగా విభిన్న విలువలను ఎంచుకుంటే a మరియు వారందరికీ పరీక్ష సానుకూల ఫలితాన్ని ఇస్తుంది, మేము చాలా ఎక్కువ విశ్వాసంతో ఊహించవచ్చు ఎన్ ఒక ప్రధాన సంఖ్య.
5. 5 పెద్ద సంఖ్యల కోసం, మాడ్యులర్ అంకగణితాన్ని ఉపయోగించండి. మీకు మోడ్ కాలిక్యులేటర్ అందుబాటులో లేనట్లయితే లేదా కాలిక్యులేటర్ అంత పెద్ద సంఖ్యలను నిర్వహించడానికి రూపొందించబడకపోతే, గణనలను సులభతరం చేయడానికి పవర్ లక్షణాలు మరియు మాడ్యులర్ అంకగణితాన్ని ఉపయోగించండి. క్రింద ఒక ఉదాహరణ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 3 ^ {50}}$ మోడ్ 50:
   • వ్యక్తీకరణను మరింత అనుకూలమైన రూపంలో మళ్లీ వ్రాయండి: ${ displaystyle (3 ^ {25} * 3 ^ {25})}$ mod 50. మాన్యువల్ లెక్కలకు మరింత సరళీకరణలు అవసరం కావచ్చు.
   • ${ displaystyle (3 ^ {25} * 3 ^ {25})}$ మోడ్ 50 = ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (3 ^ {25}}$ మోడ్ 50 ${ displaystyle * 3 ^ {25}}$ mod 50) mod 50. ఇక్కడ మేము మాడ్యులర్ గుణకారం యొక్క ఆస్తిని పరిగణనలోకి తీసుకున్నాము.
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 3 ^ {25}}$ మోడ్ 50 = 43.
   • ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (3 ^ {25}}$ మోడ్ 50 ${ displaystyle * 3 ^ {25}}$ మోడ్ 50) మోడ్ 50 = ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (43 * 43)}$ మోడ్ 50.
   • ${ displaystyle = 1849}$ మోడ్ 50.
   • ${ displaystyle = 49}$.

3 వ భాగం 3: చైనీస్ రిమైండర్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం

1. 1 రెండు సంఖ్యలను ఎంచుకోండి. సంఖ్యలలో ఒకటి తప్పనిసరిగా మిశ్రమంగా ఉండాలి, మరొకటి ఖచ్చితంగా మీరు సరళత కోసం పరీక్షించాలనుకునే సంఖ్యగా ఉండాలి.
   • సంఖ్య 1 = 35
   • సంఖ్య 2 = 97
2. 2 సున్నా కంటే ఎక్కువ మరియు వరుసగా సంఖ్య 1 మరియు సంఖ్య 2 కంటే తక్కువగా ఉండే రెండు విలువలను ఎంచుకోండి. ఈ విలువలు ఒకేలా ఉండకూడదు.
   • విలువ 1 = 1
   • విలువ 2 = 2
3. 3 నంబర్ 1 మరియు నంబర్ 2 కోసం MMI (గణిత గుణకార విలోమం) లెక్కించండి.
   • MMI ని లెక్కించండి
     • MMI1 = సంఖ్య 2 ^ -1 మోడ్ సంఖ్య 1
     • MMI2 = సంఖ్య 1 ^ -1 మోడ్ సంఖ్య 2
   • ప్రధాన సంఖ్యలకు మాత్రమే (ఇది మిశ్రమ సంఖ్యల కోసం ఒక సంఖ్యను ఇస్తుంది, కానీ అది అతని MMI కాదు):
     • MMI1 = (సంఖ్య 2 ^ (సంఖ్య 1-2))% సంఖ్య 1
     • MMI2 = (సంఖ్య 1 ^ (సంఖ్య 2-2))% సంఖ్య 2
   • ఉదాహరణకి:
     • MMI1 = (97 ^ 33)% 35
     • MMI2 = (35 ^ 95)% 97
4. 4 లాగ్ 2 మాడ్యూల్‌ల వరకు ప్రతి MMI కోసం ఒక టేబుల్‌ని సృష్టించండి:
   • MMI1 కోసం
     • F (1) = సంఖ్య 2% సంఖ్య 1 = 97% 35 = 27
     • F (2) = F (1) * F (1)% సంఖ్య 1 = 27 * 27% 35 = 29
     • F (4) = F (2) * F (2)% సంఖ్య 1 = 29 * 29% 35 = 1
     • F (8) = F (4) * F (4)% సంఖ్య 1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (16) = F (8) * F (8)% సంఖ్య 1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (32) = F (16) * F (16)% సంఖ్య 1 = 1 * 1% 35 = 1
   • జత చేసిన సంఖ్యలను 1 - 2 లెక్కించండి
     • 35 -2 = 33 (10001) బేస్ 2
     • MMI1 = F (33) = F (32) * F (1) mod 35
     • MMI1 = F (33) = 1 * 27 మోడ్ 35
     • MMI1 = 27
   • MMI2 కోసం
     • F (1) = సంఖ్య 1% సంఖ్య 2 = 35% 97 = 35
     • F (2) = F (1) * F (1)% సంఖ్య 2 = 35 * 35 మోడ్ 97 = 61
     • F (4) = F (2) * F (2)% సంఖ్య 2 = 61 * 61 మోడ్ 97 = 35
     • F (8) = F (4) * F (4)% సంఖ్య 2 = 35 * 35 మోడ్ 97 = 61
     • F (16) = F (8) * F (8)% సంఖ్య 2 = 61 * 61 మోడ్ 97 = 35
     • F (32) = F (16) * F (16)% సంఖ్య 2 = 35 * 35 మోడ్ 97 = 61
     • F (64) = F (32) * F (32)% సంఖ్య 2 = 61 * 61 మోడ్ 97 = 35
     • F (128) = F (64) * F (64)% సంఖ్య 2 = 35 * 35 మోడ్ 97 = 61
   • జత చేసిన సంఖ్యను లెక్కించండి 2 - 2
     • 97 - 2 = 95 = (1011111) బేస్ 2
     • MMI2 = ((((((F (64) * F (16)% 97) * F (8)% 97) * F (4)% 97) * F (2)% 97) * F (1)% 97)
     • MMI2 = ((((((35 * 35)% 97) * 61)% 97) * 35% 97) * 61% 97) * 35% 97)
     • MMI2 = 61
5. 5 లెక్కించు (విలువ 1 * సంఖ్య 2 * MMI1 + విలువ 2 * సంఖ్య 1 * MMI2)% (సంఖ్య 1 * సంఖ్య 2)
   • సమాధానం = (1 * 97 * 27 + 2 * 35 * 61)% (97 * 35)
   • సమాధానం = (2619 + 4270)% 3395
   • సమాధానం = 99
6. 6 నంబర్ 1 ప్రధానమైనది కాదా అని తనిఖీ చేయండి
   • లెక్కించు (సమాధానం - విలువ 1)% సంఖ్య 1
   • 99 – 1 % 35 = 28
   • 28 0 కంటే ఎక్కువ కాబట్టి, 35 అనేది ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
7. 7 నంబర్ 2 ప్రైమ్ అని చెక్ చేయండి.
   • లెక్కించు (సమాధానం - విలువ 2)% సంఖ్య 2
   • 99 – 2 % 97 = 0
   • 0 అనేది 0 కాబట్టి, 97 అనేది ప్రధాన సంఖ్య.
8. 8 1 నుండి 7 దశలను కనీసం మరో రెండు సార్లు పునరావృతం చేయండి.
   • 7 వ దశలో మీకు 0 వస్తే:
     • నంబర్ 1 ప్రైమ్ కాకపోతే వేరే నంబర్ 1 ఉపయోగించండి.
     • నంబర్ 1 ప్రైమ్ అయితే మరో నంబర్ 1 ఉపయోగించండి. ఈ సందర్భంలో, మీరు 6 మరియు 7 దశల్లో 0 పొందాలి.
     • విభిన్న అర్థం 1 మరియు అర్థం 2 ఉపయోగించండి.
   • స్టెప్ 7 లో మీరు స్థిరంగా 0 పొందుతుంటే, నంబర్ 2 ప్రైమ్ అయ్యే అవకాశం ఉంది.
   • నంబర్ 1 ప్రైమ్ కాకపోతే మరియు నంబర్ 2 నంబర్ 1 యొక్క డివైజర్ అయితే 1 నుండి 7 స్టెప్స్ లోపాన్ని కలిగిస్తాయి. రెండు సంఖ్యలు ప్రధానమైనప్పుడు వివరించిన పద్ధతి అన్ని సందర్భాలలో పనిచేస్తుంది.
   • మీరు 1 నుండి 7 దశలను పునరావృతం చేయడానికి కారణం ఏమిటంటే, కొన్ని సందర్భాల్లో, నంబర్ 1 మరియు నంబర్ 2 ప్రధానమైనవి కానప్పటికీ, స్టెప్ 7 లో మీరు 0 (ఒకటి లేదా రెండు నంబర్లకు) పొందుతారు. ఇది చాలా అరుదుగా జరుగుతుంది.మరొక నంబర్ 1 (కాంపోజిట్) ఎంచుకోండి, మరియు నంబర్ 2 ప్రైమ్ కాకపోతే, నంబర్ 2 స్టెప్ 7 లో సున్నాతో సమానంగా ఉండదు (నంబర్ 1 నంబర్ 2 యొక్క డివైజర్ అయిన సందర్భం తప్ప - ఇక్కడ ప్రైమ్స్ ఎల్లప్పుడూ స్టెప్ 7 లో సున్నాతో సమానంగా ఉంటాయి).

చిట్కాలు

• 168 నుండి 1000 వరకు ప్రధాన సంఖ్యలు: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211 , 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359 , 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509 , 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673 , 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853 , 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.
• పెద్ద సంఖ్యలతో పనిచేసేటప్పుడు బ్రూట్ ఫోర్స్ టెస్టింగ్ అనేది శ్రమతో కూడుకున్న పరీక్ష అయినప్పటికీ, చిన్న సంఖ్యలకు ఇది చాలా సమర్థవంతమైనది. పెద్ద సంఖ్యల విషయంలో కూడా, చిన్న డివైజర్‌లను పరీక్షించడం ద్వారా ప్రారంభించండి, ఆపై సంఖ్యల సరళతను తనిఖీ చేయడానికి మరింత అధునాతన పద్ధతులకు వెళ్లండి (చిన్న డివైజర్లు కనుగొనబడకపోతే).

మీకు ఏమి కావాలి

• పేపర్, పెన్ లేదా కంప్యూటర్