సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

విషయము

అడుగు పెట్టడానికి
4 యొక్క పద్ధతి 1: వ్యవకలనం ద్వారా పరిష్కరించండి
4 యొక్క పద్ధతి 2: చేరిక ద్వారా పరిష్కరించడం
4 యొక్క పద్ధతి 3: గుణించడం ద్వారా పరిష్కరించండి
4 యొక్క 4 వ పద్ధతి: ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా కరిగించండి
చిట్కాలు

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి బహుళ సమీకరణాలలో బహుళ వేరియబుల్స్ విలువను కనుగొనడం అవసరం. అదనంగా, వ్యవకలనం, గుణకారం లేదా ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి మీరు సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించవచ్చు. సమీకరణాల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలో మీరు తెలుసుకోవాలనుకుంటే, మీరు చేయాల్సిందల్లా ఈ దశలను అనుసరించండి.

అడుగు పెట్టడానికి

4 యొక్క పద్ధతి 1: వ్యవకలనం ద్వారా పరిష్కరించండి

ఒక సమీకరణాన్ని మరొకటి పైన వ్రాయండి. ఈ సమీకరణాలను వ్యవకలనంతో పరిష్కరించడం ఆదర్శవంతమైన పద్ధతి, రెండు సమీకరణాలు ఒకే గుణకం మరియు ఒకే గుర్తుతో ఒకే వేరియబుల్ కలిగి ఉన్నాయని మీరు చూసినప్పుడు. ఉదాహరణకు, రెండు సమీకరణాలు వేరియబుల్ -2x కలిగి ఉంటే, మీరు రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి వ్యవకలనాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
- ఒక సమీకరణాన్ని మరొకదాని పైన వ్రాయండి, తద్వారా రెండు సమీకరణాలు మరియు సంఖ్యల యొక్క x మరియు y వేరియబుల్స్ ఒకదానికొకటి క్రింద ఉంటాయి. దిగువ సంఖ్య పక్కన మైనస్ గుర్తు ఉంచండి.
- ఉదా: మీకు ఈ క్రింది రెండు సమీకరణాలు ఉంటే: 2x + 4y = 8 మరియు 2x + 2y = 2, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
  - 2x + 4y = 8
  - - (2x + 2y = 2)
నిబంధనల మాదిరిగా తీసివేయండి. ఇప్పుడు రెండు సమీకరణాలు సమలేఖనం చేయబడ్డాయి, మీరు చేయాల్సిందల్లా ఇలాంటి పదాలను తీసివేయడం. ఒకేసారి ఒక పదంతో దీన్ని చేయండి:
- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
- 8 - 2 = 6
  - 2x + 4y = 8 - (2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
మిగిలిన పదం కోసం పరిష్కరించండి. ఫలిత సమీకరణం నుండి ఏదైనా సున్నాను తొలగించండి, అది విలువను మార్చదు మరియు మిగిలిన సమీకరణం కోసం పరిష్కరించండి.
- 2y = 6
- Y = 3 పొందడానికి 2y మరియు 6 ను 2 ద్వారా విభజించండి
సమీకరణాలలో ఒకదానిలో వేరియబుల్ యొక్క దొరికిన విలువను నమోదు చేయండి. Y = 3 అని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు, x కోసం పరిష్కరించడానికి మీరు ఈ విలువను అసలు సమీకరణంలోకి నమోదు చేయవచ్చు. మీరు ఏ సమీకరణాన్ని ఎంచుకున్నా, సమాధానం అదే. కాబట్టి సరళమైన సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి!
- 2x + 2y = 2 సమీకరణంలో y = 3 ను ఎంటర్ చేసి x కోసం పరిష్కరించండి.
- 2x + 2 (3) = 2
- 2x + 6 = 2
- 2x = -4
- x = - 2
  - మీరు వ్యవకలనం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించారు. (x, y) = (-2, 3)
మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీ సమాధానం సరైనదని నిర్ధారించుకోవడానికి, రెండు సమాధానాలను రెండు సమీకరణాలలో నమోదు చేయండి. ఇక్కడ మీరు ఎలా చూడవచ్చు:
- 2x + 4y = 8 సమీకరణంలో (x, y) కోసం (-2, 3) నమోదు చేయండి.
  - 2(-2) + 4(3) = 8
  - -4 + 12 = 8
  - 8 = 8
- 2x + 2y = 2 సమీకరణంలో (x, y) కోసం (-2, 3) నమోదు చేయండి.
  - 2(-2) + 2(3) = 2
  - -4 + 6 = 2
  - 2 = 2

4 యొక్క పద్ధతి 2: చేరిక ద్వారా పరిష్కరించడం

ఒక సమీకరణాన్ని మరొకటి పైన వ్రాయండి. రెండు సమీకరణాలు ఒకే గుణకంతో వేరియబుల్ కలిగి ఉన్నాయని మీరు గమనించినట్లయితే, సమీకరణాల వ్యవస్థను అదనంగా పరిష్కరించడం ఉత్తమ పద్ధతి; ఉదాహరణకు, ఒక సమీకరణం వేరియబుల్ 3x మరియు మరొకటి వేరియబుల్ -3x కలిగి ఉంటే.
- ఒక సమీకరణాన్ని మరొకదానిపై వ్రాయండి, తద్వారా రెండు సమీకరణాల యొక్క x మరియు y వేరియబుల్స్ మరియు సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి క్రింద ఉంటాయి. దిగువ సంఖ్య పక్కన ప్లస్ గుర్తు ఉంచండి.
- ఉదా: మీకు ఈ క్రింది రెండు సమీకరణాలు 3x + 6y = 8 మరియు x - 6y = 4 ఉన్నాయి, తరువాత క్రింద చూపిన విధంగా మొదటి సమీకరణాన్ని రెండవ పైన రాయండి:
  - 3x + 6y = 8
  - + (x - 6y = 4)
ఇలాంటి పదాలను కలిపి జోడించండి. ఇప్పుడు రెండు సమీకరణాలు సమలేఖనం చేయబడ్డాయి, మీరు చేయాల్సిందల్లా ఒకే వేరియబుల్‌తో నిబంధనలను జోడించడం:
- 3x + x = 4x
- 6y + -6y = 0
- 8 + 4 = 12
- మీరు వీటిని మిళితం చేస్తే మీకు క్రొత్త ఉత్పత్తి లభిస్తుంది:
  - 3x + 6y = 8
  - + (x - 6y = 4)
  - = 4x + 0 = 12
మిగిలిన పదం కోసం పరిష్కరించండి. ఫలిత సమీకరణం నుండి ఏదైనా సున్నాను తొలగించండి, అది విలువను మార్చదు. మిగిలిన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
- 4x + 0 = 12
- 4x = 12
- X = 3 పొందడానికి 4x మరియు 12 ను 3 ద్వారా విభజించండి
ఈ వేరియబుల్ యొక్క దొరికిన విలువను సమీకరణాలలో ఒకదానిలో నమోదు చేయండి. X = 3 అని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు, మీరు y కోసం పరిష్కరించడానికి ఈ విలువను అసలు సమీకరణంలోకి నమోదు చేయవచ్చు. మీరు ఏ సమీకరణాన్ని ఎంచుకున్నా, సమాధానం అదే. కాబట్టి సరళమైన సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి!
- Y ను కనుగొనడానికి x - 6y = 4 సమీకరణంలో x = 3 ను నమోదు చేయండి.
- 3 - 6y = 4
- -6y = 1
- Y = -1/6 పొందడానికి -6y మరియు 1 బై -6 ను విభజించండి.
  - మీరు సమీకరణాల వ్యవస్థను అదనంగా పరిష్కరించారు. (x, y) = (3, -1/6)
మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీ సమాధానం సరైనదని నిర్ధారించుకోవడానికి, రెండు సమాధానాలను రెండు సమీకరణాలలో నమోదు చేయండి. ఇక్కడ ఎలా ఉంది:
- 3x + 6y = 8 సమీకరణంలో (x, y) కోసం (3, -1/6) నమోదు చేయండి.
  - 3(3) + 6(-1/6) = 8
  - 9 - 1 = 8
  - 8 = 8
- X - 6y = 4 సమీకరణంలో (x, y) కోసం (3, -1/6) నమోదు చేయండి.
  - 3 - (6 * -1/6) =4
  - 3 - - 1 = 4
  - 3 + 1 = 4
  - 4 = 4

4 యొక్క పద్ధతి 3: గుణించడం ద్వారా పరిష్కరించండి

ఒక సమీకరణాన్ని మరొకటి పైన వ్రాయండి. ఒక సమీకరణాన్ని మరొకదానిపై వ్రాయండి, తద్వారా రెండు సమీకరణాల యొక్క x మరియు y వేరియబుల్స్ మరియు సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి క్రింద ఉంటాయి. మీరు గుణకారం ఉపయోగిస్తుంటే, మీరు దీన్ని చేస్తున్నారు ఎందుకంటే వేరియబుల్స్‌లో ఏదీ సమాన గుణకాలు లేవు - ప్రస్తుతం.
- 3x + 2y = 10
- 2x - y = 2
సమాన గుణకాలను అందించండి. అప్పుడు ఒకటి లేదా రెండు సమీకరణాలను ఒక సంఖ్యతో గుణించండి, తద్వారా వేరియబుల్స్ ఒకటి ఒకే గుణకం కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు మొత్తం రెండవ సమీకరణాన్ని 2 గుణించి -y -2y కు సమానంగా మరియు మొదటి y గుణకం చేయవచ్చు. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఉంది:
- 2 (2x - y = 2)
- 4x - 2y = 4
సమీకరణాలను జోడించండి లేదా తీసివేయండి. ఇప్పుడు మీరు చేయాల్సిందల్లా ఇలాంటి పదాలను జోడించడం లేదా తీసివేయడం ద్వారా తొలగించడం. మీరు ఇక్కడ 2y మరియు -2y లతో వ్యవహరిస్తున్నందున, ఇది 0 కి సమానం కాబట్టి అదనంగా పద్ధతిని ఉపయోగించడం అర్ధమే. మీరు 2y + 2y తో వ్యవహరిస్తుంటే, వ్యవకలనం పద్ధతిని ఉపయోగించండి. వేరియబుల్స్ రద్దు చేయడానికి అదనంగా పద్ధతిని ఎలా ఉపయోగించాలో ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:
- 3x + 2y = 10
- + 4x - 2y = 4
- 7x + 0 = 14
- 7x = 14
మిగిలిన పదం కోసం దీనిని పరిష్కరించండి. మీరు ఇంకా తొలగించని పదం యొక్క విలువను కనుగొనడం ద్వారా ఇది సులభంగా పరిష్కరించబడుతుంది. 7x = 14 అయితే, x = 2.
సమీకరణాలలో ఒకదానిలో కనిపించే విలువను నమోదు చేయండి. మరొక పదాన్ని పరిష్కరించడానికి అసలు సమీకరణాలలో ఒకదానిలో పదాన్ని నమోదు చేయండి. దీని కోసం సరళమైన సమీకరణాన్ని ఎంచుకోండి, ఇది వేగవంతమైనది.
- x = 2 ---> 2x - y = 2
- 4 - వై = 2
- -y = -2
- y = 2
- మీరు గుణకారం ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించారు. (x, y) = (2, 2)
మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీ సమాధానం సరైనదని నిర్ధారించుకోవడానికి, రెండు సమాధానాలను రెండు సమీకరణాలలో నమోదు చేయండి. ఇక్కడ మీరు ఎలా చూడవచ్చు:
- 3x + 2y = 10 సమీకరణంలో (x, y) కోసం (2, 2) నమోదు చేయండి.
- 3(2) + 2(2) = 10
- 6 + 4 = 10
- 10 = 10
- 2x - y = 2 సమీకరణంలో (x, y) కోసం (2, 2) నమోదు చేయండి.
- 2(2) - 2 = 2
- 4 - 2 = 2
- 2 = 2

4 యొక్క 4 వ పద్ధతి: ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా కరిగించండి

వేరియబుల్‌ను వేరుచేయండి. సమీకరణాలలో ఒకదానిలోని గుణకాలలో ఒకటి 1 కి సమానమైనప్పుడు ప్రత్యామ్నాయం అనువైనది. అప్పుడు మీరు చేయాల్సిందల్లా ఈ వేరియబుల్‌ను దాని విలువను కనుగొనడానికి సమీకరణం యొక్క ఒక వైపున వేరుచేయడం.
- మీరు 2x + 3y = 9 మరియు x + 4y = 2 సమీకరణాలతో పనిచేస్తుంటే, మీరు రెండవ సమీకరణంలో x ను వేరుచేయాలి.
- x + 4y = 2
- x = 2 - 4y
ఇతర సమీకరణంలో మీరు వేరుచేయబడిన వేరియబుల్ విలువను నమోదు చేయండి. వివిక్త వేరియబుల్ యొక్క విలువను తీసుకొని ఇతర సమీకరణంలో నింపండి. వాస్తవానికి అదే పోలికలో లేదు, లేకపోతే మీరు దేనినీ పరిష్కరించలేరు. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:
- x = 2 - 4y -> 2x + 3y = 9
- 2 (2 - 4y) + 3y = 9
- 4 - 8y + 3y = 9
- 4 - 5y = 9
- -5y = 9 - 4
- -5y = 5
- -y = 1
- y = -1
మిగిలిన వేరియబుల్ కోసం పరిష్కరించండి. Y = - 1 అని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు, x విలువను కనుగొనడానికి ఈ విలువను సరళమైన సమీకరణంలోకి నమోదు చేయండి. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:
- y = -1 -> x = 2 - 4y
- x = 2 - 4 (-1)
- x = 2 - -4
- x = 2 + 4
- x = 6
- మీరు ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించారు. (x, y) = (6, -1)
మీ సమాధానం తనిఖీ చేయండి. మీ సమాధానం సరైనదని నిర్ధారించుకోవడానికి, రెండు సమాధానాలను రెండు సమీకరణాలలో నమోదు చేయండి. ఇక్కడ మీరు ఎలా చూడవచ్చు:
- 2x + 3y = 9 సమీకరణంలో (x, y) కోసం (6, -1) నమోదు చేయండి.
  - 2(6) + 3(-1) = 9
  - 12 - 3 = 9
  - 9 = 9
- X + 4y = 2 సమీకరణంలో (x, y) కోసం (6, -1) నమోదు చేయండి.
- 6 + 4(-1) = 2
- 6 - 4 = 2
- 2 = 2

చిట్కాలు

మీరు ఇప్పుడు అదనంగా, వ్యవకలనం, గుణకారం లేదా ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి ఏదైనా సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించగలగాలి, అయితే సమీకరణాలను బట్టి ఒక పద్ధతి సాధారణంగా ఉత్తమమైనది.