విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• 3 యొక్క 1 వ భాగం: "భాగస్వామ్యం" అసాధ్యమని అర్థం చేసుకోండి
• 3 యొక్క 2 వ భాగం: మాతృకను విలోమం చేయడం
• 3 యొక్క 3 వ భాగం: సమస్యను పూర్తి చేయడానికి మాత్రికలను గుణించండి
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

రెండు మాత్రికలను ఎలా గుణించాలో మీకు తెలిస్తే, మీరు ఒక మాతృకను మరొక మాతృక ద్వారా "విభజించగలిగే" మార్గంలో బాగానే ఉన్నారు. భాగస్వామ్యం కొటేషన్ మార్కులలో ఉంది ఎందుకంటే మాత్రికలను సాంకేతికంగా భాగస్వామ్యం చేయలేము. బదులుగా, మేము ఒక మాతృకను గుణించాలి విలోమ మరొక మాతృక నుండి. ఈ లెక్కలు తరచూ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగిస్తారు.

అడుగు పెట్టడానికి

3 యొక్క 1 వ భాగం: "భాగస్వామ్యం" అసాధ్యమని అర్థం చేసుకోండి

1. మాతృక అంటే "విభజించడం" అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోండి. సాంకేతికంగా, మాతృక విభజన వంటివి ఏవీ లేవు. శ్రేణులను భాగస్వామ్యం చేయడం నిర్వచించబడిన పని కాదు. దగ్గరి విషయం ఏమిటంటే మరొక మాతృక యొక్క విలోమం ద్వారా గుణించడం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, [A] ÷ [B] నిర్వచించబడనప్పటికీ, మీరు సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు [A] * [B]. ఈ రెండు సమీకరణాలు స్కేలర్‌లకు సమానం కాబట్టి, ఇది మ్యాట్రిక్స్ డివిజన్ లాగా "అనిపిస్తుంది", కానీ సరైన పరిభాషను ఉపయోగించడం చాలా ముఖ్యం.
   • [A] * [B] మరియు [B] * [A] ఒకే సమస్య కాదని గమనించండి. సాధ్యమయ్యే అన్ని సమాధానాలను కనుగొనడానికి మీరు రెండింటినీ పరిష్కరించాల్సి ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణకు, బదులుగా ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}.$"డివైజర్ మ్యాట్రిక్స్" చదరపు అని తనిఖీ చేయండి. మాతృక యొక్క విలోమాన్ని నిర్ణయించటానికి, ఇది చదరపు మాతృక అయి ఉండాలి, కాబట్టి అదే సంఖ్యలో వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలతో. మీరు విలోమం చేయదలిచిన మాతృక చదరపు మాతృక కాకపోతే, సమస్యకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం లేదు.
     • "డివైజర్ మ్యాట్రిక్స్" అనే పదం కొంతవరకు వదులుగా ఉంది, ఎందుకంటే ఇది నిజంగా ఉపప్రాబ్లం కాదు. [A] * [B] కొరకు, ఇది మాతృక [B] ను సూచిస్తుంది. మా ఉదాహరణలో ఇది ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ప్రారంభం {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$రెండు మాత్రికలను కలిపి గుణించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయండి. రెండు మాత్రికలను గుణించటానికి, మొదటి మాతృకలోని నిలువు వరుసల సంఖ్య రెండవ మాతృకలోని వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండాలి. ఇది రెండు సందర్భాల్లో ([A] * [B] లేదా [B] * [A]) పనిచేయకపోతే, సమస్యకు పరిష్కారం లేదు.
       • ఉదాహరణకు, [A] 4 x 3 మాతృక (4 వరుసలు, 3 నిలువు వరుసలు) మరియు [B] 2 x 2 మాతృక (2 వరుసలు, 2 నిలువు వరుసలు) అయితే పరిష్కారం లేదు. [A] * [B] పనిచేయదు ఎందుకంటే 3 ≠ 2, మరియు [B] * [A] పనిచేయదు ఎందుకంటే 2 4.
       • విలోమ [B] ఎల్లప్పుడూ అసలు మాతృక [B] కు సమానమైన వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుందని తెలుసుకోండి. ఈ దశను పూర్తి చేయడానికి విలోమాన్ని లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు.
       • మా ఉదాహరణ సమస్యలో, రెండు మాత్రికలు 2x2, కాబట్టి వాటిని ఏ క్రమంలోనైనా గుణించవచ్చు.
     • 2 x 2 మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొనండి. మీరు మాతృక యొక్క విలోమాన్ని నిర్ణయించడానికి ముందు అవసరమైన మరో చెక్ ఉంది. మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నా కాదు. నిర్ణాయకుడు సున్నా అయితే, మాతృకకు విలోమం ఉండదు. సరళమైన సందర్భంలో (2 x 2 మాతృక) మీరు నిర్ణయాధికారిని ఎలా నిర్ణయిస్తారో ఇక్కడ ఉంది:
       • 2 x 2 మాతృక: మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ప్రారంభం {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$పెద్ద మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొనండి. మీ మాతృక 3 x 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటే, నిర్ణయాధికారిని నిర్ణయించడానికి మరికొన్ని పని అవసరం:
         • 3 x 3 మాతృక: ఒక మూలకాన్ని ఎన్నుకోండి మరియు దానికి చెందిన అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసను దాటండి. మిగిలిన 2 x 2 మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొని, ఎంచుకున్న మూలకం ద్వారా గుణించి, అక్షరాన్ని నిర్ణయించడానికి మాతృక అక్షర పట్టికను ఉంచండి. మీరు ఎంచుకున్న మొదటి వరుసలో ఒకే వరుస మరియు కాలమ్‌లోని ఇతర రెండు అంశాల కోసం పునరావృతం చేసి, ఆపై మూడు డిటర్మెంట్లను జోడించండి. దశల వారీ సూచనలు మరియు దీన్ని వేగంగా ఎలా చేయాలో చిట్కాల కోసం ఈ కథనాన్ని చదవండి.
         • పెద్ద మాత్రికలు: గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ లేదా సాఫ్ట్‌వేర్ వాడకం సిఫార్సు చేయబడింది. ఈ పద్ధతి 3 x 3 మాతృకకు సమానం, కానీ మీరు దీన్ని చేతితో చేస్తే చాలా సమయం పడుతుంది. ఉదాహరణకు, 4 x 4 మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొనడానికి, మీరు మొదట నాలుగు 3 x 3 మాత్రికల యొక్క నిర్ణాయకాలను కనుగొనాలి.
       • కొనసాగించండి. మీ మాతృక చదరపు కాకపోతే, లేదా దాని నిర్ణయాధికారి సున్నా అయితే, దానిని "ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం కాదు" అని రాయండి. సమస్య పూర్తయింది. మాతృక ఒక చదరపు మరియు దాని నిర్ణాయకం సున్నా కాకపోతే, తదుపరి దశ కోసం తదుపరి భాగంతో కొనసాగించండి: విలోమాన్ని నిర్ణయించడం.

3 యొక్క 2 వ భాగం: మాతృకను విలోమం చేయడం

1. 2 x 2 ప్రధాన వికర్ణ మూలకాల స్థానాలను మార్చుకోండి. మీరు 2 x 2 మాతృకతో వ్యవహరిస్తుంటే, ఈ గణనను మరింత సులభతరం చేయడానికి మీరు సత్వరమార్గాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. ఈ శీఘ్ర పరిష్కారానికి మొదటి దశ ఎగువ ఎడమ మూలకాన్ని దిగువ కుడి మూలకంతో మార్పిడి చేయడం. ఉదాహరణకి:
   • ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ప్రారంభం {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$మిగతా రెండు మూలకాలకు విరుద్ధంగా తీసుకోండి కాని వాటిని ఆ స్థితిలో ఉంచండి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మొదటిదాన్ని గుణించండి న్యాయమూర్తి మరియు దిగువ ఎడమ-1 తో మూలకాలు:
     • ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ప్రారంభం {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$డిటర్మినెంట్ యొక్క పరస్పరం తీసుకోండి. పై విభాగంలో ఈ మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని మీరు కనుగొన్నారు, కాబట్టి దాన్ని తిరిగి లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు. 1 / (నిర్ణాయక) యొక్క పరస్పర సంబంధాన్ని వ్రాసుకోండి:
       • మా ఉదాహరణలో, నిర్ణయాధికారి 13. దీని యొక్క పరస్పర సంబంధం ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ఫ్రాక్ {1} {13}}}$కొత్త మాతృకను డిటర్మినెంట్ యొక్క పరస్పరం గుణించాలి. క్రొత్త మాతృక యొక్క ప్రతి మూలకాన్ని మీరు ఇప్పుడే కనుగొన్న పరస్పర గుణించాలి. ఫలిత మాతృక 2 × 2 మాతృక యొక్క విలోమం:
         • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { ప్రారంభం {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$విలోమం సరైనదని నిర్ధారించండి. మీ పనిని తనిఖీ చేయడానికి, అసలు మాతృక ద్వారా విలోమాన్ని గుణించండి. విలోమం సరైనది అయితే, వారి ఉత్పత్తి ఎల్లప్పుడూ మాతృక యొక్క గుర్తింపు, ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ప్రారంభం {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$3 x 3 మాతృక లేదా అంతకంటే పెద్ద మాతృక విలోమాన్ని కనుగొనండి. మీరు ఈ ప్రక్రియకు కొత్తగా లేకుంటే, పెద్ద మాత్రికలతో గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ లేదా గణిత సాఫ్ట్‌వేర్‌ను ఉపయోగించడం ద్వారా మీరే ఎక్కువ సమయాన్ని ఆదా చేసుకోవచ్చు. మీరు దీన్ని చేతితో లెక్కించవలసి వస్తే, మీరు ఉపయోగించగల ఒక పద్ధతి యొక్క శీఘ్ర సారాంశం ఇక్కడ ఉంది:
           • మీ మాతృక యొక్క కుడి వైపున గుర్తింపు మాతృక I ని జోడించండి. ఉదాహరణకు, [B] → [B | నేను]. గుర్తింపు మాతృకలో ప్రధాన వికర్ణంతో పాటు "1" అంశాలు మరియు అన్ని ఇతర స్థానాల్లో "0" అంశాలు ఉన్నాయి.
           • ఎడమ వైపు వరుస ఎచెలాన్ రూపంలో ఉండే వరకు మాతృకను తగ్గించడానికి వరుస సవరణలు చేయండి మరియు ఎడమ వైపు గుర్తింపు మాతృక అయ్యే వరకు తగ్గించడం కొనసాగించండి.
           • మొత్తం ఆపరేషన్ పూర్తయినప్పుడు, మీ మాతృక [I | రూపంలో ఉంటుంది బి]. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, కుడి వైపు అసలు మాతృక యొక్క విలోమం అవుతుంది.

3 యొక్క 3 వ భాగం: సమస్యను పూర్తి చేయడానికి మాత్రికలను గుణించండి

1. సాధ్యమయ్యే రెండు సమీకరణాలను వ్రాయండి. స్కేలర్‌లతో "సాధారణ గణితంలో", గుణకారం ప్రయాణించేది; 2 x 6 = 6 x 2. ఇది మాత్రికలకు వర్తించదు, కాబట్టి మీరు రెండు సమస్యలను పరిష్కరించాల్సి ఉంటుంది:
   • [A] * [B] దీనికి పరిష్కారం X. సమస్య కోసం X.[బి] = [ఎ].
   • [బి] * [ఎ] దీనికి పరిష్కారం X. సమస్య కోసం [B]X. = [అ].
   • ఇది సమీకరణంలో భాగం అయితే, మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే ఆపరేషన్‌ను వర్తింపజేస్తున్నారని నిర్ధారించుకోండి. [A] = [C] అయితే, [B] [A] కాదు [C] [B] వలె ఉంటుంది, ఎందుకంటే [B] [A] యొక్క ఎడమ వైపున ఉంటుంది, కానీ [C] యొక్క కుడి వైపున ఉంటుంది.
2. మీ సమాధానం యొక్క కొలతలు నిర్ణయించండి. తుది మాతృక యొక్క కొలతలు రెండు కారకాల బాహ్య కొలతలు. ఇది మొదటి మాతృక వలె వరుసల సంఖ్యను మరియు రెండవ మాతృక వలె నిలువు వరుసల సంఖ్యను కలిగి ఉంది.
   • అసలు ఉదాహరణకి తిరిగి వస్తోంది: రెండూ ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ప్రారంభం {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$మొదటి మూలకం యొక్క విలువను నిర్ణయించండి. వివరణాత్మక సూచనల కోసం లింక్ చేయబడిన కథనాన్ని చూడండి లేదా ఈ సారాంశంతో మీ జ్ఞానాన్ని రిఫ్రెష్ చేయండి:
     • [A] [B] యొక్క 1 వ నిలువు వరుసను కనుగొనడానికి, [A] అడ్డు వరుస 1 మరియు [B] కాలమ్ 1 యొక్క డాట్ ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. కాబట్టి, 2 x 2 మాతృక కోసం, మీరు లెక్కించండి ${ డిస్ప్లేస్టైల్ a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$మీ మాతృకలోని ప్రతి స్థానానికి డాట్ ఉత్పత్తిని లెక్కించండి. ఉదాహరణకు, స్థానం 2,1 వద్ద ఉన్న మూలకం [A] అడ్డు వరుస 2 మరియు [B] కాలమ్ 1 యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి. ఉదాహరణను మీరే పని చేయడానికి ప్రయత్నించండి. మీరు ఈ క్రింది సమాధానాలను పొందాలి:
       • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {. 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
       • మరియు ఇతర పరిష్కారం: ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ప్రారంభం {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} ముగింపు {pmatrix}} * { ప్రారంభం {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 ముగింపు {pmatrix}}}$

చిట్కాలు

• మాతృక యొక్క ప్రతి మూలకాన్ని స్కేలార్ ద్వారా విభజించడం ద్వారా మీరు మాతృకను స్కేలార్ ద్వారా విభజించవచ్చు.
  • ఉదాహరణకు, మాతృక ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ప్రారంభం {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ 2 = ద్వారా విభజించబడింది ${ డిస్ప్లేస్టైల్ { ప్రారంభం {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

హెచ్చరికలు

• మాతృక గణనలలో కాలిక్యులేటర్లు ఎల్లప్పుడూ 100% ఖచ్చితమైనవి కావు. ఉదాహరణకు, మీ కాలిక్యులేటర్ ఒక మూలకం చాలా చిన్న విలువను కలిగి ఉందని సూచిస్తే (ఉదా. 2E), విలువ సున్నా కావచ్చు.