విషయము

• దశలు
• సలహా

రెండు-డైమెన్షనల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో రెండు పంక్తులు కలిసినప్పుడు, అవి x మరియు y కోఆర్డినేట్ జతచే సూచించబడే పాయింట్ వద్ద మాత్రమే కలుస్తాయి. రెండు పంక్తులు ఆ పాయింట్ గుండా వెళుతున్నందున, x మరియు y కోఆర్డినేట్ జతలు రెండు సమీకరణాలను సంతృప్తి పరచాలి. కొన్ని అదనపు పద్ధతులతో, మీరు అదే వాదన చేయడం ద్వారా పారాబొలా మరియు ఇతర చతురస్రాకార వక్రాల ఖండనను కనుగొనవచ్చు.

దశలు

2 యొక్క పద్ధతి 1: రెండు పంక్తుల ఖండనను కనుగొనండి

1. 

   ప్రతి పంక్తికి ఎడమ వైపున y తో సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. అవసరమైతే, సమీకరణాన్ని మార్చండి, తద్వారా y మాత్రమే సమాన చిహ్నం యొక్క ఒక వైపు ఉంటుంది. సమీకరణం y కు బదులుగా f (x) లేదా g (x) ఉపయోగిస్తుంటే, ఈ పదాన్ని వేరు చేయండి. రెండు వైపులా ఒకే గణితాన్ని చేయడం ద్వారా మీరు నిబంధనలను రద్దు చేయవచ్చని గుర్తుంచుకోండి.
   • సమస్య సమీకరణాలను చూపించకపోతే, అందుబాటులో ఉన్న సమాచారం నుండి వాటిని వెతకండి.
   • ఉదాహరణకి: రెండు పంక్తులు మరియు యొక్క సమీకరణాలను కలిగి ఉంటాయి. రెండవ సమీకరణంలో, ఎడమ వైపు y మాత్రమే ఉండటానికి, రెండు వైపులా 12 జోడించండి:

2. 

   
   
   రెండు సమీకరణాల కుడి వైపులను సమానంగా చేయండి. మేము రెండు పంక్తులు ఒకే x, y కోఆర్డినేట్ కలిగి ఉన్న పాయింట్ కోసం చూస్తున్నాము; ఇక్కడే రెండు పంక్తులు కలుస్తాయి. రెండు సమీకరణాలు ఎడమ వైపున y మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి వాటి కుడి వైపు ఒకే విధంగా ఉంటుంది. దీన్ని ప్రదర్శించడానికి కొత్త సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.
   • ఉదాహరణకి: కాబట్టి మాకు తెలుసు.

3. 

   
   
   X కోసం పరిష్కరించండి. కొత్త సమీకరణం ఒక వేరియబుల్ x మాత్రమే కలిగి ఉంది. బీజగణిత పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అంటే రెండు వైపులా ఒకే గణితాన్ని చేయడం. X తో అన్ని నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు మార్చండి, తరువాత x = __ గా మార్చండి. (మీరు చేయలేకపోతే, ఈ విభాగం చివరికి క్రిందికి స్క్రోల్ చేయండి).
   • ఉదాహరణకి:
   • రెండు వైపులా జోడించండి:
   • రెండు వైపుల నుండి 3 ను తీసివేయండి:
   • రెండు వైపులా 3 ద్వారా విభజించండి:
   • .

4. 

   
   
   Y ని కనుగొనడానికి x విలువను ఉపయోగించండి. రెండు పంక్తులలో ఒకదాని సమీకరణాన్ని ఎంచుకోండి. ఈ సమీకరణంలో కనిపించే x విలువను ప్లగ్ చేయండి. అంకగణిత పద్ధతి ద్వారా y కోసం పరిష్కరించండి.
   • ఉదాహరణకి: మరియు

5. 

   ఫలితాన్ని తనిఖీ చేయండి. మీరు అదే ఫలితాన్ని పొందుతారో లేదో చూడటానికి మీరు ఇతర సమీకరణంలోని x విలువను భర్తీ చేయాలి. మీరు వేరే y విలువను పొందినట్లయితే, మీరు మీ పనిని తప్పక తనిఖీ చేయాలి.
   • ఉదాహరణకి: మరియు
   • ఈ విధంగా మనకు y యొక్క అదే విలువ లభిస్తుంది. పరిష్కారానికి లోపాలు లేవు.

6. 

   ఖండన యొక్క x, y కోఆర్డినేట్ల జత రాయండి. మీరు ఇప్పుడు రెండు పంక్తులు కలిసే x మరియు y కోఆర్డినేట్ల జతని కనుగొన్నారు. ఈ విలువను కోఆర్డినేట్ జతలలో వ్రాయండి, x విలువ ముందు ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణకి: మరియు
   • రెండు పంక్తులు (3,6) వద్ద కలుస్తాయి.

7. 

   అసాధారణ కేసులను నిర్వహించడం. X ను కనుగొనడానికి కొన్ని సమీకరణాలను పరిష్కరించలేము. మీరు పొరపాటు చేసినందున ఇది అవసరం లేదు. పంక్తి జంటల సమీకరణాలు ఈ క్రింది రెండు సందర్భాల్లో అసాధారణమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటాయి:
   • రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే, అవి కలుస్తాయి. X అనే పదాలు అణచివేయబడతాయి మరియు సమీకరణం తప్పుడు ప్రకటనకు సరళీకృతం అవుతుంది (ఉదాహరణకు). సమాధానం "రెండు పంక్తులు కలుస్తాయి"లేదా"నిజమైన పరిష్కారం లేదు’.
   • రెండు సమీకరణాలు ఒకే రేఖను సూచిస్తే, అవి అన్ని పాయింట్ల వద్ద "కలుస్తాయి". X అనే పదాలు నాశనం చేయబడతాయి మరియు సమీకరణం నిజమైన (ఉదా) ప్రకటనకు సరళీకృతం అవుతుంది. సమాధానం "రెండు పంక్తులు అతివ్యాప్తి చెందుతాయి’.
   ప్రకటన

2 యొక్క 2 విధానం: చతురస్రాకార సమీకరణాలతో గణిత సమస్యలు

1. 

   చతురస్రాకార సమీకరణాలను గుర్తించండి. చతురస్రాకార సమీకరణంలో, ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ అధికారాలను కలిగి ఉంటాయి (లేదా), మరియు వేరియబుల్స్కు అధిక శక్తులు లేవు. ఈ సమీకరణాల ప్లాట్లు వక్రతలు, కాబట్టి అవి 0, 1, లేదా 2 పాయింట్ల వద్ద రేఖను కత్తిరించగలవు. సమస్యలో ఆ విభజనలను కనుగొనడం ద్వారా ఈ విభాగం మీకు మార్గనిర్దేశం చేస్తుంది.
   • కుండలీకరణాల నుండి సమీకరణాల విస్తరణ అవి చతురస్రాకారంగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయడానికి. ఉదాహరణకు, ఇది విస్తరించినందున చతురస్రాకార రూపాన్ని కలిగి ఉంది
   • వృత్తాలు మరియు దీర్ఘవృత్తాకారాల సమీకరణాలు ఉన్నాయి రెండు పదం మరియు. ఈ ప్రత్యేక సందర్భాలలో మీకు సమస్య ఉంటే ఈ క్రింది చిట్కాలను చూడండి.

2. 

   Y ప్రకారం సమీకరణాలను వ్రాయండి. అవసరమైతే, ప్రతి సమీకరణాన్ని మార్చండి, తద్వారా y మాత్రమే సమాన చిహ్నం యొక్క ఒక వైపు ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణకి: యొక్క ఖండనను కనుగొనండి.
   • Y పై చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయండి:
   • మరియు.
   • ఈ ఉదాహరణలో చతురస్రాకార సమీకరణం మరియు సరళ సమీకరణం ఉన్నాయి. రెండు చతురస్రాకార సమీకరణాలతో సమస్యలు అదేవిధంగా పరిష్కరించబడతాయి.

3. 

   Y ను రద్దు చేయడానికి రెండు సమీకరణాలను కలపండి. మీరు రెండు సమీకరణాలను y గా మార్చిన తరువాత, y లేని భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.
   • ఉదాహరణకి: మరియు

4. 

   క్రొత్త సమీకరణాన్ని మార్చండి, తద్వారా ఒక వైపు సున్నా అవుతుంది. అన్ని పదాలను ఒక వైపుకు మార్చడానికి బీజగణిత పద్ధతిని ఉపయోగించండి. కాబట్టి సమస్య తదుపరి దశలో పరిష్కరించడానికి సిద్ధంగా ఉంది.
   • ఉదాహరణకి:
   • X ను రెండు వైపుల నుండి తీసివేయండి:
   • రెండు వైపుల నుండి 7 ను తీసివేయండి:

5. 

   వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించండి. సున్నా సమీకరణానికి మారిన తరువాత, మీకు మూడు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి, మరియు ఏది ఎంచుకోవాలో అది మీ ఇష్టం. క్వాడ్రాటిక్ ఫార్ములా లేదా "స్క్వేర్డ్ కాంప్లిమెంట్" పద్ధతిని ఎలా ఉపయోగించాలో మీరు నేర్చుకోవచ్చు లేదా కారకం యొక్క క్రింది ఉదాహరణలను చూడండి:
   • ఉదాహరణకి:
   • కారకం యొక్క ఉద్దేశ్యం, గుణించినప్పుడు, ఒక సమీకరణాన్ని సృష్టించే రెండు కారకాలను కనుగొనడం. మొదటి పదంతో ప్రారంభించి, దీనిని x మరియు x గా కుళ్ళిపోవచ్చని మనకు తెలుసు. (X) (x) = 0 అని వ్రాయండి.
   • చివరి పదం -6. -6: ,,, మరియు గుణించినప్పుడు సమానమైన ప్రతి జత కారకాలను జాబితా చేయండి.
   • మధ్యలో ఉన్న పదం x (1x అని వ్రాయవచ్చు). మీరు 1 ఫలితాన్ని పొందే వరకు ప్రతి కారకాన్ని కలపండి. కారకాల జత సరైనది, ఎందుకంటే.
   • మీ జవాబులోని ఖాళీలలో ఈ కారకం జతను నమోదు చేయండి :.

6. 

   మనకు రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయని గమనించండి x. మీరు దీన్ని చాలా త్వరగా పరిష్కరిస్తే, మీరు ఒకే ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొంటారు మరియు రెండవ పరిష్కారం ఉందని గ్రహించలేరు. రెండు పాయింట్లను కలిసే పంక్తుల కోసం రెండు పరిష్కారాలను x ఎలా కనుగొనాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • ఉదాహరణకి (కారకాల విశ్లేషణ): చివరగా మనకు సమీకరణం ఉంది. గాని కారకం 0 అయితే సమీకరణం సంతృప్తి చెందుతుంది. ఒక పరిష్కారం. ఇతర పరిష్కారం is.
   • ఉదాహరణకి (స్క్వేర్ రూట్ ఫార్ములా లేదా స్క్వేర్డ్ కాంప్లిమెంట్): సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మీరు ఈ మార్గాల్లో దేనినైనా ఉపయోగిస్తే, స్క్వేర్ రూట్ గుర్తు కనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమీకరణం అవుతుంది. స్క్వేర్ రూట్ సంఖ్యను రెండు వేర్వేరు పరిష్కారాలుగా మార్చవచ్చని గుర్తుంచుకోండి :, మరియు . ప్రతి కేసుకు రెండు సమీకరణాలను వ్రాసి సంబంధిత x కోసం పరిష్కరించండి.

7. 

   ఒక పరిష్కారం లేదా పరిష్కారం లేకుండా సమస్యలను పరిష్కరించండి. ఒక సమయంలో కలిసే రెండు పంక్తులు ఒకే ఖండనను కలిగి ఉంటాయి మరియు ఎప్పుడూ తాకని రెండు పంక్తులకు ఖండన ఉండదు. ఎలా చెప్పాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • ఒక పరిష్కారం: సమస్యను రెండు సారూప్య కారకాలుగా (x-1) (x-1) = 0) కుళ్ళిపోవచ్చు. చతురస్రాకార సూత్రాన్ని భర్తీ చేసేటప్పుడు, ఈ పదానికి మూలం ఉంటుంది. మీరు ఒక సమీకరణాన్ని మాత్రమే పరిష్కరించాలి.
   • నిజమైన పరిష్కారాలు లేవు: ఏ కారకం అవసరాన్ని తీర్చదు (మధ్యలో ఉన్న పదం ద్వారా మొత్తం). చతురస్రాకార సూత్రాన్ని భర్తీ చేసేటప్పుడు, మీకు వర్గమూలం క్రింద ప్రతికూల సంఖ్య ఉంటుంది (ఉదాహరణకు). "పరిష్కారం లేదు" అని సమాధానం రాయండి.

8. 

   X విలువలను అసలు సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మీరు ఖండన బిందువు యొక్క x విలువను కలిగి ఉన్న తరువాత, దానిని అసలు సమీకరణాలలో ఒకదానితో భర్తీ చేయండి. Y విలువను కనుగొనడానికి పరిష్కరించండి. మీకు రెండు x విలువలు ఉంటే, రెండు y విలువలకు పరిష్కరించండి.
   • ఉదాహరణకి: మేము రెండు పరిష్కారాలను కనుగొన్నాము, మరియు. రెండు పంక్తులలో ఒకదానికి సమీకరణం ఉంది. భర్తీ చేసి, ఆపై కనుగొనడానికి ప్రతి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

9. 

   పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను వ్రాయండి. ఇప్పుడు ఖండన యొక్క x మరియు y విలువలకు అనుగుణంగా మీ సమాధానాలను కోఆర్డినేట్‌లుగా రాయండి. మీకు రెండు సమాధానాలు ఉంటే, x మరియు y విలువలను జతగా వ్రాయడం గుర్తుంచుకోండి.
   • ఉదాహరణకి: బదులుగా మనకు ఉన్నప్పుడు, ఖండనకు అక్షాంశాలు ఉన్నాయి (2, 9). ఇతర పరిష్కారం యొక్క కోఆర్డినేట్లను ఇచ్చే రెండవ పరిష్కారం కోసం అదే చేయండి (-3, 4).
   ప్రకటన

సలహా

• వృత్తాలు మరియు దీర్ఘవృత్తాకారాల సమీకరణాలకు ఒక పదం ఉంది మరియు కొన్ని తరగతి. వృత్తం మరియు రేఖ యొక్క ఖండనను కనుగొనడానికి, సరళ సమీకరణంలో x కోసం పరిష్కరించండి. సర్కిల్ సమీకరణంలో x తో ద్రావణాన్ని మార్చండి మరియు మీకు పరిష్కరించడానికి సులభమైన చతురస్రం ఉంటుంది. పై పద్ధతిలో వివరించిన విధంగా ఈ సమస్యలు 0, 1 లేదా 2 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటాయి.
• వృత్తాలు మరియు పారాబొలిక్ (లేదా ఇతర చతురస్రం) 0, 1, 2, 3 లేదా 4 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటాయి. రెండు సమీకరణాలలో 2 యొక్క శక్తితో వేరియబుల్ను కనుగొనండి - x అని చెప్పండి. ఇతర సమీకరణంలో మీ పరిష్కారాన్ని పరిష్కరించండి మరియు భర్తీ చేయండి. 0, 1 లేదా 2 పరిష్కారాలను పొందడానికి y కోసం పరిష్కరించండి. X కోసం పరిష్కరించడానికి ప్రతి పరిష్కారాన్ని అసలు వర్గ సమీకరణానికి తిరిగి మార్చండి. ఈ సమీకరణాలలో ప్రతి 0, 1 లేదా 2 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.