విషయము

• దశలు
• చిట్కాలు

హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ y = N (x) / D (x) రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ N మరియు D బహుపదాలు. అటువంటి ఫంక్షన్‌ను ఖచ్చితంగా ప్లాట్ చేయడానికి, మీకు బీజగణితంపై మంచి పరిజ్ఞానం అవసరం, అవకలన గణనలతో సహా. కింది ఉదాహరణను పరిగణించండి: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

దశలు

1. 1 గ్రాఫ్ యొక్క y- ఇంటర్‌సెప్ట్‌ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, ఫంక్షన్‌లో x = 0 ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు y = 5/2 పొందండి. అందువలన, Y అక్షంతో గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన బిందువు అక్షాంశాలను కలిగి ఉంటుంది (0, 5/2).ఈ పాయింట్‌ను కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఉంచండి.
2. 2 క్షితిజ సమాంతర లక్షణాలను కనుగొనండి. అనంతం వరకు ఉండే "x" విలువలతో "y" యొక్క ప్రవర్తనను గుర్తించడానికి హారం (కాలమ్‌లో) ద్వారా అంకెను విభజించండి. మా ఉదాహరణలో, విభజన ఉంటుంది y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). "X" 17 / (8 యొక్క పెద్ద సానుకూల లేదా ప్రతికూల విలువలకుx + 4) సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది, మరియు గ్రాఫ్ ఫంక్షన్ ఇచ్చిన సరళ రేఖకు చేరుకుంటుంది y = (1/2)x - (7/4). చుక్కల రేఖను ఉపయోగించి, ఈ ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయండి.
   • న్యూమరేటర్ యొక్క డిగ్రీ హారం యొక్క డిగ్రీ కంటే తక్కువగా ఉంటే, మీరు న్యూమరేటర్‌ను హారం ద్వారా విభజించలేరు మరియు అసింప్టోట్ ఫంక్షన్ ద్వారా వివరించబడుతుంది వద్ద = 0.
   • న్యూమరేటర్ యొక్క డిగ్రీ హారం యొక్క డిగ్రీకి సమానంగా ఉంటే, అసింప్టోట్ అనేది అత్యధిక స్థాయిలో "x" వద్ద గుణకాల నిష్పత్తికి సమానమైన క్షితిజ సమాంతర రేఖ.
   • న్యూమరేటర్ యొక్క డిగ్రీ హారం యొక్క డిగ్రీ కంటే 1 ఎక్కువగా ఉంటే, అసింప్టోట్ వంపుతిరిగిన సరళ రేఖ, దీని వాలు "x" వద్ద అత్యధిక స్థాయికి గుణకాల నిష్పత్తికి సమానం.
   • న్యూమినేటర్ యొక్క డిగ్రీ 2, 3, మొదలైన హారం యొక్క డిగ్రీ కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు పెద్ద విలువలకు |NS| అర్థం వద్ద ఒక చతురస్రం, క్యూబిక్ లేదా బహుపది యొక్క ఇతర డిగ్రీ రూపంలో అనంతం (సానుకూల లేదా ప్రతికూల) గా ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, ఎక్కువగా, మీరు న్యూమినేటర్‌ను హారం ద్వారా విభజించడం ద్వారా పొందిన ఫంక్షన్ యొక్క ఖచ్చితమైన గ్రాఫ్‌ను నిర్మించాల్సిన అవసరం లేదు.
3. 3 ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి. ఒక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ సున్నాలను కలిగి ఉంటుంది, దాని సంఖ్య సున్నా అయినప్పుడు, N (NS) = 0. మా ఉదాహరణలో, 2x - 6x + 5 = 0. ఈ వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్షత: బి - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉన్నందున, అప్పుడు N (NS), అందుకే F (NS) అసలు మూలాలు లేవు. ఒక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ X- అక్షాన్ని విచ్ఛిన్నం చేయదు. ఫంక్షన్‌లో సున్నాలు (మూలాలు) ఉంటే, వాటిని సమన్వయ విమానంలో ఉంచండి.
4. 4 నిలువు లక్షణాలను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, హారం సున్నాకి సెట్ చేయండి. మా ఉదాహరణలో, 4x + 2 = 0 మరియు NS = -1/2. చుక్కల రేఖను ఉపయోగించి నిలువు అసింప్టోట్‌ను ప్లాట్ చేయండి. కొంత విలువ కోసం అయితే NS N (NS) = 0 మరియు D (NS) 0
5. 5 హారం ద్వారా విభజించబడిన మిగిలిన సంఖ్యను చూడండి. ఇది పాజిటివ్, నెగటివ్ లేదా సున్నా? మా ఉదాహరణలో, మిగిలినది 17, ఇది పాజిటివ్. హారం 4x నిలువు అసింప్టోట్ యొక్క కుడి వైపున + 2 పాజిటివ్ మరియు దాని ఎడమవైపు ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. దీని అర్థం పెద్ద సానుకూల విలువలకు హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ NS ఎగువ నుండి మరియు పెద్ద ప్రతికూల విలువల కోసం అసింప్టోట్‌ను చేరుతుంది NS - కింద నుంచి. 17 / (8 నుండిx + 4) ఎప్పుడూ సున్నాకి సమానం కాదు, అప్పుడు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఫంక్షన్ ద్వారా పేర్కొన్న సరళ రేఖను ఎన్నటికీ కలుసుకోదు వద్ద = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 స్థానిక తీవ్రతను కనుగొనండి. N 'కోసం స్థానిక ఎక్స్ట్రీమ్ ఉంది (x) డి (x) - ఎన్ (x) డి '(x) = 0. మా ఉదాహరణలో, N '(x) = 4x - 6 మరియు D '(x) = 4. N '(x) డి (x) - ఎన్ (x) డి '(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మీరు దాన్ని కనుగొంటారు x = 3/2 మరియు x = -5/2. (ఇవి పూర్తిగా ఖచ్చితమైన విలువలు కావు, కానీ సూపర్ ప్రిసిషన్ అవసరం లేనప్పుడు అవి మా విషయంలో అనుకూలంగా ఉంటాయి.)
7. 7 విలువను కనుగొనండి వద్ద ప్రతి స్థానిక అంత్య భాగాల కోసం. దీన్ని చేయడానికి, విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి NS అసలు హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్‌లోకి. మా ఉదాహరణలో, f (3/2) = 1/16 మరియు f (-5/2) = -65/16. కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పాయింట్లను (3/2, 1/16) మరియు (-5/2, -65/16) పక్కన పెట్టండి. లెక్కలు సుమారు విలువలపై ఆధారపడి ఉంటాయి (మునుపటి దశ నుండి), కనిష్ట మరియు గరిష్టంగా కనుగొనబడినవి కూడా పూర్తిగా ఖచ్చితమైనవి కావు (కానీ ఖచ్చితమైన విలువలకు చాలా దగ్గరగా ఉండవచ్చు). (పాయింట్ (3/2, 1/16) లోకల్ మినిమమ్‌కు చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది. స్టెప్ 3 నుండి మొదలుపెడితే, అది మాకు తెలుసు వద్ద ఎల్లప్పుడూ అనుకూలంగా ఉంటుంది NS> -1/2, మరియు మేము ఒక చిన్న విలువను కనుగొన్నాము (1/16); అందువల్ల, ఈ సందర్భంలో లోపం విలువ చాలా తక్కువగా ఉంటుంది.)
8. 8 పెండింగ్ పాయింట్‌లను కనెక్ట్ చేయండి మరియు అసింప్టోట్‌లకు గ్రాఫ్‌ను సజావుగా పొడిగించండి (అసింప్టోస్‌కు చేరుకున్న గ్రాఫ్ సరైన దిశ గురించి మర్చిపోవద్దు). గ్రాఫ్ X- అక్షాన్ని దాటకూడదని గుర్తుంచుకోండి (దశ 3 చూడండి). గ్రాఫ్ క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు అసింప్టోట్‌లతో కూడదు (దశ 5 చూడండి). మునుపటి దశలో కనిపించే తీవ్రమైన పాయింట్లు మినహా చార్ట్ దిశను మార్చవద్దు.

చిట్కాలు

• మీరు పైన పేర్కొన్న దశలను ఖచ్చితంగా క్రమంలో అనుసరించినట్లయితే, మీ పరిష్కారాన్ని పరీక్షించడానికి రెండవ ఉత్పన్నాలను (లేదా ఇలాంటి సంక్లిష్ట పరిమాణాలను) లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు.
• మీరు పరిమాణాల విలువలను లెక్కించాల్సిన అవసరం లేకపోతే, కొన్ని అదనపు జత కోఆర్డినేట్‌లను లెక్కించడం ద్వారా మీరు స్థానిక ఎక్స్ట్రీమాను కనుగొనడాన్ని భర్తీ చేయవచ్చు (NS, వద్ద) ప్రతి జత లక్షణాల మధ్య. అంతేకాక, వివరించిన పద్ధతి ఎలా పనిచేస్తుందో మీరు పట్టించుకోకపోతే, మీరు ఉత్పన్నం కనుగొని N 'సమీకరణాన్ని ఎందుకు పరిష్కరించలేరని ఆశ్చర్యపోకండి.x) డి (x) - ఎన్ (x) డి '(x) = 0.
• కొన్ని సందర్భాల్లో, మీరు అధిక ఆర్డర్ బహుపదిలతో పని చేయాల్సి ఉంటుంది. కారకం, సూత్రాలు మొదలైన వాటిని ఉపయోగించి మీరు ఖచ్చితమైన పరిష్కారాన్ని కనుగొనలేకపోతే, న్యూటన్ పద్ధతి వంటి సంఖ్యా పద్ధతులను ఉపయోగించి సాధ్యమయ్యే పరిష్కారాలను అంచనా వేయండి.
• అరుదైన సందర్భాల్లో, న్యూమరేటర్ మరియు హారం సాధారణ వేరియబుల్ కారకాన్ని పంచుకుంటాయి. వివరించిన దశల ప్రకారం, ఇది ఒకే స్థలంలో సున్నా మరియు నిలువు అసింప్టోట్‌కు దారి తీస్తుంది. అయితే, ఇది సాధ్యం కాదు, మరియు వివరణ కింది వాటిలో ఒకటి:
  • N లో సున్నా (NSD లో సున్నా కంటే ఎక్కువ గుణకారం ఉంది (NS). గ్రాఫ్ ఎఫ్ (NS) ఈ సమయంలో సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది, కానీ అక్కడ నిర్వచించబడలేదు. పాయింట్ చుట్టూ వృత్తం గీయడం ద్వారా దీనిని సూచించండి.
  • N లో సున్నా (NS) మరియు D లో సున్నా (NS) అదే గుణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. గ్రాఫ్ ఈ విలువ వద్ద కొంత సున్నా కాని పాయింట్‌కి చేరుకుంటుంది NSకానీ అందులో నిర్వచించబడలేదు. పాయింట్ చుట్టూ వృత్తం గీయడం ద్వారా దీనిని సూచించండి.
  • N లో సున్నా (NSD లో సున్నా కంటే తక్కువ గుణకారం ఉంది (NS). ఇక్కడ నిలువు అసింప్టోట్ ఉంది.