విషయము

• దశలు
• 2 వ భాగం 1: ప్రధాన కారకాలను కనుగొనడం
• 2 వ భాగం 2: ప్రధాన కారకాలను ఉపయోగించడం
• విధుల ఉదాహరణలు
• చిట్కాలు
• హెచ్చరికలు

ఏదైనా సహజ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాల ఉత్పత్తిగా విడదీయవచ్చు. 5733 వంటి పెద్ద సంఖ్యలతో వ్యవహరించడం మీకు నచ్చకపోతే, వాటిని ఎలా గుర్తించాలో తెలుసుకోండి (ఈ సందర్భంలో, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). సమాచార భద్రతా సమస్యలతో వ్యవహరించే క్రిప్టోగ్రఫీలో ఇలాంటి పని తరచుగా ఎదురవుతుంది. మీ స్వంత సురక్షిత ఇమెయిల్ వ్యవస్థను నిర్మించడానికి మీరు ఇంకా సిద్ధంగా లేకుంటే, ముందుగా సంఖ్యలను ఎలా గుర్తించాలో తెలుసుకోండి.

దశలు

2 వ భాగం 1: ప్రధాన కారకాలను కనుగొనడం

1. 1 కారకం అంటే ఏమిటో తెలుసుకోండి. కారకాల ఉత్పత్తిలో ఒక సంఖ్యను కుళ్ళిపోవడం అనేది చిన్న భాగాలుగా "విడిపోయే" ప్రక్రియ.గుణించినప్పుడు, ఈ భాగాలు లేదా కారకాలు అసలు సంఖ్యను ఇస్తాయి.
   • ఉదాహరణకు, 18 వ సంఖ్యను కింది ఉత్పత్తులలో విడదీయవచ్చు: 1 x 18, 2 x 9, లేదా 3 x 6.
2. 2 ప్రధాన సంఖ్యలు ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి. ఒక ప్రధాన సంఖ్య శేషం లేకుండా కేవలం రెండు సంఖ్యల ద్వారా భాగించబడుతుంది: దాని ద్వారా మరియు 1. ఉదాహరణకు, 5 సంఖ్యను 5 మరియు 1 యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చు. ఈ సంఖ్యను ఇతర కారకాలుగా విడదీయలేము. సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చడం యొక్క ఉద్దేశ్యం, దానిని ప్రధాన సంఖ్యల ఉత్పత్తిగా సూచించడం. భిన్నాలతో వ్యవహరించేటప్పుడు ఇది ప్రత్యేకంగా ఉపయోగపడుతుంది, ఎందుకంటే మీరు వాటిని సరిపోల్చడానికి మరియు సరళీకృతం చేయడానికి అనుమతిస్తుంది.
3. 3 అసలు సంఖ్యతో ప్రారంభించండి. 3. కంటే ఎక్కువ మిశ్రమ సంఖ్యను ఎంచుకోండి. అది ఒక ప్రధాన సంఖ్యను తీసుకోవడంలో అర్ధమే లేదు, ఎందుకంటే అది దాని ద్వారా మరియు ఒకదాని ద్వారా మాత్రమే విభజించబడుతుంది.
   • ఉదాహరణ: 24 సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల ఉత్పత్తిగా విడదీద్దాం.
4. 4 ఈ సంఖ్యను రెండు కారకాల ఉత్పత్తిగా విభజిద్దాం. అసలు సంఖ్యతో సమానమైన రెండు చిన్న సంఖ్యలను కనుగొనండి. ఏదైనా కారకాన్ని ఉపయోగించవచ్చు, కానీ ప్రధాన సంఖ్యలను తీసుకోవడం సులభం. ఒక మంచి మార్గం ఏమిటంటే, అసలైన సంఖ్యను ముందుగా 2, తరువాత 3, తర్వాత 5 ద్వారా విభజించి, ఈ ప్రైమ్‌లలో ఏ భాగాన్ని శేషం లేకుండా విభజిస్తారో తనిఖీ చేయండి.
   • ఉదాహరణ: 24 కోసం కారకాలు మీకు తెలియకపోతే, దానిని చిన్న ప్రైమ్‌ల ద్వారా విభజించడానికి ప్రయత్నించండి. కాబట్టి మీరు ఇచ్చిన సంఖ్యను 2: 24 = ద్వారా భాగించగలరని మీరు కనుగొంటారు 2 x 12... ఇది మంచి ప్రారంభం.
   • 2 ఒక ప్రధాన సంఖ్య కాబట్టి, సరి సంఖ్యలను ఫ్యాక్టరింగ్ చేసేటప్పుడు దాన్ని ఉపయోగించడం మంచిది.
5. 5 గుణకం చెట్టును నిర్మించడం ప్రారంభించండి. ఈ సరళమైన విధానం మీకు సంఖ్యను గుర్తించడంలో సహాయపడుతుంది. ప్రారంభించడానికి, అసలు సంఖ్య నుండి రెండు "శాఖలు" క్రిందికి గీయండి. ప్రతి శాఖ ముగింపులో, కనుగొన్న కారకాలను వ్రాయండి.
   • ఉదాహరణ:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 తదుపరి వరుస సంఖ్యల కారకం. రెండు కొత్త సంఖ్యలను చూడండి (గుణకం చెట్టు రెండవ వరుస). అవి రెండూ ప్రధాన సంఖ్యలు కావా? వాటిలో ఒకటి సరళమైనది కాకపోతే, దానిని రెండు కారకాల ద్వారా కూడా గుర్తించండి. చెట్టు యొక్క మూడవ పంక్తిలో మరో రెండు శాఖలను తయారు చేసి, రెండు కొత్త కారకాలను రాయండి.
   • ఉదాహరణ: 12 ఒక ప్రధాన సంఖ్య కాదు, కనుక ఇది కారకం చేయాలి. 12 = 2 x 6 కుళ్ళిపోవడాన్ని ఉపయోగించండి మరియు చెట్టు యొక్క మూడవ పంక్తిలో వ్రాయండి:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 చెట్టు కిందికి వెళ్లండి. కొత్త కారకాల్లో ఒకటి ప్రధాన సంఖ్యగా మారితే, దాని నుండి ఒక "శాఖ" గీయండి మరియు దాని చివర అదే సంఖ్యను రాయండి. ప్రధాన సంఖ్యలను చిన్న కారకాలుగా విస్తరించలేము, కనుక వాటిని ఒక స్థాయికి తగ్గించండి.
   • ఉదాహరణ: 2 ప్రధానమైనది. 2 ను రెండవ నుండి మూడవ పంక్తికి తరలించండి:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 మీకు ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే మిగిలిపోయే వరకు సంఖ్యలను ఫ్యాక్టరింగ్ చేయడం కొనసాగించండి. చెట్టు యొక్క ప్రతి కొత్త పంక్తిని తనిఖీ చేయండి. కొత్త కారకాలలో కనీసం ఒకటి ప్రధాన సంఖ్య కాకపోతే, దాన్ని గుర్తించి, కొత్త లైన్ రాయండి. చివరికి, మీకు ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే మిగిలిపోతాయి.
   • ఉదాహరణ: 6 ఒక ప్రధాన సంఖ్య కాదు, కనుక ఇది కూడా కారకం చేయాలి. అదే సమయంలో, 2 ఒక ప్రధాన సంఖ్య, మరియు మేము రెండు రెండింటిని తదుపరి స్థాయికి తీసుకువెళతాము:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 ప్రధాన కారకాల ఉత్పత్తిగా చివరి పంక్తిని వ్రాయండి. చివరికి, మీకు ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే మిగిలిపోతాయి. ఇది జరిగినప్పుడు, ప్రధాన కారకం పూర్తవుతుంది. చివరి పంక్తి ప్రైమ్‌ల సమితి, దీని ఉత్పత్తి అసలు సంఖ్యను ఇస్తుంది.
   • మీ సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయండి: చివరి పంక్తిలోని సంఖ్యలను గుణించండి. ఫలితం అసలు సంఖ్యగా ఉండాలి.
   • ఉదాహరణ: ఫ్యాక్టర్ ట్రీ యొక్క చివరి వరుసలో సంఖ్యలు 2 మరియు 3. ఈ రెండు సంఖ్యలు ప్రధానమైనవి, కాబట్టి కుళ్ళిపోవడం పూర్తయింది. అందువలన, 24 యొక్క ప్రధాన కారకం కింది రూపాన్ని కలిగి ఉంది: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • కారకాల క్రమం పట్టింపు లేదు. కుళ్ళిపోవడాన్ని 2 x 3 x 2 x 2 అని కూడా వ్రాయవచ్చు.
10. 10 కావాలనుకుంటే ఘాతాంక సంజ్ఞామానం ఉపయోగించి మీ సమాధానాన్ని సరళీకృతం చేయండి. సంఖ్యల ఘాతాంకరణ మీకు తెలిసినట్లయితే, మీరు సమాధానాన్ని సరళమైన రూపంలో వ్రాయవచ్చు.బేస్ దిగువన వ్రాయబడిందని గుర్తుంచుకోండి మరియు సూపర్‌స్క్రిప్ట్ సంఖ్య ఈ బేస్ ఎన్నిసార్లు గుణించాలి అని సూచిస్తుంది.
    • ఉదాహరణ: దొరికిన కుళ్ళిన 2 x 2 x 2 x 3 లో సంఖ్య 2 ఎన్ని సార్లు వస్తుంది? మూడు సార్లు, కాబట్టి వ్యక్తీకరణ 2 x 2 x 2 అని వ్రాయవచ్చు 2. సరళీకృత సంజ్ఞామానం లో, మనకు లభిస్తుంది 2 x 3.

2 వ భాగం 2: ప్రధాన కారకాలను ఉపయోగించడం

1. 1 రెండు సంఖ్యల గొప్ప సాధారణ భాగాన్ని కనుగొనండి. రెండు సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన (GCD) గరిష్ట సంఖ్య, దీని ద్వారా రెండు సంఖ్యలు మిగిలినవి లేకుండా విభజించబడతాయి. దిగువ ఉదాహరణ 30 మరియు 36 యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగాన్ని కనుగొనడానికి ప్రధాన కారకాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో చూపుతుంది.
   • రెండు సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా చూద్దాం. 30 కొరకు, కారకం 2 x 3 x 5. సంఖ్య 36 ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోయింది: 2 x 2 x 3 x 3.
   • రెండు విస్తరణలలో సంభవించే సంఖ్యను తెలుసుకుందాం. రెండు జాబితాలలో ఈ సంఖ్యను దాటి కొత్త పంక్తిలో వ్రాద్దాం. ఉదాహరణకు, 2 రెండు విస్తరణలలో సంభవిస్తుంది, కాబట్టి మేము వ్రాస్తాము 2 కొత్త లైన్‌లో. ఆ తరువాత, మాకు 30 = ఉంది 2 x 3 x 5 మరియు 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • విస్తరణలలో సాధారణ కారకాలు మిగిలిపోయే వరకు ఈ దశను పునరావృతం చేయండి. రెండు జాబితాలలో 3 సంఖ్య కూడా ఉంది, కాబట్టి మీరు కొత్త లైన్‌లో వ్రాయవచ్చు 2 మరియు 3... అప్పుడు విస్తరణలను మళ్లీ సరిపోల్చండి: 30 = 2 x 3 x 5 మరియు 36 = 2 x 2 x 3 x 3. మీరు గమనిస్తే, వాటిలో సాధారణ కారకాలు ఏవీ లేవు.
   • గొప్ప సాధారణ కారకాన్ని కనుగొనడానికి, అన్ని సాధారణ కారకాల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. మా ఉదాహరణలో, ఇవి 2 మరియు 3, కాబట్టి gcd 2 x 3 = 6... 30 మరియు 36 సంఖ్యలను సమానంగా విభజించే అతిపెద్ద సంఖ్య ఇది.
2. 2 GCD సహాయంతో, మీరు భిన్నాలను సరళీకృతం చేయవచ్చు. ఒక భాగాన్ని రద్దు చేయవచ్చని మీరు అనుమానించినట్లయితే, గొప్ప సాధారణ కారకాన్ని ఉపయోగించండి. పై విధానాన్ని ఉపయోగించి న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క GCD ని కనుగొనండి. అప్పుడు భిన్నం యొక్క సంఖ్య మరియు హారం ఆ సంఖ్యతో భాగించండి. ఫలితంగా, మీరు అదే భిన్నాన్ని సరళమైన రూపంలో పొందుతారు.
   • ఉదాహరణకు, భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేద్దాం /₃₆... మేము పైన పేర్కొన్నట్లుగా, 30 మరియు 36 కోసం, GCD 6, కాబట్టి మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం 6 ద్వారా విభజిస్తాము:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి. రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) అనేది రెండు సంఖ్యల ద్వారా సమానంగా విభజించబడే అతి చిన్న సంఖ్య. ఉదాహరణకు, 2 మరియు 3 యొక్క LCM 6 ఎందుకంటే ఇది 2 మరియు 3 ద్వారా భాగించగల అతిచిన్న సంఖ్య. ప్రైమ్ ఫ్యాక్టరైజేషన్ ఉపయోగించి LCM ను కనుగొనడానికి దిగువ ఒక ఉదాహరణ:
   • రెండు ప్రధాన కారకాలతో ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకు, 126 కొరకు, కారకం 2 x 3 x 3 x 7. అని వ్రాయవచ్చు. 84 సంఖ్యను 2 x 2 x 3 x 7 వంటి ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయవచ్చు.
   • విస్తరణలో ప్రతి కారకం ఎన్నిసార్లు సంభవిస్తుందో పోల్చి చూద్దాం. గుణకం గరిష్ట సంఖ్యలో సంభవించే జాబితాను ఎంచుకోండి మరియు ఈ స్థలాన్ని సర్కిల్ చేయండి. ఉదాహరణకు, 126 కోసం విస్తరణలో ఒకసారి మరియు 84 కొరకు జాబితాలో రెండుసార్లు సంఖ్య 2 కనిపిస్తుంది, కాబట్టి మీరు సర్కిల్ చేయాలి 2 x 2 కారకాల రెండవ జాబితాలో.
   • ప్రతి గుణకం కోసం ఈ దశను పునరావృతం చేయండి. ఉదాహరణకు, మొదటి విస్తరణలో 3 సర్వసాధారణం, కాబట్టి మీరు దానిలో సర్కిల్ చేయాలి 3 x 3... రెండు జాబితాలలో 7 సంఖ్య ఒకసారి కనిపిస్తుంది, కాబట్టి మేము సర్కిల్ చేస్తాము 7 (ఏ జాబితాలో ఉన్నా, ఇవ్వబడిన కారకం రెండు జాబితాలలో ఒకేసారి ఎన్నిసార్లు సంభవించినా ఫర్వాలేదు).
   • LCM ను కనుగొనడానికి, సర్కిల్ చేయబడిన అన్ని సంఖ్యలను గుణించండి. మా ఉదాహరణలో, 126 మరియు 84 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... మిగిలిన సంఖ్య లేకుండా 126 మరియు 84 ద్వారా భాగించబడే అతి చిన్న సంఖ్య ఇది.
4. 4 భిన్నాలను జోడించడం కోసం LCM ఉపయోగించండి. రెండు భిన్నాలను జోడించినప్పుడు, వాటిని ఒక సాధారణ హారం వద్దకు తీసుకురావడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, రెండు హారం యొక్క LCM ని కనుగొనండి. అప్పుడు ప్రతి భిన్నం యొక్క అంకె మరియు హారం అంత సంఖ్యతో గుణించాలి, తద్వారా భిన్నాల హారం LCM కి సమానం. ఆ తరువాత, మీరు భిన్నాలను జోడించవచ్చు.
   • ఉదాహరణకు, మీరు మొత్తాన్ని కనుగొనాలి /₆ + /₂₁.
   • పై పద్ధతిని ఉపయోగించి, మీరు 6 మరియు 21 కోసం LCM ని కనుగొనవచ్చు. ఇది 42.
   • మేము భిన్నాన్ని మారుస్తాము /₆ కాబట్టి దాని హారం 42. దీన్ని చేయడానికి, మీరు 42 ని 6: 42 ÷ 6 = 7. ద్వారా విభజించాలి₆ x /₇ = /₄₂.
   • హారం 42 కి రెండవ భాగాన్ని తీసుకురావడానికి, 42 ని 21: 42 divide 21 = 2. ద్వారా భాగించండి.₂₁ x /₂ = /₄₂.
   • భిన్నాలను ఒకే హారం తగ్గించిన తర్వాత, వాటిని సులభంగా జోడించవచ్చు: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

విధుల ఉదాహరణలు

• దిగువ సమస్యలను మీరే పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి.మీరు సరైన సమాధానం అందుకున్నారని భావిస్తే, సమస్య ప్రకటనలో పెద్దప్రేగు తర్వాత ఉన్న ప్రదేశాన్ని ఎలుకతో హైలైట్ చేయండి. తరువాతి పనులు చాలా కష్టం.
• 16: 2 x 2 x 2 x 2 కోసం ప్రధాన కారకాన్ని కనుగొనండి
• మీ సమాధానాన్ని ఘాతాంక రూపంలో వ్రాయండి: 2
• 45: 3 x 3 x 5 యొక్క ప్రధాన కారకాన్ని కనుగొనండి
• మీ సమాధానాన్ని ఘాతాంక రూపంలో వ్రాయండి: 3 x 5
• 34: 2 x 17 కోసం ప్రధాన కారకాన్ని కనుగొనండి
• 154: 2 x 7 x 11 యొక్క ప్రధాన కారకాన్ని కనుగొనండి
• 8 మరియు 40 కోసం ప్రధాన కారకాన్ని కనుగొనండి, ఆపై వాటి గొప్ప సాధారణ కారకాన్ని గుర్తించండి: 8 యొక్క ప్రధాన కారకం 2 x 2 x 2 x 2; 40 యొక్క ప్రధాన కారకం 2 x 2 x 2 x 5; రెండు సంఖ్యల GCD 2 x 2 x 2 = 6.
• 18 మరియు 52 కోసం ప్రధాన కారకాన్ని కనుగొని, వాటి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి: 18 యొక్క ప్రధాన కారకం 2 x 3 x 3; 52 యొక్క ప్రధాన కారకం 2 x 2 x 13; రెండు సంఖ్యల LCM 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

చిట్కాలు

• ప్రతి సంఖ్యకు దాని ప్రత్యేక కారకాల లక్షణం ఉంటుంది. మీరు ఈ విస్తరణను ఎలా కనుగొన్నారనేది పట్టింపు లేదు, మీరు అదే సమాధానంతో ముగించాలి. దీనిని అంకగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం అంటారు.
• ప్రతిసారీ ఫ్యాక్టర్ ట్రీ యొక్క కొత్త లైన్‌లో ప్రైమ్ నంబర్‌లను తిరిగి వ్రాయడానికి బదులుగా, మీరు వాటిని అలాగే ఉంచవచ్చు మరియు వాటిని సర్కిల్ చేయవచ్చు. విస్తరణ ముగింపులో, ఇది అన్ని వృత్తాకార ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉంటుంది.
• మీరు అందుకున్న సమాధానాన్ని ఎల్లప్పుడూ చెక్ చేయండి. మీరు పొరపాటు చేయవచ్చు మరియు దానిని గమనించలేరు.
• గమ్మత్తైన మిషన్ల కోసం సిద్ధంగా ఉండండి. ఒక ప్రధాన సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారకాన్ని కనుగొనమని మిమ్మల్ని అడిగితే, ఏ లెక్కలు చేయవలసిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 17 కోసం, ప్రధాన కారకం 17; ఈ సంఖ్యను ఇతర ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయలేము.
• గొప్ప సాధారణ కారకం మరియు తక్కువ సాధారణ గుణకం మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల కోసం కనుగొనవచ్చు.

హెచ్చరికలు

• గుణకం చెట్టు మీరు ప్రధాన కారకాలను మాత్రమే గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది, అన్ని సాధ్యమైన కారకాలు కాదు.