విషయము

• దశలు
• పార్ట్ 1 ఆఫ్ 2: రేడియన్‌లలో కోణాలు
• పార్ట్ 2 ఆఫ్ 2: x-y కోఆర్డినేట్స్ (కొసైన్, సైన్)
• చిట్కాలు

యూనిట్ సర్కిల్ త్రికోణమితి మరియు జ్యామితిలో మాత్రమే కాకుండా, గణితంలోని ఇతర శాఖలలో కూడా ఉపయోగించబడుతుంది. మొదటి చూపులో, దానిపై ఉన్న ఏకవచన అంశాలను గుర్తుంచుకోవడం చాలా కష్టం, కానీ మీరు ప్రాథమిక సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకుంటే, మీరు సులభంగా యూనిట్ సర్కిల్‌ని ఉపయోగించవచ్చు.

దశలు

పార్ట్ 1 ఆఫ్ 2: రేడియన్‌లలో కోణాలు

1. 1 రెండు లంబ రేఖలను గీయండి. పెద్ద కాగితపు ముక్క మరియు పాలకుడిని తీసుకొని నిలువు మరియు క్షితిజ సమాంతర రేఖలను గీయండి. ఈ రేఖల ఖండన స్థానం షీట్ మధ్యలో సుమారుగా ఉండాలి. ఇవి గొడ్డళ్లు x మరియు y.
2. 2 ఒక వృత్తం గీయండి. ఒక దిక్సూచి తీసుకోండి, దాని సూదిని రేఖల ఖండన వద్ద ఉంచండి మరియు పెద్ద వృత్తాన్ని గీయండి.
3. 3 రేడియన్ కాన్సెప్ట్‌తో పరిచయం పొందండి. రేడియన్ అనేది కోణాల కొలత యూనిట్. నిర్వచనం ప్రకారం, యూనిట్ యొక్క చుట్టుకొలత వద్ద ఒక రేడియన్ కోణం కత్తిరించబడుతుంది వ్యాసార్థం యూనిట్ పొడవు యొక్క ఆర్క్. ఈ విభాగం అంతటా, రేడియన్‌లలో వాటి సంబంధిత విలువలతో పాయింట్లు సూచించబడతాయి. మీరు ఒక వృత్తం చుట్టుకొలత మరియు దాని వ్యాసార్థం మధ్య సంబంధాన్ని గుర్తుంచుకుంటే, మీరు వాటిని మరచిపోయినప్పటికీ, ఈ విలువలను యూనిట్ సర్కిల్ వెంట సులభంగా గుర్తించవచ్చు.
   • యూనిట్ సర్కిల్ వెంట కోణాలను కొలిచేటప్పుడు, కోఆర్డినేట్‌లతో (0; 1) ఉన్న పాయింట్ ఎల్లప్పుడూ ప్రారంభ బిందువుగా తీసుకోబడుతుంది. స్పష్టత కోసం, మీరు యూనిట్ వృత్తాన్ని గాలి గులాబీ రూపంలో ఊహించవచ్చు, అప్పుడు సూచన స్థానం తూర్పు దిశకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.
4. 4 యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క మొత్తం పొడవు 2π అని గుర్తుంచుకోండి. చుట్టుకొలత 2πఆర్, ఎక్కడ ఆర్ - దాని వ్యాసార్థం. యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థం 1 కాబట్టి, దాని పొడవు 2π. ఇక్కడ నుండి, మీరు వృత్తం యొక్క ప్రతి బిందువు కోసం రేడియన్‌లలో విలువను కనుగొనవచ్చు: కేవలం 2π తీసుకొని ఈ బిందువుకు సంబంధించిన వృత్తం యొక్క భాగాన్ని విభజించండి. యూనిట్ సర్కిల్‌లోని ప్రతి పాయింట్ వద్ద విలువలను తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నించడం కంటే ఇది చాలా సులభం.
5. 5 అక్షాలపై నాలుగు పాయింట్లను గుర్తించండి x మరియు y. ఈ పాయింట్లు వృత్తాన్ని నాలుగు క్వాడ్రంట్‌లుగా (క్వార్టర్స్) విభజిస్తాయి:
   • "తూర్పు" అనేది రిఫరెన్స్ పాయింట్, కనుక ఇది దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది 0 రేడియన్లు;
   • "ఉత్తరం" = ¼ వృత్తం = /₄ = /₂ రేడియన్లు;
   • "పడమర" = సగం వృత్తం = /₂ = π రేడియన్లు;
   • "దక్షిణ" = వృత్తంలో మూడు వంతులు = 2π * ¾ = /₂ రేడియన్లు;
   • మొత్తం వృత్తాన్ని దాటిన తర్వాత, మేము ప్రారంభ స్థానానికి తిరిగి వెళ్తాము, కాబట్టి 0 తో పాటుగా విలువను కేటాయించవచ్చు 2π.
6. 6 వృత్తాన్ని ఎనిమిది భాగాలుగా విభజించండి. ప్రతి చతుర్భుజం మధ్యలో సరళ రేఖలను గీయండి, తద్వారా అవి సగానికి తగ్గుతాయి. వృత్తంతో పంక్తుల ఖండన బిందువుల కోసం, మేము రేడియన్‌లలో ఈ క్రింది విలువలను పొందుతాము:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (పాయింట్లు π / 2, π, 3π / 2 మరియు 2π ఇప్పటికే గుర్తించబడ్డాయి).
7. 7 వృత్తాన్ని ఆరు భాగాలుగా విభజించండి. వృత్తాన్ని ఆరు భాగాలుగా విభజించే అదనపు గీతలను గీయండి. దీని కోసం మీరు ప్రొట్రాక్టర్‌ను ఉపయోగించవచ్చు: అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ నుండి ప్రారంభించండి x మరియు 60 డిగ్రీల కోణాలను పక్కన పెట్టండి. పైన వివరించిన పద్ధతిని ఉపయోగించి, వృత్తం యొక్క ఆరవ భాగం / అని నిర్ధారించడం సులభం₆ = /₃ రేడియన్లు. ఇప్పుడు మనం కొత్త పంక్తుల ఖండన బిందువులను వృత్తంతో గుర్తించగలము (ప్రతి చతుర్భుజంలో ఒకటి):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (π మరియు 2π విలువలు ఇప్పటికే గుర్తించబడ్డాయి).
8. 8 వృత్తాన్ని 12 భాగాలుగా విభజించే గీతలు గీయండి. యూనిట్ సర్కిల్‌ను 12 సమాన భాగాలుగా విభజించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. ఈ పాయింట్లలో, నాలుగు మాత్రమే గతంలో గుర్తించబడలేదు:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

పార్ట్ 2 ఆఫ్ 2: x-y కోఆర్డినేట్స్ (కొసైన్, సైన్)

1. 1 సైన్ మరియు కొసైన్ భావనలతో సుపరిచితులుగా మారండి. లంబ కోణ త్రిభుజాలతో పని చేయడానికి యూనిట్ సర్కిల్ చాలా బాగుంది. కోఆర్డినేట్లు x వృత్తంలో ఉండే పాయింట్లు cos (θ) మరియు కోఆర్డినేట్‌లకు సమానం y పాపం (θ) కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఇక్కడ θ అనేది కోణం.
   • ఈ నియమాన్ని గుర్తుంచుకోవడం మీకు కష్టంగా అనిపిస్తే, జంటలో (cos; sin) "సైన్ చివరి స్థానంలో ఉంది" అని గుర్తుంచుకోండి.
   • లంబ కోణ త్రిభుజాలు మరియు ఈ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నిర్వచనం (కోణం యొక్క సైన్ వ్యతిరేక పొడవు యొక్క నిష్పత్తికి సమానం, మరియు కొసైన్ అనేది హైపోటెన్యూస్‌కు ప్రక్కనే ఉన్న కాలు) పరిగణనలోకి తీసుకుంటే ఈ నియమం తీసివేయబడుతుంది.
2. 2 సర్కిల్‌లోని నాలుగు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను వ్రాయండి. "యూనిట్ సర్కిల్" అనేది ఒక వృత్తం, దీని వ్యాసార్థం ఒకటికి సమానం. కోఆర్డినేట్‌లను గుర్తించడానికి దీనిని ఉపయోగించండి x మరియు y వృత్తంతో సమన్వయ అక్షాల ఖండన యొక్క నాలుగు పాయింట్ల వద్ద. పైన, మేము ఈ పాయింట్లను స్పష్టత కోసం "తూర్పు", "ఉత్తరం", "పడమర" మరియు "దక్షిణ" గా నియమించాము, అయినప్పటికీ వాటికి స్థిర పేరు లేదు.
   • "తూర్పు" అక్షాంశాలతో ఉన్న బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది (1; 0).
   • "ఉత్తర" అక్షాంశాలతో ఒక బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది (0; 1).
   • "పశ్చిమ" అక్షాంశాలతో ఉన్న బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది (-1; 0).
   • "దక్షిణం" అక్షాంశాలతో ఉన్న బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది (0; -1).
   • ఇది సాధారణ గ్రాఫ్ వలె ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ విలువలను గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు, ప్రాథమిక సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి.
3. 3 మొదటి క్వాడ్రంట్‌లోని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను గుర్తుంచుకోండి. మొదటి చతుర్భుజం సర్కిల్ యొక్క కుడి ఎగువ భాగంలో ఉంది, ఇక్కడ అక్షాంశాలు ఉన్నాయి x మరియు y సానుకూల విలువలు తీసుకోండి. మీరు గుర్తుంచుకోవలసిన ఏకైక అక్షాంశాలు ఇవి:
   • చుక్క /₆ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • చుక్క /₄ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • చుక్క /₃ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • న్యూమరేటర్ మూడు విలువలను మాత్రమే అంగీకరిస్తుందని గమనించండి. మీరు సానుకూల దిశలో కదిలితే (అక్షం వెంట ఎడమ నుండి కుడికి x మరియు అక్షం వెంట దిగువ నుండి పైకి y), న్యూమరేటర్ 1 → √2 → values3 విలువలను తీసుకుంటుంది.
4. 4 సరళ రేఖలను గీయండి మరియు వృత్తంతో వాటి ఖండన బిందువుల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి. మీరు ఒక క్వాడ్రంట్ పాయింట్ల నుండి నేరుగా క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు గీతలు గీస్తే, వృత్తంతో ఈ రేఖల ఖండన యొక్క రెండవ బిందువులు అక్షాంశాలను కలిగి ఉంటాయి x మరియు y అదే సంపూర్ణ విలువలతో, కానీ విభిన్న సంకేతాలతో. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మీరు మొదటి క్వాడ్రంట్ పాయింట్ల నుండి క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు గీతలు గీయవచ్చు మరియు అదే కోఆర్డినేట్‌లతో సర్కిల్‌తో ఖండన బిందువులపై సంతకం చేయవచ్చు, కానీ అదే సమయంలో సరైన గుర్తు ("+" లేదా ") కోసం గదిని వదిలివేయండి ") ఎడమవైపు.
   • ఉదాహరణకు, మీరు పాయింట్ల మధ్య క్షితిజ సమాంతర రేఖను గీయవచ్చు /₃ మరియు /₃... మొదటి పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉన్నందున (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), రెండవ పాయింట్ యొక్క అక్షాంశాలు (?${ displaystyle { frac {1} {2}} ,? { frac { sqrt {3}} {2}}}$), "+" లేదా "-" గుర్తుకు బదులుగా ప్రశ్న గుర్తు ఉంచబడుతుంది.
   • సరళమైన పద్ధతిని ఉపయోగించండి: రేడియన్‌లలో పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌ల హారం గమనించండి. హారం 3 ఉన్న అన్ని పాయింట్లు ఒకే సంపూర్ణ సమన్వయ విలువలను కలిగి ఉంటాయి. హారం 4 మరియు 6 ఉన్న పాయింట్లకు కూడా ఇది వర్తిస్తుంది.
5. 5 అక్షాంశాల గుర్తును గుర్తించడానికి సమరూప నియమాలను ఉపయోగించండి. "-" గుర్తును ఎక్కడ ఉంచాలో నిర్ణయించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి:
   • సాధారణ చార్ట్‌ల కోసం ప్రాథమిక నియమాలను గుర్తుంచుకోండి. అక్షం x ఎడమవైపు ప్రతికూలంగా మరియు కుడి వైపున సానుకూలంగా ఉంటుంది. అక్షం y క్రింద ప్రతికూల మరియు పైన అనుకూల;
   • మొదటి క్వాడ్రంట్‌లో ప్రారంభించండి మరియు ఇతర పాయింట్‌లకు గీతలు గీయండి. రేఖ అక్షాన్ని దాటితే y, సమన్వయం x దాని గుర్తును మారుస్తుంది. రేఖ అక్షాన్ని దాటితే x, కోఆర్డినేట్ యొక్క సంకేతం మారుతుంది y;
   • మొదటి క్వాడ్రంట్‌లో అన్ని ఫంక్షన్లు పాజిటివ్ అని గుర్తుంచుకోండి, రెండవ క్వాడ్రంట్‌లో సైన్ మాత్రమే పాజిటివ్, మూడో క్వాడ్రంట్‌లో టాంజెంట్ మాత్రమే పాజిటివ్, మరియు నాల్గవ క్వాడ్రంట్‌లో కొసైన్ మాత్రమే పాజిటివ్;
   • మీరు ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తే, మొదటి క్వాడ్రంట్ ( +, +), రెండవది ( -, +), మూడవది ( -, -), మరియు నాల్గవ ( +, -) ఉండాలి.
6. 6 మీరు తప్పుగా ఉన్నారో లేదో తనిఖీ చేయండి. మీరు యూనిట్ సర్కిల్‌ని అపసవ్యదిశలో కదిలిస్తే, "ప్రత్యేక" పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌ల పూర్తి జాబితా క్రింద ఉంది. ఈ విలువలన్నింటినీ గుర్తించడానికి, మొదటి క్వాడ్రంట్‌లో మాత్రమే పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను గుర్తుంచుకుంటే సరిపోతుంది:
   • మొదటి చతుర్భుజం: (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • రెండవ చతుర్భుజం: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • మూడవ చతుర్భుజం: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • నాల్గవ చతుర్భుజం: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

చిట్కాలు

• మీరు పరీక్ష లేదా పరీక్ష కోసం యూనిట్ సర్కిల్‌ని ఉపయోగించాల్సి వస్తే, దాన్ని డ్రాఫ్ట్‌లో గీయండి.
• కొంత సాధనతో, మీరు త్వరగా యూనిట్ సర్కిల్‌ని గీయగలగాలి. కాలక్రమేణా, మీరు గొడ్డలిని మాత్రమే గీయగలుగుతారు x మరియు y లేదా రేఖాచిత్రం లేకుండా కూడా చేయండి.