విషయము

• అడుగు పెట్టడానికి
• 3 యొక్క 1 వ భాగం: విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమికాలు
• 3 యొక్క 2 వ భాగం: ఉత్పన్నాలను అర్థం చేసుకోండి
• 3 యొక్క 3 వ భాగం: సమగ్రతను అర్థం చేసుకోండి
• చిట్కాలు

విశ్లేషణ (కాలిక్యులస్ అని కూడా పిలుస్తారు) అనేది పరిమితులు, విధులు, ఉత్పన్నాలు, సమగ్రతలు మరియు అనంత శ్రేణులపై దృష్టి కేంద్రీకరించిన గణితశాస్త్రం. ఈ విషయం చాలా గణితాన్ని కలిగి ఉంది మరియు భౌతిక శాస్త్రం మరియు మెకానిక్స్‌లో ఉపయోగించే అనేక సూత్రాలు మరియు సమీకరణాలను సూచిస్తుంది. విశ్లేషణను సరిగ్గా అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు హైస్కూల్లో చాలా సంవత్సరాల గణితాన్ని కలిగి ఉండవలసి ఉంటుంది, అయితే ఈ వ్యాసం మీరు ముఖ్య అంశాలను గుర్తించడం మరియు సిద్ధాంతం యొక్క మంచి అవగాహనను నేర్చుకోవడాన్ని ప్రారంభిస్తుంది.

అడుగు పెట్టడానికి

3 యొక్క 1 వ భాగం: విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమికాలు

1. విషయాలు ఎలా మారుతాయో అధ్యయనం అనేది విశ్లేషణ. విశ్లేషణ అనేది గణితశాస్త్రం యొక్క ఒక విభాగం, ఇది వాస్తవ ప్రపంచ డేటా నుండి తీసుకోబడిన సంఖ్యలు మరియు గ్రాఫ్‌లను పరిశీలిస్తుంది మరియు అవి ఎలా మారుతుందో వివరిస్తుంది. మొదట ఇది చాలా ఉపయోగకరంగా అనిపించకపోయినా, గణితంలో సాధారణంగా ఉపయోగించే శాఖలలో విశ్లేషణ ఒకటి. ఏ సమయంలోనైనా మీ వ్యాపారం ఎంత వేగంగా వృద్ధి చెందుతుందో, లేదా స్పేస్ షిప్ యొక్క కోర్సును ఎలా చార్ట్ చేయాలో మరియు దాని ఇంధనం ఎంత త్వరగా ఉపయోగించబడుతుందో మీకు చెప్పే సాధనాలను కలిగి ఉన్నట్లు g హించుకోండి. ఇంజనీరింగ్, ఎకనామిక్స్, స్టాటిస్టిక్స్, కెమిస్ట్రీ మరియు ఫిజిక్స్లో విశ్లేషణ ఒక ముఖ్యమైన సాధనం మరియు అనేక ఆవిష్కరణలు మరియు ఆవిష్కరణలకు దోహదపడింది.
2. విధులు రెండు సంఖ్యల మధ్య సంబంధాలు మరియు సంబంధాలను మ్యాపింగ్ చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. అవి సంఖ్యల మధ్య సంబంధానికి నియమాలు, మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వాటిని గ్రాఫ్‌లు చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఒక ఫంక్షన్‌లో, ప్రతి ఇన్‌పుట్‌కు ఖచ్చితంగా ఒక ఫలితం ఉంటుంది. ఉదాహరణకు: లో ${ డిస్ప్లేస్టైల్ y = 2x + 4,}$అనంతం యొక్క భావన గురించి ఆలోచించండి. అనంతం అనేది ఒక ప్రక్రియ యొక్క స్థిరమైన పునరావృతం. ఇది ఒక నిర్దిష్ట ప్రదేశం కాదు (మీరు అనంతానికి వెళ్ళలేరు), కానీ ఎప్పటికీ చేస్తే సంఖ్య లేదా సమీకరణం యొక్క ప్రవర్తన. మార్పును అధ్యయనం చేయడానికి ఇది చాలా ముఖ్యం: ఏ సమయంలోనైనా మీ కారు ఎంత వేగంగా కదులుతుందో మీరు తెలుసుకోవాలనుకోవచ్చు, కానీ ప్రస్తుత సెకనులో మీ కారు ఎంత వేగంగా కదులుతుందో? మిల్లీసెకండ్? నానోసెకండ్? మరింత ఖచ్చితమైనదిగా మీరు అనంతమైన చిన్న భాగాలను కనుగొనవచ్చు మరియు విశ్లేషణ వచ్చినప్పుడు.
3. పరిమితుల భావనను అర్థం చేసుకోండి. ఏదో అనంతాన్ని చేరుకున్నప్పుడు ఏమి జరుగుతుందో ఒక పరిమితి మీకు చెబుతుంది. సంఖ్య 1 ను తీసుకొని 2 ద్వారా విభజించండి. 2 మరియు అంతకంటే ఎక్కువ విభజించండి. 1 1/2 అవుతుంది మరియు తరువాత 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, మొదలైనవి. ప్రతిసారీ సంఖ్య చిన్నదిగా మరియు చిన్నదిగా, సున్నాకి "దగ్గరగా" ఉంటుంది. కానీ అది ఎక్కడ ఆగుతుంది? సున్నా పొందడానికి మీరు ఎన్నిసార్లు 1 ద్వారా 2 ను విభజించాలి? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి బదులుగా, విశ్లేషణలో మీరు ఒకదాన్ని సెట్ చేసారు పరిమితి ఈ సందర్భంలో, పరిమితి.
   • పరిమితులు గ్రాఫ్‌లో దృశ్యమానం చేయడం చాలా సులభం - ఉదాహరణకు, గ్రాఫ్ దాదాపుగా తాకిన పాయింట్లు ఉన్నాయా?
   • పరిమితులు సంఖ్య, అనంతం లేదా ఉనికిలో ఉండవు. ఉదాహరణకు, 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... మరియు ఇది నిరవధికంగా కొనసాగుతుంది, తుది సంఖ్య అనంతంగా పెద్దదిగా మారుతుంది. అప్పుడు పరిమితి అనంతం అవుతుంది.
4. బీజగణితం, త్రికోణమితి మరియు గణిత ప్రాథమికాలను అవసరమైన గణిత అంశాలను సమీక్షించండి. విశ్లేషణ మీరు ఇంతకు ముందు నేర్చుకున్న గణితంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అన్ని అంశాల గురించి బాగా తెలుసుకోవడం వల్ల విశ్లేషణ నేర్చుకోవడం మరియు అర్థం చేసుకోవడం చాలా సులభం అవుతుంది. బ్రష్ చేయడానికి కొన్ని విషయాలు:
   • బీజగణితం. మీరు వేర్వేరు ప్రక్రియలను అర్థం చేసుకోవాలి మరియు సమీకరణాల యొక్క సమీకరణాలను మరియు వ్యవస్థలను బహుళ వేరియబుల్స్‌తో పరిష్కరించగలగాలి. సేకరణల ప్రాథమికాలను అర్థం చేసుకోండి. గ్రాఫ్‌లు తయారు చేయడం ప్రాక్టీస్ చేయండి.
   • జ్యామితి. జ్యామితి ఆకారాల అధ్యయనం. మీకు త్రిభుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాలు మరియు వృత్తాలు మరియు చుట్టుకొలత మరియు ప్రాంతం వంటి వాటిని ఎలా లెక్కించాలో ప్రాథమిక జ్ఞానం ఉండాలి. కోణాలు, పంక్తులు మరియు అక్షాంశాలను అర్థం చేసుకోండి
   • త్రికోణమితి. త్రికోణమితి అనేది వృత్తాలు మరియు కుడి త్రిభుజాల లక్షణాలతో వ్యవహరించే గణిత శాస్త్ర శాఖ. త్రికోణమితి గుర్తింపులు, గ్రాఫ్‌లు, విధులు మరియు విలోమ త్రికోణమితి విధులను ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోండి.
5. గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్‌ను కొనండి. మీరు ఏమి చేస్తున్నారో చూడకుండా విశ్లేషణ అర్థం చేసుకోవడం అంత సులభం కాదు. గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్లు ఫంక్షన్లను దృశ్యమానంగా చేస్తాయి, తద్వారా మీరు ఏ సమీకరణాలతో వ్యవహరిస్తున్నారో బాగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. తరచుగా పరిమితులు తెరపై కూడా ప్రదర్శించబడతాయి మరియు ఉత్పన్నాలు మరియు విధులు స్వయంచాలకంగా లెక్కించబడతాయి.
   • గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్‌ను మీరు కోరుకోకపోతే లేదా కొనలేకపోతే చాలా స్మార్ట్‌ఫోన్‌లు మరియు టాబ్లెట్‌లు చవకైన కానీ సమర్థవంతమైన గ్రాఫింగ్ అనువర్తనాలను అందిస్తున్నాయి.

3 యొక్క 2 వ భాగం: ఉత్పన్నాలను అర్థం చేసుకోండి

1. విశ్లేషణ "ఒక నిర్దిష్ట క్షణంలో మార్పు" అధ్యయనం చేయడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఖచ్చితమైన క్షణంలో ఏదో ఎందుకు మారుతుందో తెలుసుకోవడం విశ్లేషణ యొక్క ప్రధాన అంశం. ఉదాహరణకు, విశ్లేషణ మీకు కారు వేగాన్ని మాత్రమే కాకుండా, ఏ సమయంలోనైనా ఆ వేగం ఎంత మారుతుందో కూడా ఇస్తుంది. విశ్లేషణ యొక్క సరళమైన ఉపయోగాలలో ఇది ఒకటి, కానీ చాలా ముఖ్యమైనది. చంద్రునికి అంతరిక్ష నౌకను పొందడానికి ఎంత వేగం అవసరమో నిర్ణయించడంలో ఇటువంటి సమాచారం ఎంత ముఖ్యమో హించుకోండి!
   • సమయం లో ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో మార్పును నిర్ణయించడం వేరు. విశ్లేషణ యొక్క రెండు ప్రధాన శాఖలలో భేదం మొదటిది.
2. ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో విషయాలు ఎలా మారుతాయో అర్థం చేసుకోవడానికి ఉత్పన్నాలను ఉపయోగించండి. "ఉత్పన్నం" అనేది విద్యార్థులను తరచూ భయపెట్టే మంచి పదం. ఏదేమైనా, భావన అర్థం చేసుకోవడం అంత కష్టం కాదు - దీని అర్థం "ఏదో త్వరగా మారుతుంది". రోజువారీ జీవితంలో మీరు ఎక్కువగా ఎదుర్కొనే ఉత్పన్నాలు వేగంతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. అయితే, మీరు సాధారణంగా దీనిని "వేగం యొక్క ఉత్పన్నం" అని పిలవరు, కానీ "త్వరణం" అని పిలుస్తారు.
   • త్వరణం అనేది ఉత్పన్నం - ఇది ఎంత వేగంగా లేదా వేగవంతం అవుతుందో లేదా దాని వేగం ఎలా మారుతుందో మీకు చెబుతుంది.
3. మార్పు రేటు రెండు పాయింట్ల మధ్య వాలుకు సమానమని తెలుసుకోండి. విశ్లేషణ యొక్క ముఖ్యమైన ఆవిష్కరణలలో ఇది ఒకటి. రెండు పాయింట్ల మధ్య మార్పు రేటు ఆ రెండు పాయింట్ల మధ్య రేఖ యొక్క వాలుకు సమానం. సమీకరణం వంటి సాధారణ పంక్తి గురించి ఆలోచించండి ${ డిస్ప్లేస్టైల్ y = 3x.}$మీరు వక్ర రేఖల వాలును నిర్ణయించవచ్చని తెలుసుకోండి. సరళ రేఖ యొక్క వాలును నిర్ణయించడం చాలా సులభం: ఎంత మార్పులు ${ డిస్ప్లేస్టైల్ వై}$మీరు మార్పును మరింత ఖచ్చితంగా లెక్కించాలనుకుంటే, పాయింట్లు ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోండి. మీరు దగ్గరగా రెండు పాయింట్లను ఎన్నుకుంటారు, మీ సమాధానం మరింత ఖచ్చితమైనది. మీరు యాక్సిలరేటర్ నొక్కినప్పుడు మీ కారు ఎంత వేగవంతం అవుతుందో తెలుసుకోవాలనుకుందాం. మీ ఇల్లు మరియు సూపర్ మార్కెట్ మధ్య వేగం యొక్క మార్పును మీరు కొలవడం ఇష్టం లేదు, కానీ మీరు యాక్సిలరేటర్‌ను కొట్టిన క్షణం నుండి వేగం యొక్క మార్పు. మీ పఠనం ఆ స్ప్లిట్ సెకనుకు దగ్గరగా, మార్పు యొక్క మీ గణన మరింత ఖచ్చితమైనది.
   • ఉదాహరణకు, శాస్త్రవేత్తలు కొన్ని జాతులు వాటిని కాపాడటానికి ఎంత త్వరగా అంతరించిపోతున్నాయో పరిశీలిస్తున్నాయి. ఏదేమైనా, వేసవి కంటే శీతాకాలంలో ఎక్కువ జంతువులు చనిపోతాయి, కాబట్టి ఏడాది పొడవునా మార్పు రేటును అధ్యయనం చేయడం ఉపయోగపడదు - జూలై 1 నుండి ఆగస్టు 1 వరకు చిన్న వ్యవధిలో మార్పు రేటును నిర్ణయించడం మంచిది.
4. "మార్పు యొక్క తక్షణ రేటు" ను నిర్ణయించడానికి అనంతమైన చిన్న పంక్తులను ఉపయోగించండి లేదా ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి. ఇక్కడే విశ్లేషణ తరచుగా కొంచెం గందరగోళంగా ఉంటుంది, అయితే ఇది వాస్తవానికి రెండు సాధారణ వాస్తవాల ఫలితం. అన్నింటిలో మొదటిది, ఒక రేఖ యొక్క వాలు ఆ రేఖ ఎంత వేగంగా మారుతుందో మీకు తెలుసు. రెండవది, రేఖ యొక్క బిందువులు ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉన్నాయని మీకు తెలుసు, పఠనం మరింత ఖచ్చితమైనది అవుతుంది. వాలు రెండు పాయింట్ల మధ్య సంబంధం అయితే మీరు ఇచ్చిన సమయంలో మార్పు రేటును ఎలా కనుగొంటారు? సమాధానం: మీరు ఒకదానికొకటి అనంతంగా దగ్గరగా ఉన్న రెండు పాయింట్లను ఎంచుకుంటారు.
   • మీరు 1 ను 2 ద్వారా విభజించే ఉదాహరణను పరిగణించండి, తద్వారా 1/2, 1/4, 1/8 మొదలైనవి లభిస్తాయి. కాబట్టి చివరికి మీరు సున్నాకి దగ్గరగా వస్తారు, మరియు సమాధానం "దాదాపు సున్నా". పాయింట్లు ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉంటాయి, అవి "ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి". ఇది ఉత్పన్నాల స్వభావం.
5. వివిధ ఉత్పన్నాలను ఎలా నిర్ణయించాలో తెలుసుకోండి. సమీకరణాన్ని బట్టి ఉత్పన్నం కనుగొనటానికి ఒక టన్ను వేర్వేరు పద్ధతులు ఉన్నాయి, అయితే పైన పేర్కొన్న ఉత్పన్నాల యొక్క ప్రాథమికాలను మీరు గుర్తుంచుకుంటే వాటిలో చాలా వరకు అర్ధమే. అన్ని ఉత్పన్నాలు "అనంతమైన" రేఖ యొక్క వాలును కనుగొనే మార్గం. ఇప్పుడు మీరు ఉత్పన్న సిద్ధాంతం గురించి మరింత తెలుసుకున్నారు, సమాధానాలు కనుగొనడంలో చాలా పని ఉంది.
6. ఎప్పుడైనా మార్పు రేటును అంచనా వేయడానికి ఉత్పన్నమైన సమీకరణాలను కనుగొనండి. ఏ సమయంలోనైనా మార్పు రేటును నిర్ణయించడానికి ఉత్పన్నాలను ఉపయోగించడం ఉపయోగపడుతుంది, కానీ విశ్లేషణ యొక్క అందం ఏమిటంటే మీరు ఏదైనా ఫంక్షన్ కోసం కొత్త మోడల్‌ను సృష్టించవచ్చు. యొక్క ఉత్పన్నం ${ displaystyle y = x ^ {2},}$మీరు అర్థం చేసుకోవడం కష్టంగా అనిపిస్తే, ఉత్పన్నాల నిజ జీవిత ఉదాహరణలను గుర్తుంచుకోవడానికి ప్రయత్నించండి. సరళమైన ఉదాహరణ వేగం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది ప్రతిరోజూ మనం ఎదుర్కొనే విభిన్న ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంటుంది. మర్చిపోవద్దు: ఉత్పన్నం అంటే ఎంత త్వరగా మారుతుందో కొలత. సాధారణ ప్రయోగం గురించి ఆలోచించండి. మీరు ఒక టేబుల్‌పై పాలరాయిని చుట్టండి మరియు అది ఎంత దూరం కదులుతుందో మరియు ప్రతిసారీ ఎంత వేగంగా కొలుస్తుంది. రోలింగ్ పాలరాయి గ్రాఫ్‌లోని ఒక పంక్తిని అనుసరిస్తుందని ఇప్పుడు imagine హించుకోండి - మీరు ఆ పంక్తిలో ఎప్పుడైనా తక్షణ మార్పులను కొలవడానికి ఉత్పన్నాలను ఉపయోగిస్తున్నారు.
   • పాలరాయి ఎంత వేగంగా కదులుతుంది? కదిలే పాలరాయి యొక్క స్థానం (లేదా ఉత్పన్నం) ఏ వేగంతో మారుతుంది? మేము ఈ ఉత్పన్నాన్ని "వేగం" అని పిలుస్తాము.
   • పాలరాయిని ఒక వాలు వెంట రోల్ చేయండి మరియు వేగం ఎలా మారుతుందో గమనించండి. పాలరాయి యొక్క వేగం యొక్క మార్పు రేటు లేదా ఉత్పన్నం ఎంత? ఈ ఉత్పన్నం మనం "త్వరణం" అని పిలుస్తాము.
   • రోలర్ కోస్టర్ వంటి ఉంగరాల ట్రాక్ వెంట పాలరాయిని రోల్ చేయండి. పాలరాయి అది బోల్తా పడినప్పుడు ఎంతవరకు వేగం పొందుతుంది, మరియు పాలరాయి ఎత్తుపైకి ఎంతవరకు నెమ్మదిస్తుంది? మొదటి కొండపైకి సగం దూరంలో ఉన్నప్పుడు పాలరాయి ఎంత వేగంగా వెళుతుంది? ఇది ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద ఆ పాలరాయి యొక్క తక్షణ మార్పు రేటు లేదా ఉత్పన్నం.

3 యొక్క 3 వ భాగం: సమగ్రతను అర్థం చేసుకోండి

1. సంక్లిష్ట ప్రాంతాలు మరియు వాల్యూమ్‌లను కనుగొనడానికి మీరు విశ్లేషణను ఉపయోగించవచ్చని తెలుసుకోండి. విశ్లేషణతో మీరు కొలవడానికి కష్టంగా ఉండే సంక్లిష్ట ఆకృతులను కొలవవచ్చు. ఉదాహరణకు, పొడవైన, సక్రమంగా ఆకారంలో ఉన్న సరస్సులో ఎంత నీరు ఉందో తెలుసుకోవాలనుకునే సమస్యను పరిగణించండి - ప్రతి లీటరు నీటిని విడిగా కొలవడం లేదా సరస్సు ఆకారాన్ని కొలవడానికి ఒక పాలకుడిని ఉపయోగించడం అసాధ్యం. విశ్లేషణతో మీరు సరస్సు యొక్క అంచులు ఎలా మారుతున్నాయో అధ్యయనం చేసి, ఆ సమాచారాన్ని ఎంత నీరు కలిగి ఉన్నాయో తెలుసుకోవడానికి ఉపయోగించవచ్చు.
   • రేఖాగణిత నమూనాలను తయారు చేయడం మరియు వాల్యూమ్‌ల అధ్యయనం ఏకీకృతం. ఇంటిగ్రేటెడ్ కాలిక్యులస్ విశ్లేషణ యొక్క రెండవ ముఖ్యమైన శాఖ.
2. ఏకీకరణ అనేది గ్రాఫ్ క్రింద ఉన్న ప్రాంతం అని తెలుసుకోండి. ఒక రేఖకు దిగువన ఉన్న స్థలాన్ని కొలవడానికి ఇంటిగ్రేషన్ ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది వింత లేదా క్రమరహిత ఆకృతుల ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. సమీకరణాన్ని తీసుకోండి ${ డిస్ప్లేస్టైల్ y = 4-x ^ {2},}$ఇంటిగ్రేట్ చేయడానికి మీరు తప్పనిసరిగా ఒక ప్రాంతాన్ని ఎంచుకోవాలని తెలుసుకోండి. మీరు మొత్తం ఫంక్షన్‌ను ఏకీకృతం చేయలేరు. ఉదాహరణకి, ${ displaystyle y = x}$దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా లెక్కించాలో ఆలోచించండి. మీకు గ్రాఫ్ పైన ఫ్లాట్ లైన్ ఉందని అనుకుందాం ${ డిస్ప్లేస్టైల్ y = 4.}$సమగ్ర కాలిక్యులస్‌లో ఒక ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి చాలా చిన్న దీర్ఘచతురస్రాలు కలిసిపోతాయని తెలుసుకోండి. మీరు ఒక వక్రతను భారీగా విస్తరించినప్పుడు, అది సరళ రేఖగా కనిపిస్తుంది. మీరు ప్రతిరోజూ దీనిని చూస్తారు - మీరు భూమి యొక్క వక్రతను గ్రహించలేరు ఎందుకంటే మీరు భూమి యొక్క ఉపరితలానికి చాలా దగ్గరగా ఉన్నారు. ఇంటిగ్రేషన్ ఒక వక్రరేఖ క్రింద అనంతమైన చిన్న దీర్ఘచతురస్రాలను సృష్టిస్తుంది, అవి చాలా చిన్నవి, అవి ప్రాథమికంగా చదునుగా ఉంటాయి, వాటిని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఈ దీర్ఘచతురస్రాలన్నీ కలిపి ఒక వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.
   • మీరు గ్రాఫ్ క్రింద చాలా చిన్న విభాగాలను జోడిస్తారని అనుకుందాం, మరియు అది ప్రతి సెగ్మెంట్ యొక్క వెడల్పు దాదాపు సున్నా.
3. సమగ్రాలను సరిగ్గా చదవడం మరియు వ్రాయడం ఎలాగో తెలుసు. ఇంటిగ్రల్స్ 4 భాగాలను కలిగి ఉంటాయి. ఒక సాధారణ సమగ్ర ఇలా కనిపిస్తుంది:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ సమగ్రాలను కనుగొనడం గురించి మరింత తెలుసుకోండి. ఇంటిగ్రేషన్ అనేక రూపాల్లో వస్తుంది మరియు ప్రతి ఫంక్షన్‌ను ఏకీకృతం చేయడానికి మీరు చాలా విభిన్న సూత్రాలను నేర్చుకోవాలి. అయినప్పటికీ, అవన్నీ పైన చెప్పిన సూత్రాలను అనుసరిస్తాయి: సమైక్యత అనంతమైన విషయాల మొత్తం.
   • ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా ఇంటిగ్రేట్ చేయండి.
   • నిరవధిక సమగ్రాలను లెక్కించండి.
   • భాగస్వామ్యం చేయడం ద్వారా ఇంటిగ్రేట్ చేయండి.
4. ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క రివర్స్ అని తెలుసుకోండి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా. ఇది చాలా ముఖ్యమైనది అయిన విశ్లేషణ యొక్క నియమం, దీనికి దాని స్వంత పేరు ఇవ్వబడింది: సమగ్ర గణన యొక్క ప్రధాన సిద్ధాంతం.ఏకీకరణ మరియు భేదం చాలా దగ్గరి సంబంధం ఉన్నందున, మీ వద్ద ఏ సమాచారం ఉన్నప్పటికీ, మార్పు, త్వరణం, వేగం, స్థానం, కదలిక మొదలైనవాటిని నిర్ణయించడానికి ఈ రెండింటి కలయికను ఉపయోగించవచ్చు.
   • ఉదాహరణకు, వేగం యొక్క ఉత్పన్నం త్వరణం అని గుర్తుంచుకోండి, కాబట్టి మీరు త్వరణాన్ని కనుగొనడానికి వేగాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. మీరు ఏదో యొక్క త్వరణాన్ని మాత్రమే తెలుసుకుంటే (గురుత్వాకర్షణ కారణంగా పడే వస్తువులు వంటివి), అప్పుడు మీరు వేగాన్ని తిరిగి పొందడానికి సమగ్రపరచవచ్చు!
5. ఏకీకరణతో మీరు 3D వస్తువుల వాల్యూమ్‌ను కూడా నియంత్రించవచ్చని తెలుసుకోండి. ఫ్లాట్ ఆకారాన్ని తిప్పడం 3D ఘనపదార్థాలను సృష్టించడానికి ఒక మార్గం. పట్టికలో ఒక నాణెం తిరుగుతున్నట్లు Ima హించుకోండి - నాణెం తిరుగుతున్నప్పుడు గోళం యొక్క ఆకారాన్ని ఎలా తీసుకుంటుందో గమనించండి. ఈ భావన "వాల్యూమ్ బై రొటేషన్" అని పిలువబడే ఒక ప్రక్రియ ప్రకారం వాల్యూమ్ను నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
   • ఏదైనా ఘన పరిమాణాన్ని సూచించడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు ఒక సరస్సు అడుగు భాగాన్ని ట్రాక్ చేసే ఒక ఫంక్షన్‌ను సృష్టించవచ్చు, ఆపై సరస్సు యొక్క పరిమాణాన్ని లేదా దానిలో ఎంత నీరు ఉందో తెలుసుకోవడానికి దాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

చిట్కాలు

• ప్రాక్టీస్ పరిపూర్ణంగా ఉంటుంది, కాబట్టి మీ పాఠ్యపుస్తకంలో ప్రాక్టీస్ వ్యాయామాలు చేయండి - మీ గురువు కూడా ఇవ్వలేదు - మరియు భావనలను బాగా అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడటానికి మీ సమాధానాలను తనిఖీ చేయండి.
• మీరు పరిష్కారం కనుగొనలేకపోతే, మీ గురువును అడగండి.