విషయము

• దశలు
• సలహా
• నీకు కావాల్సింది ఏంటి

గణితంలో, కారకాల విశ్లేషణ ఇచ్చిన సంఖ్య లేదా సమీకరణం యొక్క ఉత్పత్తితో సంఖ్యలు లేదా వ్యక్తీకరణలను కనుగొనడం. కారక విశ్లేషణ అనేది ప్రాథమిక బీజగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి నేర్చుకోవడానికి ఉపయోగపడే నైపుణ్యం: పని విషయానికి వస్తే బాగా కారకం చేయగల సామర్థ్యం దాదాపు కీలకం. బీజగణిత సమీకరణాలు లేదా ఇతర బహుపది రూపాలతో. బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను తగ్గించడానికి కారకాల విశ్లేషణను ఉపయోగించవచ్చు, సమస్యను సరళంగా చేస్తుంది. దీనికి ధన్యవాదాలు, మీరు చేతితో పరిష్కరించడం కంటే చాలా వేగంగా కొన్ని సమాధానాలను తొలగించవచ్చు.

దశలు

3 యొక్క విధానం 1: సంఖ్యలు మరియు ప్రాథమిక బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను కారకాలుగా విశ్లేషించండి

1. 

   
   
   ఒకే సంఖ్యలకు వర్తించేటప్పుడు కారకాల విశ్లేషణ యొక్క నిర్వచనాన్ని అర్థం చేసుకోండి. సంభావితంగా సరళమైనది అయినప్పటికీ, ఆచరణలో, సంక్లిష్ట సమీకరణాలను వర్తింపచేయడం చాలా సవాలుగా ఉంటుంది. అందువల్ల, సులభమైన కారకాల-విశ్లేషణ సంభావిత విధానం ఒకే సంఖ్యల నుండి ప్రారంభించి, ఆపై మరింత ఆధునిక అనువర్తనాలతో కొనసాగడానికి ముందు సాధారణ సమీకరణాలకు వెళ్లడం. కారకం ఇచ్చిన సంఖ్యకు ఒకే సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తి ఉన్న సంఖ్యలు. ఉదాహరణకు, 1, 12, 2, 6, 3 మరియు 4 లు 12 యొక్క కారకాలు ఎందుకంటే 1 × 12, 2 × 6 మరియు 3 × 4 అన్నీ 12 కి సమానం.
   • మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క కారకాలు సంఖ్యలు విభజించబడినది ఆ సంఖ్య ద్వారా.
   • మీరు 60 యొక్క పూర్తి కారకాన్ని కనుగొనగలరా? 60 సంఖ్య అనేక వేర్వేరు ప్రయోజనాల కోసం ఉపయోగించబడుతుంది (గంటలో నిమిషాలు, నిమిషంలో సెకన్లు, మొదలైనవి) ఎందుకంటే ఇది చాలా సంఖ్యల ద్వారా విభజించబడింది.
     • 60 సంఖ్య ఈ క్రింది కారకాలను కలిగి ఉంది: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, మరియు 60.

2. 

   
   
   వేరియబుల్స్ కలిగిన వ్యక్తీకరణలు కూడా కారకం అవుతాయని అర్థం చేసుకోండి. స్వతంత్ర సంఖ్యలతో పాటు, అంకగణిత గుణకాలతో వేరియబుల్స్ కూడా కారకం చేయబడతాయి. దీన్ని చేయడానికి, మనం వేరియబుల్ యొక్క గుణకం యొక్క కారకాలను కనుగొనాలి. విశ్లేషణను ఎలా కారకం చేయాలో తెలుసుకోవడం వేరియబుల్స్ కలిగి ఉన్న సాధారణ పరివర్తన బీజగణిత సమీకరణాలలో చాలా ఉపయోగపడుతుంది.
   • ఉదాహరణకు 12x ను 12 మరియు x ఫలితాలుగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. 12x ను 3 (4x), 2 (6x), మొదలైనవిగా వ్రాయడం సాధ్యమవుతుంది మరియు 12 యొక్క ఉద్దేశించిన ఉపయోగానికి సరిపోయే ఏ కారకాన్ని అయినా ఉపయోగించుకోవచ్చు.
     • మీరు 12x విశ్లేషణ వరకు కూడా వెళ్ళవచ్చు చాలా సార్లు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, 3 (4x) లేదా 2 (6x) వద్ద ఆపవలసిన అవసరం లేదు - వరుసగా 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) పొందడానికి 4x మరియు 6x లను విశ్లేషించవచ్చు. ఈ సూత్రం సమానం.

3. 

   
   
   బీజగణిత సమీకరణాలను కారకం చేయడానికి గుణకారం యొక్క అనుబంధ లక్షణాలను వర్తించండి. స్వతంత్ర సంఖ్యలు మరియు గుణకాలు రెండింటినీ కారకాలుగా విశ్లేషించే మీ జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి, సమీకరణంలో చేర్చబడిన సంఖ్యలు మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క సాధారణ కారకాలను కనుగొనడం ద్వారా మీరు సాధారణ బీజగణిత సమీకరణాలను సరళీకృతం చేయవచ్చు. తరచుగా, సమీకరణం సాధ్యమైనంత సరళంగా ఉండటానికి, మేము గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తాము. గుణకారం యొక్క అనుబంధ స్వభావానికి ఈ సరళమైన పరివర్తన సాధ్యమవుతుంది - ప్రతి సంఖ్య a, b మరియు c లకు, మన దగ్గర: a (b + c) = ab + ac.
   • కింది ఉదాహరణ సమస్యను పరిశీలిద్దాం. బీజగణిత సమీకరణం 12x + 6 ను ఒక కారకంగా మార్చడానికి, మొదట, 12x మరియు 6 యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను మేము కనుగొన్నాము. 6 అనేది 12x మరియు 6 రెండింటినీ విభజించగల అతిపెద్ద సంఖ్య, కాబట్టి మనం ఒక్కొక్కటిగా మార్చవచ్చు. సమీకరణాన్ని 6 (2x + 1) కు తగ్గించండి.
   • ప్రతికూల సంకేతాలు మరియు భిన్నాలను కలిగి ఉన్న సమీకరణాలకు ఇదే ప్రక్రియ వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకు, x / 2 + 4 ను 1/2 (x + 8) గా మార్చవచ్చు మరియు -7x + -21 ను -7 (x + 3) కు కుళ్ళిపోవచ్చు.
   ప్రకటన

3 యొక్క విధానం 2: వర్గ సమీకరణాల యొక్క కారకాల విశ్లేషణ

1. 

   సమీకరణం చతురస్రాకారంలో ఉందని నిర్ధారించుకోండి (గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి = 0). చతురస్రాకార సమీకరణం గొడ్డలి + bx + c = 0 అనే రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ a, b, మరియు c స్థిరాంకాలు మరియు a నాన్జెరో (a మే 1 లేదా -1 కి సమానం). ఒక-వేరియబుల్ సమీకరణం (x) x యొక్క చతురస్రాన్ని కలిగి ఉన్న ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పదాలను కలిగి ఉంటే, మీరు తరచూ ప్రాథమిక బీజగణితాన్ని ఉపయోగించి సమాన సంకేతం యొక్క ఒక వైపును 0 గా మార్చడానికి మరియు గొడ్డలిని అనుమతించండి. మరోవైపు.
   • ఉదాహరణకు, బీజగణిత సమీకరణం 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 ను x + 6x + 9 = 0 కు తగ్గించవచ్చు, ఇది చతురస్రాకార రూపం.
   • X, x, x మరియు వంటి అధిక ఘాతాంకం ఉన్న సమీకరణాలు. చతురస్రాకారంగా ఉండకూడదు. అవి క్వాడ్రాటిక్, క్వాటర్నరీ, ... 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ x యొక్క శక్తులను కలిగి ఉన్న పదాలను తొలగించడం ద్వారా సమీకరణాన్ని తగ్గించవచ్చు తప్ప.

2. 

   చతురస్రాకార సమీకరణాలతో, a = 1 అయినప్పుడు, మేము (x + d) (x + e) ​​కు కుళ్ళిపోతాము, ఇక్కడ d × e = c మరియు d + e = b. చతురస్రాకార సమీకరణం x + bx + c = 0 (లేదా ఇతర మాటలలో, x = 1 యొక్క గుణకం అయితే) రూపంలో ఉంటే, మనం సాపేక్షంగా వేగంగా గణనను ఉపయోగించుకునే అవకాశం ఉంది (కాని ఖచ్చితంగా తెలియదు). ఈ సమీకరణాన్ని కారకం చేయడం చాలా సులభం. C కి సమానమైన రెండు సంఖ్యలను కనుగొనండి మరియు మొత్తం సమానం b. మీరు d మరియు e లను కనుగొన్న తర్వాత, వాటిని క్రింది వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయండి: (x + d) (x + e). కలిసి గుణించినప్పుడు, ఈ రెండు అంశాలు మనకు పైన ఉన్న చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని ఇస్తాయి - మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అవి సమీకరణం యొక్క కారకాలు.
   • ఉదాహరణకు, x + 5x + 6 = 0. 3 మరియు 2 యొక్క చతురస్ర సమీకరణం 6 యొక్క ఉత్పత్తిని కలిగి ఉంటుంది మరియు అదే సమయంలో మొత్తం 5 కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, మనం సమీకరణాన్ని (x + 3) గా మార్చవచ్చు ( x + 2).
   • సమీకరణం కొద్దిగా భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు ఈ ప్రాథమిక శీఘ్ర పరిష్కారం కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది:
     • వర్గ సమీకరణం x-bx + c రూపంలో ఉంటే, మీ సమాధానం ఈ రూపంలో ఉంటుంది: (x - _) (x - _).
     • ఇది x + bx + c రూపంలో ఉంటే, మీ సమాధానం: (x + _) (x + _).
     • ఇది x-bx-c లో ఉంటే, మీ ప్రతిస్పందన (x + _) (x - _) రూపంలో ఉంటుంది.
   • గమనిక: ఖాళీలలో భిన్నాలు లేదా దశాంశాలు కావచ్చు. ఉదాహరణకు, x + (21/2) x + 5 = 0 సమీకరణం (x + 10) (x + 1/2) కు కుళ్ళిపోతుంది.

3. 

   
   
   వీలైతే, పరీక్ష ద్వారా కారకాల విశ్లేషణ చేయండి. సంక్లిష్టమైన చతురస్రాకార సమీకరణంతో, నమ్మకం లేదా కాదు, కారకం యొక్క అంగీకరించబడిన పద్ధతుల్లో ఒకటి సమస్యను చూడటం, ఆపై ఫలితం దొరికే వరకు సాధ్యమయ్యే అన్ని సమాధానాలను తూకం వేయడం. సరైన సమాధానము. దీనిని పరీక్షా పద్ధతి అని కూడా అంటారు.సమీకరణం గొడ్డలి + bx + c మరియు a> 1 రూపాన్ని కలిగి ఉంటే, మీ కారకం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది (dx +/- _) (ex +/- _), ఇక్కడ d మరియు e స్థిరాంకాలు మరొకటి a కి సమానం కాదు. d లేదా e (లేదా రెండూ) మే 1 కి సమానం, అయినప్పటికీ అది తప్పనిసరిగా ఉండదు. రెండూ 1 కి సమానం అయితే, మీరు ప్రాథమికంగా పైన చూపిన శీఘ్ర పనిని ఉపయోగించారు.
   • కింది ఉదాహరణ సమస్యను పరిగణించండి. మొదటి చూపులో, 3x - 8x + 4 చాలా భయపెట్టేదిగా కనిపిస్తుంది. అయినప్పటికీ, 3 కి రెండు కారకాలు (3 మరియు 1) మాత్రమే ఉన్నాయని మీరు గ్రహించిన తర్వాత, సమస్య సులభం అవుతుంది ఎందుకంటే సమాధానం (3x +/- _) (x +/- _) రూపంలో ఉండాలి అని మాకు తెలుసు. ఈ సందర్భంలో, -2 ని రెండు ఖాళీలతో భర్తీ చేయడం సరైన సమాధానం ఇస్తుంది. -2 × 3x = -6x మరియు -2 × x = -2x. -6x మరియు -2x మొత్తం -8x కు సమానం. -2 × -2 = 4, కాబట్టి, కుండలీకరణాల్లో అన్వయించబడిన అంశాలు మనకు ప్రారంభ సమీకరణాన్ని ఇస్తాయని చూడవచ్చు.

4. 

   
   
   చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా సమస్యను పరిష్కరించండి. కొన్ని సందర్భాల్లో, ప్రత్యేక బీజగణిత గుర్తింపును ఉపయోగించి చతురస్రాకార సమీకరణాలను త్వరగా మరియు సులభంగా గుణించవచ్చు. X + 2xh + h = (x + h) రూపం యొక్క ఏదైనా వర్గ సమీకరణం. కాబట్టి, సమీకరణంలో, b అనేది c యొక్క వర్గమూలం కంటే రెండు రెట్లు ఉంటే, సమీకరణాన్ని (x + (sqrt (c))) గా కుళ్ళిపోవచ్చు.
   • X + 6x + 9 సమీకరణం ఈ రూపం కోసం పనిచేస్తుంది, ఉదాహరణకు. 3 సమానం 9 మరియు 3 × 2 సమానం 6. కాబట్టి ఈ సమీకరణం యొక్క కారకం రూపం (x + 3) (x + 3), లేదా (x + 3) అని మనకు తెలుసు.

5. 

   
   
   కారకాలతో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించండి. ఎలాగైనా, చతురస్రాకార వ్యక్తీకరణ కారకం అయిన తర్వాత, ప్రతి కారకాన్ని సున్నాకి ఇవ్వడం ద్వారా మరియు పరిష్కరించడం ద్వారా మీరు x విలువకు సాధ్యమైన సమాధానం కనుగొనవచ్చు. సమీకరణం సున్నా అయిన x యొక్క విలువ కోసం మీరు వెతుకుతున్నందున, ఒక కారకం సున్నాగా ఉండటానికి కారణమయ్యే ఏదైనా x ఆ సమీకరణానికి సాధ్యమైన పరిష్కారం అవుతుంది.
   • X + 5x + 6 = 0 అనే సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్ళు. ఇది (x + 3) (x + 2) = 0 కు కుళ్ళిపోతుంది. ఒక కారకం సున్నా అయినప్పుడు, మొత్తం సమీకరణం సున్నా అవుతుంది. X యొక్క సాధ్యమైన పరిష్కారాలు వరుసగా (x + 3) మరియు (x + 2) 0, -3 మరియు -2 కు సమానమైన సంఖ్యలు.

6. 

   మీ సమాధానాలను తనిఖీ చేయండి - కొన్ని అన్యదేశంగా ఉండవచ్చు! మీరు x యొక్క సాధ్యమైన పరిష్కారాలను కనుగొన్నప్పుడు, అవి సరైనవి కాదా అని నిర్ణయించడానికి వాటిని అసలు సమీకరణంతో భర్తీ చేయండి. కొన్నిసార్లు సమాధానం కనుగొంటుంది ఏమి ఇబ్బంది లేదు భర్తీ చేసినప్పుడు అసలు సమీకరణం సున్నా అవుతుంది. మేము ఈ పరిష్కారాలను పిలుస్తాము అన్యదేశ మరియు వాటిని తొలగించండి.
   • X + 5x + 6 = 0. కోసం -2 మరియు -3 ని భర్తీ చేద్దాం. మొదట, -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. అవును, కాబట్టి -2 అనేది సమీకరణం యొక్క చెల్లుబాటు అయ్యే పరిష్కారం.
   • ఇప్పుడు, -3 తో ప్రయత్నిద్దాం:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. ఇది కూడా నిజం మరియు అందువల్ల -3 కూడా సమీకరణానికి చెల్లుబాటు అయ్యే పరిష్కారం.
   ప్రకటన

3 యొక్క విధానం 3: ఇతర రకాల సమీకరణాలను కారకాలుగా విశ్లేషించండి

1. 

   సమీకరణం a-b రూపంలో ఉంటే, దానిని (a + b) (a-b) కు కుళ్ళిపోతుంది. రెండు-వేరియబుల్ సమీకరణం ప్రాథమిక చతురస్రాకార సమీకరణం కంటే భిన్నంగా విశ్లేషించబడుతుంది. A మరియు b నాన్జెరో అయిన ఏదైనా a-b సమీకరణం (a + b) (a-b) గా కుళ్ళిపోతుంది.
   • ఉదాహరణకు, 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y) సమీకరణం.

2. 

   సమీకరణం + 2ab + b రూపంలో ఉంటే, దానిని (a + b) కు కుళ్ళిపోతుంది. త్రికోణము రూపంలో ఉంటే a-2ab + b, కారకాల రూపం కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది: (a-b).
   • 4x + 8xy + 4y సమీకరణాలను 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y అని తిరిగి వ్రాయవచ్చు. ఇప్పుడు అది సరైన రూపంలో ఉందని మనం చూశాము మరియు ఈ సమీకరణం యొక్క కారకం రూపం (2x + 2y) అని నమ్మకంగా చెప్పగలం.

3. 

   సమీకరణం a-b రూపంలో ఉంటే, దానిని (a-b) (a + ab + b) కు కుళ్ళిపోతుంది. చివరగా, టెర్నరీ సమీకరణాలు మరియు అధిక ఆర్డర్ సమీకరణాలను కూడా కారకం చేయవచ్చు అని చెప్పాలి. అయినప్పటికీ, విశ్లేషణ ప్రక్రియ త్వరగా చాలా క్లిష్టంగా మారుతుంది.
   • ఉదాహరణకు, 8x - 27y (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y కు కుళ్ళిపోతుంది
   ప్రకటన

సలహా

• a-b కారకం చేయవచ్చు మరియు a + b చేయలేము.
• స్థిరాంకాలను ఎలా కారకం చేయాలో గుర్తుంచుకోండి - ఇది సహాయపడుతుంది.
• కారకాల ప్రక్రియలో భిన్నాలపై శ్రద్ధ వహించండి, వాటిని సరిగ్గా మరియు సముచితంగా నిర్వహించండి.
• X + bx + (b / 2) త్రిశూలంతో, దాని కారకం (x + (b / 2)) అవుతుంది (చదరపు పూర్తిచేసేటప్పుడు మీరు ఈ పరిస్థితిని చూడవచ్చు).
• A0 = 0 (ఆస్తి సున్నాతో గుణించబడుతుంది) అని గుర్తుంచుకోండి.

నీకు కావాల్సింది ఏంటి

• పేపర్
• పెన్సిల్
• గణిత పుస్తకం (అవసరమైతే)