విషయము

• దశలు
• సలహా

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం (పైథాగోర్) విస్తృతంగా ఉపయోగించే గణిత సిద్ధాంతం మరియు అనేక ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలను కలిగి ఉంది. ఏదైనా కుడి త్రిభుజంలో, రెండు కుడి వైపుల చతురస్రాల మొత్తం హైపోటెన్యూస్ యొక్క చతురస్రానికి సమానమని సిద్ధాంతం పేర్కొంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, a మరియు b ల పొడవు మరియు హైపోటెన్యూస్ పొడవు c లంబంగా ఉన్న కుడి త్రిభుజంలో, మనకు ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది a + b = సి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రాథమిక జ్యామితి యొక్క ప్రధాన స్తంభాలలో ఒకటి. కోఆర్డినేట్ విమానంలో రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడం వంటి లెక్కలేనన్ని ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలు ఉన్నాయి.

దశలు

2 యొక్క పద్ధతి 1: కుడి త్రిభుజం వైపులా కనుగొనండి

1. 

   మీ త్రిభుజం సరైన త్రిభుజం అని నిర్ధారించుకోండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం కుడి త్రిభుజాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. కాబట్టి, మీరు కొనసాగడానికి ముందు, మీ త్రిభుజం కుడి త్రిభుజం యొక్క ప్రమాణాలకు అనుగుణంగా ఉందని నిర్ధారించుకోండి. అదృష్టవశాత్తూ, ఒకే ఒక ప్రమాణం ఉంది - సరైన త్రిభుజం కావాలంటే, దీనికి 90 డిగ్రీల కోణం ఉండాలి.
   • దృశ్యమాన సూచనగా, లంబ కోణం సాధారణంగా చిన్న చతురస్రంతో గుర్తించబడుతుంది, కానీ వృత్తం "వక్రత" కాదు. త్రిభుజం మూలలో ఈ ప్రత్యేక గుర్తు కోసం చూడండి.

2. 

   
   
   త్రిభుజం వైపులా a, b మరియు c అని పిలవండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంలో, a మరియు b లంబ కోణ భుజాలు, c అనేది హైపోటెన్యూస్ - పొడవైన వైపు ఎల్లప్పుడూ లంబ కోణాలకు వ్యతిరేకం. కాబట్టి ప్రారంభించడానికి, త్రిభుజం యొక్క చిన్న వైపులను a మరియు b అని పిలవండి (ఇది ఏ వైపు 'a' లేదా 'b' అని పట్టింపు లేదు), మరియు హైపోటెన్యూస్ c అని పిలవండి.

3. 

   
   
   మీరు కనుగొనవలసిన త్రిభుజం యొక్క ఏ వైపు నిర్ణయించండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం గణిత శాస్త్రవేత్తలకు ఏదైనా పొడవును కనుగొనటానికి అనుమతిస్తుంది ఒకటి త్రిభుజం యొక్క ఏ వైపు వారు పొడవు తెలిసినంతవరకు సరైనది మిగిలిన రెండు అంచులు. తెలియని పొడవు యొక్క అంచుని నిర్ణయించండి - a, బి, మరియు / లేదా సి. ఒక అంచు మాత్రమే తెలియకపోతే, మీరు ప్రారంభించవచ్చు.
   • ఉదాహరణకు, హైపోటెన్యూస్ పొడవు 5 మరియు దాని వైపులా పొడవు 3 ఉందని మనకు తెలుసు అనుకుందాం, కాని మూడవ వైపు ఏమిటో మాకు తెలియదు. ఈ సందర్భంలో, మేము మూడవ వైపు కనుగొనే సమస్యను పరిష్కరిస్తాము, ఎందుకంటే మిగతా రెండు వైపుల పొడవు మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. మేము తరువాతి దశల్లో ఈ ఉదాహరణను ఉపయోగిస్తాము.
   • పొడవు ఉంటే రెండు అంచు తెలియదు, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడానికి మీరు మరో అంచు యొక్క పొడవును నిర్ణయించాలి. త్రిభుజం యొక్క పదునైన కోణాలలో ఒకదాన్ని ఎలా కొలవాలో మీకు తెలిస్తే ప్రాథమిక త్రికోణమితి విధులు సహాయపడతాయి.

4. 

   
   
   తెలిసిన రెండు విలువలను సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మీ త్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవును a + b = c సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయండి. A మరియు b లంబ కోణాలు మరియు సి హైపోటెన్యూస్ అని గుర్తుంచుకోండి.
   • పై ఉదాహరణలో, మనకు ఒక వైపు మరియు హైపోటెన్యూస్ (ఇది 3 మరియు 5) యొక్క పొడవు తెలుసు, కాబట్టి సమీకరణం ఉంటుంది 3² + b² = 5²

5. 

   స్క్వేర్డ్. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, తెలిసిన ప్రతి అంచులను స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా ప్రారంభించండి. అలాగే, మీకు తేలికగా అనిపిస్తే, మీరు భుజాల పొడవును ఎక్స్‌పోనెన్షియల్‌గా వదిలివేయవచ్చు, తరువాత వాటిని స్క్వేర్ చేయండి.
   • ఈ ఉదాహరణలో, దాన్ని పొందడానికి మేము 3 మరియు 5 స్క్వేర్ చేస్తాము 9 మరియు 25. తిరిగి వ్రాయగల సమీకరణం 9 + b² = 25.

6. 

   తెలియని వేరియబుల్‌ను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపుకు విభజించండి. అవసరమైతే, తెలియని వేరియబుల్‌ను సమీకరణం నుండి పక్కన పెట్టడానికి ప్రాథమిక బీజగణితాన్ని మరియు రెండు స్క్వేర్డ్ సంఖ్యలను సమీకరణం పక్కన పెట్టండి. మీరు హైపోటెన్యూస్‌ను కనుగొంటే, సి ఇప్పటికే ప్రత్యేక వైపు ఉంది, కాబట్టి దాన్ని వేరు చేయడానికి మీరు ఏమీ చేయనవసరం లేదు.
   • ఈ ఉదాహరణలో, ప్రస్తుత సమీకరణం 9 + b² = 25. b² ను విభజించడానికి, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9 కోసం తీసివేయండి. ఫలిత సమీకరణం b² = 16.

7. 

   సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని పొందండి. మీరు ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు ఒక స్క్వేర్డ్ వేరియబుల్ మరియు మరొక వైపు ఒక సంఖ్యను కలిగి ఉంటారు. తెలియని వైపు పొడవును కనుగొనడానికి రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.
   • ఈ ఉదాహరణలో, b² = 16, రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని తీసుకుంటే b = 4 ఇస్తుంది. ఈ విధంగా, కనుగొనవలసిన వైపు యొక్క పొడవు 4.

8. 

   నిజమైన కుడి త్రిభుజం వైపు కనుగొనడానికి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించండి. ఈ సిద్ధాంతం నేడు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడటానికి కారణం, ఇది అనేక ఆచరణాత్మక పరిస్థితులకు వర్తిస్తుంది. జీవితంలో సరైన త్రిభుజాన్ని గుర్తించడం నేర్చుకోండి - రెండు వస్తువులు లేదా రెండు పంక్తులు లంబ కోణంలో కలుస్తాయి మరియు మూడవ వస్తువు లేదా పంక్తి ఆ లంబ కోణాన్ని కలుస్తాయి, మీరు hana ానాను ఉపయోగించవచ్చు. ఒక వైపు యొక్క పొడవును కనుగొనటానికి పైథాగరియన్ పద్ధతి ఇతర రెండు పొడవులను ఇస్తుంది.
   • ఆచరణలో ఒక ఉదాహరణ తీసుకోండి. ఒక నిచ్చెన భవనం వైపు వాలుతోంది. మెట్ల గోడ అడుగు నుండి 5 మీ. భవనం యొక్క 20 మీటర్ల ఎత్తుకు ఎలివేటర్. నిచ్చెన ఎంత కాలం?
     • గోడ అడుగు నుండి 5 మీ. మరియు భవనం గోడ యొక్క 20 మీ. మెట్ల త్రిభుజం వైపులా పొడవును తెలియజేస్తుంది. గోడ మరియు భూమి లంబ కోణంలో కలుస్తాయి మరియు నిచ్చెన గోడను వికర్ణంగా నిలుస్తుంది కాబట్టి, మనం దానిని కుడి త్రిభుజంగా పక్క పొడవు a = 5 మరియు b = 20 తో imagine హించవచ్చు. నిచ్చెన హైపోటెన్యూస్, కాబట్టి సి తెలియదు. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిద్దాం:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = సి²
       • (425) యొక్క వర్గమూలం = సి
       • c = 20.6. నిచ్చెన యొక్క సుమారు పొడవు 20.6 మీ.
   ప్రకటన

2 యొక్క విధానం 2: X-Y విమానంలో రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించండి

1. 

   X-Y విమానంలో రెండు పాయింట్లను నిర్ణయించండి. X-Y విమానంలో రెండు పాయింట్ల మధ్య సరళ దూరాన్ని లెక్కించడానికి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని సులభంగా ఉపయోగించవచ్చు. మీరు తెలుసుకోవలసినది ఏదైనా రెండు పాయింట్ల x మరియు y కోఆర్డినేట్లు. సాధారణంగా, ఈ అక్షాంశాలు కోఆర్డినేట్ల (x, ​​y) క్రమం యొక్క జతలలో వ్రాయబడతాయి.
   • ఈ రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి, మేము ప్రతి బిందువును కుడి త్రిభుజం యొక్క పదునైన కోణాలలో ఒకటిగా పరిగణిస్తాము. ఈ విధంగా, సైడ్ లెంగ్త్ a మరియు b లను కనుగొనడం చాలా సులభం, ఆపై సైడ్ సి లేదా రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించండి.

2. 

   గ్రాఫ్‌లో రెండు పాయింట్లు గీయండి. ఒక సాధారణ X-Y విమానంలో, ప్రతి బిందువుకు (x, y), x అనేది క్షితిజ సమాంతర అక్షం మీద కోఆర్డినేట్ మరియు y నిలువు అక్షం మీద కోఆర్డినేట్. మీరు రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని గ్రాఫ్‌లో ప్లాట్ చేయకుండా కనుగొనవచ్చు, కానీ గ్రాఫింగ్ మీకు బాగా చూడటానికి సహాయపడుతుంది.

3. 

   త్రిభుజం యొక్క కుడి వైపుల పొడవును కనుగొనండి. హైపోటెన్యూస్ ప్రక్కనే ఉన్న త్రిభుజం యొక్క కోణాలుగా ఇచ్చిన రెండు పాయింట్లను ఉపయోగించి, త్రిభుజం యొక్క a మరియు b వైపులా కనుగొనండి. మీరు దీన్ని దృశ్యమానంగా గ్రాఫ్‌లో చేయవచ్చు లేదా | x సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా చేయవచ్చు₁ - x₂| క్షితిజ సమాంతర అంచుల కోసం మరియు | y₁ - వై₂| నిలువు అంచు కోసం, ఇక్కడ (x₁, వై₁) మొదటి పాయింట్ మరియు (x₂, వై₂) రెండవ పాయింట్.
   • రెండు పాయింట్లు (6,1) మరియు (3,5) అని అనుకోండి. త్రిభుజం యొక్క క్షితిజ సమాంతర వైపు పొడవు:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • నిలువు అంచు పొడవు:
     • | వై₁ - వై₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • కాబట్టి, ఈ కుడి త్రిభుజంలో, సైడ్ a = 3 మరియు సైడ్ బి = 4 అని చెప్పగలను.

4. 

   హైపోటెన్యూస్ కోసం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించండి. ఇచ్చిన రెండు బిందువుల మధ్య దూరం మనం నిర్ణయించినట్లుగా రెండు లంబ కోణాల వైపులా ఉన్న త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్. హైపోటెన్యూస్‌ను కనుగొనడానికి సాధారణ పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మొదటి వైపు యొక్క పొడవు మరియు రెండవ వైపు పొడవు బి.
   • పాయింట్లు (3,5) మరియు (6,1) ఉన్న ఉదాహరణలో, లంబ కోణాల పొడవు 3 మరియు 4, కాబట్టి మేము హైపోటెన్యూస్ పొడవును ఈ క్రింది విధంగా లెక్కిస్తాము:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = వర్గమూలం (9 + 16)

       c = (25) యొక్క వర్గమూలం

       c = 5. రెండు పాయింట్ల (3,5) మరియు (6,1) మధ్య దూరం 5.

   ప్రకటన

సలహా

• హైపోటెన్యూస్ ఎల్లప్పుడూ:
  • లంబ కోణాలను కలుస్తుంది (లంబ కోణాలను దాటవద్దు)
  • కుడి త్రిభుజం యొక్క పొడవైన వైపు
  • ప్రాతినిధ్యం వహించిన సి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంలో
• ఫలితాలను ఎల్లప్పుడూ తనిఖీ చేయండి.
• మరొక పరీక్ష - పొడవైన వైపు అతి పెద్దది మరియు చిన్నది చిన్నదాన్ని ఎదుర్కొంటుంది.
• కుడి త్రిభుజంలో, మిగతా రెండు వైపుల పొడవు మీకు తెలిసినప్పుడు మాత్రమే మీకు మూడవ వైపు తెలుసు.
• త్రిభుజం సరైన త్రిభుజం కాకపోతే, మీరు సైడ్ లెంగ్త్స్‌తో పాటు మరింత సమాచారం కలిగి ఉండాలి.
• A, b మరియు c లకు ఖచ్చితమైన విలువలను కేటాయించడానికి మీరు త్రిభుజాన్ని డ్రాయింగ్ రూపంలో సూచించాలి, ముఖ్యంగా తర్కం లేదా పద సమస్యల కోసం.
• మీకు ఏకపక్ష కొలతలు మాత్రమే ఉంటే, మీరు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించలేరు. బదులుగా త్రికోణమితి విధులు (పాపం, కాస్, టాన్) లేదా 30-60-90 / 45-45-90 నిష్పత్తిని ఉపయోగించండి.