విషయము

• దశలు
• పద్ధతి 1 లో 3: స్థిరమైన పదం లేకుండా క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి
• పద్ధతి 2 లో 3: మల్టిప్లైయర్‌లను ఉపయోగించి మొత్తం మూలాలను ఎలా కనుగొనాలి
• 3 లో 3 వ పద్ధతి: వివక్షను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి

క్యూబిక్ సమీకరణంలో, అత్యధిక ఘాతాంకం 3, అటువంటి సమీకరణానికి 3 మూలాలు (పరిష్కారాలు) ఉంటాయి మరియు దానికి రూపం ఉంటుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ గొడ్డలి ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... కొన్ని క్యూబిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అంత సులభం కాదు, కానీ మీరు సరైన పద్ధతిని (మంచి సైద్ధాంతిక నేపథ్యంతో) వర్తింపజేస్తే, మీరు చాలా క్లిష్టమైన క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనవచ్చు - దీని కోసం వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి, కనుగొనండి మొత్తం మూలాలు, లేదా వివక్షతను లెక్కించండి.

దశలు

పద్ధతి 1 లో 3: స్థిరమైన పదం లేకుండా క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి

1. 1 క్యూబిక్ సమీకరణంలో ఉచిత పదం ఉందో లేదో తెలుసుకోండి డి{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d}. క్యూబిక్ సమీకరణానికి రూపం ఉంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ గొడ్డలి ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... ఒక సమీకరణాన్ని క్యూబిక్‌గా పరిగణించాలంటే, ఆ పదం మాత్రమే సరిపోతుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {3}}$ (అంటే, ఇతర సభ్యులు ఉండకపోవచ్చు).
   • సమీకరణానికి ఉచిత పదం ఉంటే ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d}$, వేరే పద్ధతిని ఉపయోగించండి.
   • సమీకరణంలో ఉంటే ${ displaystyle a = 0}$, ఇది క్యూబిక్ కాదు.
2. 2 బ్రాకెట్ల నుండి బయటకు తీయండి x{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}. సమీకరణంలో ఉచిత పదం లేనందున, సమీకరణంలోని ప్రతి పదం వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉంటుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$... దీని అర్థం ఒకటి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి కుండలీకరణాల నుండి మినహాయించవచ్చు. అందువలన, సమీకరణం ఇలా వ్రాయబడుతుంది: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • ఉదాహరణకు, ఒక క్యూబిక్ సమీకరణం ఇవ్వబడింది ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • బయటకు తీయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ బ్రాకెట్లు మరియు పొందండి ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 కారకం (రెండు ద్విపదాల ఉత్పత్తి) వర్గ సమీకరణం (వీలైతే). రూపం యొక్క అనేక వర్గ సమీకరణాలు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ గొడ్డలి ^ {2} + bx + c = 0}$ కారకం చేయవచ్చు. మనం బయటకు తీస్తే అటువంటి సమీకరణం మారుతుంది ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ బ్రాకెట్ల వెలుపల. మా ఉదాహరణలో:
   • బ్రాకెట్ల నుండి బయటకు తీయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • వర్గ సమీకరణానికి కారకం: ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • ప్రతి డబ్బాకు సమానం ${ displaystyle 0}$... ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 ప్రత్యేక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. వర్గ సమీకరణాన్ని కారకం చేయలేకపోతే దీన్ని చేయండి. సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలను కనుగొనడానికి, గుణకాల విలువలు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$ ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • మా ఉదాహరణలో, గుణకాల విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$ (${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 3}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ -2}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 14}$) ఫార్ములాలోకి:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (-- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • మొదటి మూలం:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • రెండవ మూలం:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 క్యూబిక్ సమీకరణానికి పరిష్కారాలుగా సున్నా మరియు చతురస్రాకార మూలాలను ఉపయోగించండి. చతురస్రాకార సమీకరణాలు రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటాయి, క్యూబిక్ వాటికి మూడు మూలాలను కలిగి ఉంటాయి. మీరు ఇప్పటికే రెండు పరిష్కారాలను కనుగొన్నారు - ఇవి వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు. మీరు బ్రాకెట్స్ వెలుపల "x" ను ఉంచినట్లయితే, మూడవ పరిష్కారం ఉంటుంది ${ displaystyle 0}$.
   • మీరు బ్రాకెట్లలో నుండి "x" తీస్తే, మీరు పొందుతారు ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, అంటే, రెండు కారకాలు: ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ మరియు బ్రాకెట్లలో వర్గ సమీకరణం. ఈ కారకాలు ఏవైనా ఉంటే ${ displaystyle 0}$, మొత్తం సమీకరణం కూడా సమానంగా ఉంటుంది ${ displaystyle 0}$.
   • ఈ విధంగా, ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలు. మూడవ పరిష్కారం ${ displaystyle x = 0}$.

పద్ధతి 2 లో 3: మల్టిప్లైయర్‌లను ఉపయోగించి మొత్తం మూలాలను ఎలా కనుగొనాలి

1. 1 క్యూబిక్ సమీకరణంలో ఉచిత పదం ఉందని నిర్ధారించుకోండి డి{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d}. ఫారం యొక్క సమీకరణంలో ఉంటే ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ గొడ్డలి ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ ఉచిత సభ్యుడు ఉన్నారు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d}$ (ఇది సున్నాకి సమానం కాదు), బ్రాకెట్స్ వెలుపల "x" ను ఉంచడానికి ఇది పనిచేయదు. ఈ సందర్భంలో, ఈ విభాగంలో వివరించిన పద్ధతిని ఉపయోగించండి.
   • ఉదాహరణకు, ఒక క్యూబిక్ సమీకరణం ఇవ్వబడింది ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున సున్నా పొందడానికి, జోడించండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 6}$ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా.
   • సమీకరణం మారుతుంది ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... గా ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d = 6}$, మొదటి విభాగంలో వివరించిన పద్ధతిని ఉపయోగించలేము.
2. 2 గుణకం యొక్క కారకాలను వ్రాయండి a{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a} మరియు ఉచిత సభ్యుడు డి{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d}. అంటే, సంఖ్య యొక్క కారకాలను కనుగొనండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x ^ {3}}$ మరియు సమాన గుర్తుకు ముందు సంఖ్యలు. సంఖ్య యొక్క కారకాలు సంఖ్యలు, గుణించినప్పుడు, ఆ సంఖ్యను ఉత్పత్తి చేస్తాయని గుర్తుంచుకోండి.
   • ఉదాహరణకు, నంబర్ పొందడానికి 6, మీరు గుణించాలి ${ ప్రదర్శన శైలి 6 సార్లు 1}$ మరియు ${ ప్రదర్శన శైలి 2 సార్లు 3}$... కాబట్టి సంఖ్యలు 1, 2, 3, 6 సంఖ్య యొక్క కారకాలు 6.
   • మా సమీకరణంలో ${ displaystyle a = 2}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d = 6}$... గుణకాలు 2 ఉన్నాయి 1 మరియు 2... గుణకాలు 6 సంఖ్యలు 1, 2, 3 మరియు 6.
3. 3 ప్రతి కారకాన్ని విభజించండి a{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a} ప్రతి కారకం కోసం డి{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d}. ఫలితంగా, మీరు చాలా భిన్నాలు మరియు అనేక పూర్ణాంకాలను పొందుతారు; క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలు పూర్ణాంకాలలో ఒకటి లేదా పూర్ణాంకాలలో ఒకదాని యొక్క ప్రతికూల విలువ.
   • మా ఉదాహరణలో, కారకాలను విభజించండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$ (1 మరియు 2) కారకాల ద్వారా ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d}$ (1, 2, 3 మరియు 6). మీరు పొందుతారు: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ మరియు ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... ఇప్పుడు ఈ జాబితాకు పొందిన భిన్నాలు మరియు సంఖ్యల యొక్క ప్రతికూల విలువలను జోడించండి: ${ displaystyle 1}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ మరియు ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క మొత్తం మూలాలు ఈ జాబితా నుండి కొన్ని సంఖ్యలు.
4. 4 క్యూబిక్ సమీకరణంలో పూర్ణాంకాలను ప్లగ్ చేయండి. సమానత్వం నిజమైతే, ప్రత్యామ్నాయ సంఖ్య సమీకరణం యొక్క మూలం. ఉదాహరణకు, సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, అంటే, సమానత్వం గమనించబడలేదు. ఈ సందర్భంలో, తదుపరి సంఖ్యను ప్లగ్ చేయండి.
   • ప్రత్యామ్నాయం ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ -1}$: ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. అందువలన, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ -1}$ సమీకరణం యొక్క మొత్తం మూలం.
5. 5 బహుపదిని విభజించే పద్ధతిని ఉపయోగించండి హార్నర్ పథకంసమీకరణం యొక్క మూలాలను వేగంగా కనుగొనడానికి. మీరు సమీకరణంలో సంఖ్యలను మాన్యువల్‌గా ప్రత్యామ్నాయం చేయకూడదనుకుంటే దీన్ని చేయండి. హార్నర్ స్కీమ్‌లో, పూర్ణాంకాలు సమీకరణం యొక్క గుణకాల విలువలతో విభజించబడ్డాయి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d}$... సంఖ్యలు సమానంగా విభజించబడితే (అంటే, మిగిలినది ${ displaystyle 0}$), ఒక పూర్ణాంకం సమీకరణం యొక్క మూలం.
   • హార్నర్ స్కీమ్ ప్రత్యేక కథనానికి అర్హమైనది, అయితే ఈ పథకాన్ని ఉపయోగించి మా క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో ఒకదాన్ని లెక్కించడానికి ఈ క్రింది ఉదాహరణ:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • కాబట్టి మిగిలినది ${ displaystyle 0}$, కానీ ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ -1}$ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో ఒకటి.

3 లో 3 వ పద్ధతి: వివక్షను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి

1. 1 సమీకరణం యొక్క గుణకాల విలువలను వ్రాయండి a{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ a}, బి{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ b}, c{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c} మరియు డి{ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d}. భవిష్యత్తులో గందరగోళానికి గురికాకుండా ఉండటానికి సూచించిన గుణకాల విలువలను ముందుగానే వ్రాయమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.
   • ఉదాహరణకు, సమీకరణం ఇవ్వబడింది ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... వ్రాయండి ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ c = 3}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ d = -1}$... ముందు ఉంటే గుర్తుచేసుకోండి ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ x}$ సంఖ్య లేదు, సంబంధిత గుణకం ఇప్పటికీ ఉంది మరియు సమానంగా ఉంటుంది ${ displaystyle 1}$.
2. 2 ప్రత్యేక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సున్నా వివక్షతను లెక్కించండి. వివక్షతను ఉపయోగించి క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు అనేక కష్టమైన లెక్కలను నిర్వహించాల్సి ఉంటుంది, కానీ మీరు అన్ని దశలను సరిగ్గా నిర్వహిస్తే, అత్యంత క్లిష్టమైన క్యూబిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఈ పద్ధతి ఎంతో అవసరం అవుతుంది. మొదటి గణన ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (సున్నా వివక్షత) మనకు అవసరమైన మొదటి విలువ; దీన్ని చేయడానికి, ఫార్ములాలోని సంబంధిత విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • వివక్షత అనేది బహుపది మూలాలను వర్ణించే సంఖ్య (ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్ష సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • మా సమీకరణంలో:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = డెల్టా _ {0}}$

3. 3 సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొదటి వివక్షతను లెక్కించండి Δ1=2బి3−9aబిc+27a2డి{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. మొదటి వివక్ష ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ డెల్టా _ {1}}$ - ఇది రెండవ ముఖ్యమైన విలువ; దానిని లెక్కించడానికి, సంబంధిత విలువలను పేర్కొన్న ఫార్ములాలో ప్లగ్ చేయండి.
   • మా సమీకరణంలో:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = డెల్టా _ {1}}$

4. 4 లెక్కించు:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... అంటే, పొందిన విలువల ద్వారా క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క వివక్షతను కనుగొనండి ${ displaystyle Delta _ {0}}$ మరియు ${ displaystyle Delta _ {1}}$... క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క వివక్ష సానుకూలంగా ఉంటే, సమీకరణానికి మూడు మూలాలు ఉంటాయి; వివక్షత సున్నా అయితే, సమీకరణం ఒకటి లేదా రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది; వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉంటే, సమీకరణానికి ఒక మూలం ఉంటుంది.
   • ఒక క్యూబిక్ సమీకరణం ఎల్లప్పుడూ కనీసం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఈ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ కనీసం ఒక పాయింట్ వద్ద X- అక్షాన్ని కలుస్తుంది.
   • మా సమీకరణంలో ${ displaystyle Delta _ {0}}$ మరియు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ డెల్టా _ {1}}$ సమానంగా ఉంటాయి ${ displaystyle 0}$, కాబట్టి మీరు సులభంగా లెక్కించవచ్చు ${ డిస్‌ప్లే స్టైల్ డెల్టా}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... అందువలన, మా సమీకరణానికి ఒకటి లేదా రెండు మూలాలు ఉన్నాయి.

5. 5 లెక్కించు:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { ఎడమ ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + డెల్టా _ {1 } కుడి) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - కనుగొనబడిన చివరి ముఖ్యమైన పరిమాణం ఇది; ఇది సమీకరణం యొక్క మూలాలను లెక్కించడంలో మీకు సహాయపడుతుంది. పేర్కొన్న ఫార్ములాలో విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ${ displaystyle Delta _ {1}}$ మరియు ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • మా సమీకరణంలో:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 సమీకరణం యొక్క మూడు మూలాలను కనుగొనండి. ఫార్ములాతో చేయండి ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, ఎక్కడ ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, కానీ ఎన్ సమానముగా 1, 2 లేదా 3... ఈ ఫార్ములాలో తగిన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి - ఫలితంగా, మీరు సమీకరణం యొక్క మూడు మూలాలను పొందుతారు.
   • వద్ద ఫార్ములా ఉపయోగించి విలువను లెక్కించండి ఎన్ = 1, 2 లేదా 3ఆపై సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయండి. మీరు మీ సమాధానాన్ని తనిఖీ చేసినప్పుడు మీకు 0 వస్తే, ఈ విలువ సమీకరణానికి మూలం.
   • మా ఉదాహరణలో, ప్రత్యామ్నాయం 1 లో ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ మరియు పొందండి 0, అనగా 1 సమీకరణం యొక్క మూలాలలో ఒకటి.