విషయము

• దశలు
• సలహా

సరళ రేఖలా కాకుండా, వాలు (వాలు) గుణకం వక్రరేఖ వెంట కదులుతున్నప్పుడు నిరంతరం మారుతూ ఉంటుంది. కాలిక్యులస్ గ్రాఫ్‌లోని ప్రతి బిందువు కోణం యొక్క గుణకం లేదా "మార్పు యొక్క తక్షణ రేటు" గా వ్యక్తీకరించబడుతుందనే ఆలోచనను ఇస్తుంది. ఒక బిందువు వద్ద ఉన్న టాంజెంట్ లైన్ ఒకే కోణీయ గుణకాన్ని కలిగి ఉన్న ఒక రేఖ మరియు అదే బిందువు గుండా వెళుతుంది. టాంజెంట్ లైన్ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు అసలు సమీకరణాన్ని ఎలా పొందాలో తెలుసుకోవాలి.

దశలు

2 యొక్క పద్ధతి 1: టాంజెంట్ లైన్ కోసం సమీకరణాన్ని కనుగొనండి

1. 

   గ్రాఫ్ విధులు మరియు టాంజెంట్ పంక్తులు (ఈ దశ ఐచ్ఛికం, కానీ సిఫార్సు చేయబడింది). చార్ట్ మీకు సమస్యను అర్థం చేసుకోవడాన్ని సులభతరం చేస్తుంది మరియు సమాధానం సహేతుకమైనదా కాదా అని తనిఖీ చేస్తుంది. గ్రిడ్ కాగితంపై ఫంక్షన్ గ్రాఫ్లను గీయండి, అవసరమైతే సూచన కోసం గ్రాఫ్ ఫంక్షన్‌తో శాస్త్రీయ కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించండి. ఇచ్చిన పాయింట్ ద్వారా ఒక టాంజెంట్ రేఖను గీయండి (టాంజెంట్ లైన్ ఆ పాయింట్ గుండా వెళుతుందని గుర్తుంచుకోండి మరియు అక్కడ గ్రాఫ్ వలె అదే వాలు ఉంటుంది).
   • ఉదాహరణ 1: పారాబొలిక్ డ్రాయింగ్. పాయింట్ (-6, -1) ద్వారా ఒక స్పర్శ రేఖను గీయండి.
     టాంజెంట్ సమీకరణం మీకు తెలియకపోయినా, దాని వాలు ప్రతికూలంగా ఉందని మరియు ఆర్డినేట్ ప్రతికూలంగా ఉందని మీరు చూడవచ్చు (-5.5 యొక్క ఆర్డినేట్‌తో పారాబొలిక్ శీర్షానికి చాలా దిగువ). కనుగొనబడిన తుది సమాధానం ఈ వివరాలతో సరిపోలకపోతే, మీ గణనలో లోపం ఉండాలి మరియు మీరు మళ్ళీ తనిఖీ చేయాలి.

2. 

   
   
   సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి మొదటి ఉత్పన్నం పొందండి వాలు టాంజెంట్ లైన్ యొక్క. F (x) ఫంక్షన్‌తో, మొదటి ఉత్పన్నం f '(x) f (x) పై ఏ సమయంలోనైనా టాంజెంట్ రేఖ యొక్క వాలు కోసం సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది. ఉత్పన్నాలు తీసుకోవడానికి చాలా మార్గాలు ఉన్నాయి. శక్తి నియమాన్ని ఉపయోగించి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది:
   • ఉదాహరణ 1 (కొనసాగింపు): గ్రాఫ్ ఒక ఫంక్షన్ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.
     ఉత్పన్నం తీసుకునేటప్పుడు శక్తి నియమాన్ని గుర్తుచేసుకోవడం :.
     ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం = f '(x) = (2) (0.5) x + 3 - 0.
     f '(x) = x + 3. x ను ఏదైనా విలువతో భర్తీ చేయండి, సమీకరణం x = a పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ లైన్ ఫంక్షన్ f (x) యొక్క వాలును ఇస్తుంది.

3. 

   
   
   పరిశీలనలో ఉన్న పాయింట్ యొక్క x విలువను నమోదు చేయండి. టాంజెంట్ రేఖను కనుగొనడానికి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి సమస్యను చదవండి. ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను f '(x) లో నమోదు చేయండి. పొందిన ఫలితం పై బిందువు వద్ద టాంజెంట్ రేఖ యొక్క వాలు.
   • ఉదాహరణ 1 (కొనసాగింపు): వ్యాసంలో పేర్కొన్న అంశం (-6, -1). వికర్ణ -6 వోల్టేజ్‌ను f '(x) లోకి ఉపయోగించడం:
     f '(- 6) = -6 + 3 = -3
     టాంజెంట్ రేఖ యొక్క వాలు -3.

4. 

   
   
   కోణం యొక్క గుణకం మరియు దానిపై ఒక బిందువును తెలుసుకొని సరళ రేఖ రూపంతో ఒక టాంజెంట్ రేఖకు ఒక సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. ఈ సరళ సమీకరణం ఇలా వ్రాయబడింది. లోపల, m వాలు మరియు టాంజెంట్ రేఖపై ఒక బిందువు. ఈ రూపంలో టాంజెంట్ సమీకరణాన్ని వ్రాయడానికి మీకు అవసరమైన మొత్తం సమాచారం ఇప్పుడు మీకు ఉంది.
   • ఉదాహరణ 1 (కొనసాగింపు):
     టాంజెంట్ రేఖ యొక్క వాలు -3, కాబట్టి:
     టాంజెంట్ లైన్ పాయింట్ (-6, -1) గుండా వెళుతుంది, కాబట్టి తుది సమీకరణం:
     సంక్షిప్తంగా, మేము వీటిని చేయవచ్చు:
     

5. 

   గ్రాఫికల్ నిర్ధారణ. మీకు గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ ఉంటే, సమాధానం సరిగ్గా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి అసలు ఫంక్షన్ మరియు టాంజెంట్ లైన్‌ను ప్లాట్ చేయండి. కాగితంపై లెక్కలు చేస్తుంటే, మీ సమాధానంలో స్పష్టమైన లోపాలు లేవని నిర్ధారించుకోవడానికి ముందు గీసిన గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించండి.
   • ఉదాహరణ 1 (కొనసాగింపు): ప్రారంభ డ్రాయింగ్ టాంజెంట్ లైన్ కోణం యొక్క ప్రతికూల గుణకాలను కలిగి ఉందని మరియు ఆఫ్‌సెట్ -5.5 కన్నా చాలా తక్కువగా ఉందని చూపిస్తుంది. ఇప్పుడే కనుగొనబడిన టాంజెంట్ సమీకరణం y = -3x -19, అంటే -3 కోణం యొక్క వాలు మరియు -19 ఆర్డినేట్.

6. 

   మరింత కష్టమైన సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి. మేము మళ్ళీ పైన ఉన్న అన్ని దశలను చూస్తాము.ఈ సమయంలో, x = 2 వద్ద టాంజెంట్‌ను కనుగొనడం లక్ష్యం:
   • శక్తి నియమాన్ని ఉపయోగించి మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి :. ఈ ఫంక్షన్ మనకు టాంజెంట్ యొక్క వాలును ఇస్తుంది.
   • X = 2 కోసం, కనుగొనండి. ఇది x = 2 వద్ద వాలు.
   • ఈ సమయంలో, మనకు పాయింట్ లేదు మరియు x కోఆర్డినేట్ మాత్రమే ఉందని గమనించండి. Y కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనడానికి, అసలు ఫంక్షన్‌లో x = 2 ని భర్తీ చేయండి :. స్కోరు (2.27).
   • ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న టాంజెంట్ లైన్ కోసం ఒక సమీకరణాన్ని వ్రాయండి మరియు కోణం యొక్క గుణకం నిర్ణయించబడుతుంది:
     
     అవసరమైతే, y = 25x - 23 కు తగ్గించండి.
   ప్రకటన

2 యొక్క 2 విధానం: సంబంధిత సమస్యలను పరిష్కరించండి

1. 

   గ్రాఫ్‌లో తీవ్రతను కనుగొనండి. అవి గ్రాఫ్ స్థానిక గరిష్టానికి (రెండు వైపులా పొరుగు పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ పాయింట్) లేదా స్థానిక కనిష్టానికి (రెండు వైపులా పొరుగు పాయింట్ల కన్నా తక్కువ) చేరుకునే పాయింట్లు. టాంజెంట్ లైన్ ఎల్లప్పుడూ ఈ పాయింట్ల వద్ద సున్నా గుణకం కలిగి ఉంటుంది (ఒక క్షితిజ సమాంతర రేఖ). ఏదేమైనా, కోణం యొక్క గుణకం అది విపరీతమైన బిందువు అని నిర్ధారించడానికి సరిపోదు. వాటిని ఎలా కనుగొనాలో ఇక్కడ ఉంది:
   • టాంజెంట్ రేఖ యొక్క వాలు యొక్క వాలు అయిన f '(x) ను పొందడానికి ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం తీసుకోండి.
   • విపరీతమైన బిందువును కనుగొనడానికి f '(x) = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి సంభావ్యత.
   • F '(x) ను పొందడానికి క్వాడ్రాటిక్ ఉత్పన్నం తీసుకుంటే, సమీకరణం టాంజెంట్ రేఖ యొక్క వాలు యొక్క మార్పు రేటును చెబుతుంది.
   • ప్రతి సంభావ్య తీవ్ర వద్ద, కోఆర్డినేట్ మార్చండి a f '' (x) లోకి. F '(a) సానుకూలంగా ఉంటే, మాకు స్థానిక కనిష్ట స్థాయి ఉంది a. F '(a) ప్రతికూలంగా ఉంటే, మాకు స్థానిక గరిష్ట స్థానం ఉంది. F '(a) 0 అయితే, అది విపరీతంగా ఉండదు, ఇది ఒక ప్రతిబింబించే స్థానం.
   • గరిష్టంగా లేదా నిమిషానికి చేరుకున్నట్లయితే a, ఖండనను నిర్ణయించడానికి f (a) ను కనుగొనండి.

2. 

   సాధారణ సమీకరణాలను కనుగొనండి. ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద ఒక వక్రరేఖ యొక్క "సాధారణ" రేఖ ఆ బిందువు గుండా వెళుతుంది మరియు టాంజెంట్ రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది. సాధారణ కోసం సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ క్రింది వాటిని ఉపయోగించండి: (సాధారణ వాలు) (సాధారణ వాలు) = -1 వారు గ్రాఫ్‌లో ఒకే బిందువును దాటినప్పుడు. ప్రత్యేకంగా:
   • టాంజెంట్ రేఖ యొక్క వాలు అయిన f '(x) ను కనుగొనండి.
   • ఇచ్చిన సమయంలో, మనకు x = ఉంటుంది a: ఆ సమయంలో వాలును నిర్ణయించడానికి f '(ఎ) ను కనుగొనండి.
   • సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి లెక్కించండి.
   • కోణం యొక్క గుణకాలు మరియు అది గుండా వెళ్ళే బిందువు తెలుసుకోవటానికి లంబంగా సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.
   ప్రకటన

సలహా

• అవసరమైతే, అసలు సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో తిరిగి వ్రాయండి: f (x) = ... లేదా y = ...